指導高中生撰寫數(shù)學建模論文的意義與策略

北京市第十五中學 吳宏宇

北京市高中數(shù)學建模競賽從1998年開始，由首都師范大學組織并實施，建模競賽分為兩部分，一部分是知識競賽，另一部分是數(shù)學論文的撰寫，到現(xiàn)在已經(jīng)舉辦了23屆競賽。這項比賽給學生提供了一個平臺，提供了一個豐富自我，與同伴交流、分享、合作的機會。同時這項比賽促進了教師對數(shù)學建模更加深入的理解，積累更多指導學生做數(shù)學建模的具體經(jīng)驗。北京市第十五中學在寫建模論文方面有著優(yōu)秀的傳統(tǒng)，在歷屆比賽中也都取得了很好的成績，并且將部分優(yōu)秀成果收錄在唐安華主編《思維與創(chuàng)造》《數(shù)學之眼看世界》兩本論文集中。本文筆者結(jié)合組織學生參加數(shù)學建模論文部分的競賽，談一下在這個過程中的感悟與收獲。

一、構(gòu)建小組，形成學習共同體

在小組的規(guī)模上，筆者要求每個寫論文的小組成員人數(shù)2 3人，小組內(nèi)能和諧地合作交流，合理分工，提高效率。從知識競賽結(jié)束以后，就可以確定參與復賽（也就是論文部分競賽）成員的名單，筆者將學生進行分組，組織學生有計劃地安排后續(xù)的活動。小組組合的模式多種多樣，都各具特色，有的是男生、女生搭配，在后面的后續(xù)工作中，男生在采集數(shù)據(jù)方面點子多、有膽量、不怕辛苦，而女生在分析數(shù)據(jù)時更心細，易發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計后數(shù)據(jù)的微妙變動。有的小組合作后在合作體會上寫道：“他的一些處理方法，使我茅塞頓開，原來數(shù)學這么有意思”。還有的小組是由有共同愛好的學生組合在一起，這樣的兩名學生組合做事情更有動力，動力源于他們對同一件事情的熱愛，他們在某個領(lǐng)域鉆研很深，有時候在討論一個問題時討論研究的角度可以互補，考慮問題更全面。在合作體會上他們最大的感悟是通過共同研究，對某一專業(yè)方面有了更深刻的體會，立志高考后考同一所大學的同一專業(yè)。還有小組是能力互補型，小組中有的學生善于在生活中發(fā)現(xiàn)問題、獲取靈感，易捕捉到有待研究開發(fā)的關(guān)鍵點，找到開展研究的很好抓手，但是在轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型時有困惑，而另一名學生在研究數(shù)學問題時更有方法、有想法。有的學生在用電腦處理數(shù)據(jù)時，對一些分析數(shù)據(jù)的軟件應用得心應手，對更好地解決問題很有幫助。在合作體會中有學生寫道：“他太善于發(fā)現(xiàn)問題了，而且總有奇思妙想，看上去不起眼的問題，卻能讓我們大做文章，很開心。”“我倆在應用電腦這件事情上差距有點大，我也要好好學習，新的分析數(shù)據(jù)軟件功能太強大了，對未來的數(shù)學學習會很有幫助的。”正是這些有特色的小組構(gòu)成使得研究更有意義，極大地培養(yǎng)了學生的核心素養(yǎng)，為論文撰寫打下良好的基礎(chǔ)。

二、研究范例，了解撰寫數(shù)學建模論文的結(jié)構(gòu)

筆者會組織學生，讓學生先了解數(shù)學建模論文的完整結(jié)構(gòu)，給他們提供一個以往學生寫論文的完整范例。一篇完整的數(shù)學建模論文大致包含：摘要、關(guān)鍵詞、引言、模型建構(gòu)與分析、結(jié)論、優(yōu)缺點分析及改進措施、感悟、致謝、參考文獻，這樣的環(huán)節(jié)可以讓學生清楚自己要完成論文的大致結(jié)構(gòu)，做到心中有數(shù)。同時，我們還會具體地指出每一部分的基本內(nèi)容與基本要求。例如，摘要部分是對本文研究的問題以及研究價值做一個初步分析與介紹。引言部分要說清楚的是問題背景以及如何想到要研究這個問題，通常也稱為“選題”。而模型建構(gòu)則主要是將要研究的問題、實際問題數(shù)學化的過程，也就是通過合理地簡化與假設(shè)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，明確使用的數(shù)學模型，并大致對所選模型的合理性做出說明。模型分析，則是對轉(zhuǎn)化后的具體問題做出數(shù)學分析與解決，借助相應的數(shù)學模型以及數(shù)學知識求解出所選模型中的具體參數(shù)，形成明確的數(shù)學結(jié)果，對實際問題進行解釋與檢驗。如果符合實際則完成下一個步驟；如果不符合實際情況，就需要修正自己的數(shù)學模型，甚至重新選擇更為合理的模型刻畫之前的問題。結(jié)語部分，是指所選問題的研究成果，對實際生活的價值是什么，對實際生活有哪些具體的指導意義。優(yōu)缺點分析，則是指由于數(shù)學建模論文研究的問題絕大多數(shù)是來源于實際生活問題，而影響問題的因素非常多，有時候還比較復雜，當我們借助數(shù)學模型刻畫這個問題時，必然會忽略一些次要因素對問題結(jié)果的影響，有時會帶有自己的主觀意識，而有時候我們的假設(shè)也帶有一定的理想性，與現(xiàn)實生活中的情況往往是不完全符合的，所以我們研究的結(jié)論必然帶有一定的局限性，在文末需要加以說明。同時，分析模型的優(yōu)缺點，也會給我們指明進一步研究的方向。

三、選題，確定研討內(nèi)容，制訂研討方向和策略

在實際操作中，大致上有三個方面的“難點”。一是“如何選題”；二是“如何數(shù)學描述”；三是“數(shù)據(jù)的測量”。而我們遇到的最大問題就是“選題”，來自生活實際的問題，學生包括教師都會感到，有時候總有兩種感受不自覺地干擾我們，一種是“這個問題已經(jīng)得到了很好的解決，不需要我們再來討論，找不到可以研究的點”；另一種是“這個問題太復雜了，影響因素太多，不太好轉(zhuǎn)化或提煉成為數(shù)學問題，找不到現(xiàn)實與數(shù)學的契合點，我們沒法再來討論”。以上兩種感受，是接觸過數(shù)學建模論文撰寫的絕大多數(shù)學生和教師的最真實感受。的確，數(shù)學建模“最難”的部分就是選題，因為它必須是一個來源于實際的“真問題”，而不是一個人為編制的、有現(xiàn)成解法的“數(shù)學應用題”，需要我們發(fā)現(xiàn)身邊存在的真實問題。同時我們不得不說，限于高中生的知識水平，我們能解決的即使是純數(shù)學問題，都有很大的局限性。

舉一個例子，筆者曾指導學生寫過一篇《關(guān)于合理調(diào)整后視鏡的角度以減少后視鏡視覺盲區(qū)的探究》的文章，這個問題來源于筆者在開車的過程中，會遇到汽車并線時，當相鄰車道行駛的汽車在車頭未達到司機視線余光范圍內(nèi)時，司機會有一個視覺的盲區(qū)，行駛過程中如果不注意，僅憑借感覺的支配，有可能就會發(fā)生碰撞。這樣的感受大多數(shù)司機都產(chǎn)生過，所以在行駛中并線時，駕駛員必須小心駕駛，同時如果能合理地調(diào)整后視鏡的角度，會有效降低風險。

所以，結(jié)合自己的生活經(jīng)驗也是一個方式，學生之間可以相互啟發(fā)，把自己在生活中遇到的一些問題嘗試著進行自然語言的描述，進一步看能否可以試著進行數(shù)學角度的描述，這也是產(chǎn)生“選題”的一種很好的方式。例如，“紅綠燈時間長短的設(shè)計，緩解路口的交通”“北京三環(huán)路公交車站進站點的選址問題”“大型車轉(zhuǎn)彎時后視鏡的安裝以減少盲區(qū)的探究”“冷凍豬肉最佳解凍時長的探究”“紅外線報警器的合理設(shè)置”“塑料袋提手的設(shè)計”“抽水馬桶省水設(shè)計的問題”等。

四、用數(shù)學語言描述問題，收集數(shù)據(jù)解決問題

撰寫論文的一個難點是“數(shù)學描述”，有的問題確實是不容易進行數(shù)學描述，或者說不太容易量化，或者沒有一個比較明確的標準，需要自己尋找或者定義具備科學性、比較合適的量化標準。也就是怎樣把實際問題中的指標數(shù)量化，用怎樣的方式刻畫某一個現(xiàn)實問題中的指標。如“豬肉解凍的標準是什么”“塑料袋提手的舒適度”“用什么量刻畫路口的擁堵狀況”“放置一段時間后，怎樣衡量桶裝水的質(zhì)量”等。對數(shù)據(jù)的測量是另一個“難點”，如何測量相應的數(shù)據(jù)，絕不能僅是從網(wǎng)站查找、下載現(xiàn)成的數(shù)據(jù)，多數(shù)情況下需要實際、實地測量，需要花時間和精力，這也是學生完成數(shù)學建模論文的一個難點，同時一些數(shù)據(jù)的獲得也有一定難度，需要借助一些科學儀器，比如，“教室內(nèi)二氧化碳的含量的測量”“打開包裝后的熟食最多放置多久”“凍肉解凍后可以再冷凍幾次”等。

五、教學相長，師生共同進步

當然，教師指導學生完成論文的過程，更多時候是跟學生一起研究的過程。學生會完整地經(jīng)歷數(shù)學建模的全過程，完整地經(jīng)歷論文撰寫的全過程，體會到問題研究的困難與樂趣。而教師同樣收獲很多，在與學生一起研究問題的過程中，既能增進師生的情感交流，又能參與到更多的課題研究中，教師的視野將會變得更豐富，能積累更多的具體指導經(jīng)驗。

數(shù)學建模對學生的數(shù)學學習是非常有益的，學生能更加深切地感受到“數(shù)學是有用的”。這種感受必將促進、提升他們的數(shù)學學習熱情、學習積極性。在高中階段經(jīng)歷一次完整的數(shù)學建模過程，對每一名高中生來說，都是有益的，不管最后能不能得到滿意的結(jié)果。

在新課程、新教材的背景下，數(shù)學建模作為高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一，其重要性不言而喻，也期待更多的教師能參與其中，更多的學生能做一點“真問題”，真實地體會到“數(shù)學是有用的、有趣的”。