尋路小能手

楊胡平

經過長途跋涉，阿才他們終于回到了老家。剛進門就受到了奶奶的熱烈歡迎。

在吃團圓飯前，奶奶把一碗餃子裝進保溫盒中，讓阿才給村里的李奶奶送去。李奶奶的兒女都在國外，不方便回來，現在她一個人在村里生活，腿腳有些不方便，阿才的奶奶想讓李奶奶也嘗嘗年味兒。

阿才的爸爸怕阿才不認路，便和阿才一起出了門。路上，阿才說：“爸爸，你說李奶奶喜歡花嗎？不如我們采些野花一起送過去給李奶奶吧。”

爸爸想了想，說：“我記得李奶奶最喜歡公路邊金黃色的野菊花了，那邊的野菊花比其他地方的要大，而且很漂亮。”

李奶奶和阿才奶奶的家都在村子邊上，村子前面不遠處是一條筆直的水泥公路，公路邊長著成片的野菊花。阿才決定和爸爸稍微繞個遠路。

最近的路線

爸爸突然問阿才：“公路邊任何一點都可以采摘到野菊花，你知道怎樣走才是最短的路線嗎？”

阿才搖了搖頭，他可沒有想過這樣的問題。從奶奶家走到公路，再從公路到李奶奶家，有很多條路線。要想選出一條最近的路線，這個問題有些復雜，阿才一時不知道怎么算。

爸爸接著問：“那你知道‘兩點之間線段最短’和‘三角形任意兩條邊的和大于第三條邊’這兩條規律嗎？”

阿才點了點頭：“當然知道！可是從奶奶家走到公路邊，再走到李奶奶家的路線，并不是一條直線呀！”

“這個不難，只要我們肯動腦筋，就能找出最短的路線。”接下來，爸爸拿出筆和紙，畫出了一條輔助線。奶奶家標為A點，李奶奶家為B點，畫出B點的對稱點B′，連接A和B′，AB′和路邊相交的點為C點。

這次沒等爸爸講解，阿才就明白過來了。AB′是一條直線，且AB′=AC+B′C=AC+BC。

阿才從公路邊任取一點C′，連接AC′和B′C′，根據三角形任意兩條邊之和大于第三邊，則有AC′+B′C′≥AC+BC。那么AC+BC就是阿才從奶奶家去公路邊，再去李奶奶家最近的一條路線。

三角形路線

周末的早上，阿才跟著爸爸和李叔叔來到河灘邊，河灘是兩條小河交匯的地方。

原來，李叔叔在環保單位上班，他這次來這里是想做一次水質調查。李叔叔拿著兩個小瓶子，從放行李的地點出發，在兩條小河中分別采集了一瓶河水。然后，他拿著兩瓶河水，回到了出發點，拿出儀器開始化驗水質。

爸爸看了看兩條小河的位置，拿出筆和紙，將李叔叔剛才走過的路線畫了出來，并標上了字母。出發點是P，第一次采集河水的地點為A點，第二次采集河水的地點為B點。兩條小河交匯之處為O點，第一條小河的上流為M，第二條小河的上流為N。

接下來，爸爸問阿才：“如果你是李叔叔，你覺得怎樣走，才能讓這三條路線之和，也就是△PAB的三條邊之和最小呢？”

阿才望著這張草稿紙，陷入了沉思。爸爸提醒：“你可以畫輔助線呀！”一語點醒夢中人，阿才馬上畫起了輔助線。

阿才先以OM為對稱軸，畫出了P 點的對稱點P1，再以ON 為對稱軸，畫出了P點的對稱點P2。然后他將P1和P2連接起來，同OM和ON相交的點分別是A點和B點。△PAP1和△PBP2中，PA=P1A，PB=P2B。△PAB的三邊之和，其實是線段P1P2的長度，所以，這時的△PAB的三條邊之和最小。

建橋方案

阿才奶奶家所在村子的河對面有一家超市，由于河上沒有橋，要去河對面的超市十分不方便。好在年后鎮政府就要派人來村子里建一座橋了。

爸爸問阿才：“如果讓你當設計師，你知道在什么地方建橋，才是從奶奶家去超市最短的一條路線嗎？”阿才拿出筆和紙，開始畫圖。

設奶奶家是A點，河對面的超市是B點，兩條平行線代表小河。假設建橋的地點是M和N，去超市要走的距離就是AM+MN+BN。

爸爸也拿起筆，將A向下平移到A′，使AA′的距離等于小河的寬度。連接A′B，其與小河的相交點是N′，畫一條經過N′且垂直于小河河岸的線段M′N′。

那么，從阿才奶奶家去河對面超市的路線是AM′+M′N′+BN′。由于AM′=A′N′，所以AM′+BN′=A′B，AM′+M′N′+BN′=A′B+M′N′。

而M′N′=MN，AM=A′N。在△A′NB中，A′B<A′N+BN，所以A′B<AM

+BN。

由此可見，在小河上的M′N′處修橋，才是從阿才奶奶家去河對面超市最近的路線方案。在河上的其他地方，比如在小河上的M和N兩處建橋，路線都不是最近的。