高等數學專題化教學案例研究
——面積的由來及發展

文生蘭 劉 倩 李瑞瑞

（信息工程大學 河南·鄭州 450001）

目前國內外對知識的專題化探討方面，人文政治類科目較多，[1-4]在全國圖書參考咨詢[5]上搜索“專題化、高等教育”詞條下的文獻顯示，截至2021 年上半年，關于專題化討論的文獻805 篇，其中思政類課程619 篇，約占77%，其他如農業、經濟、管理、規劃等課程居多。而“專題化、高等數學”詞條下只有一篇[6]符合要求。這與各科目的學科特點有關，人文政治類科目的各知識點相對獨立，易于開展專題化教學，而對高等數學這門課來說，其內容多、知識點碎，且各知識間環環相扣，前面知識是后面的基礎，后面知識是前面知識的應用推廣，不宜把某一塊單獨拿來討論。

實際上，這里我們所說的專題化不是將某個知識點割裂出來，而是在保持核心知識串的基礎上，增加知識的廣度和深度。即定期將一些重要概念和結論做系統的梳理、總結、延伸，包括這些重要概念和結論的歷史背景、發展規律、應用拓展、學科外延，等等，或以專題化講座的形式，或以選修課的形式，或以線上微課的形式，作為高等數學主講課的有力補充。既是對學生知識掌握的一種鞏固和提高，又是對學生知識的系統化、綜合性訓練，同時還是對學生科研創新思維能力的培養，進而打牢高等數學作為基礎課“根基”的地位。

1 專題化教學案例

1.1 面積概念的產生

面積公式，是數學中常見的公式，也是日常生活中經常與之打交道的公式。那么面積這個概念是怎么來的？最原始的面積公式——長方形的面積為什么使用的是乘法運算？是誰創造出了這個公式？他是怎么想到的呢？我們不妨去查閱資料，從歷史中去尋找答案。

很久很久以前，人類來到了農耕時代。剛開始的時候，荒地由誰開墾所屬權就歸誰。然而，隨著時間的推移，這種方式漸漸地失效了，引發了戰爭，贏得戰爭的人將土地重新分配。

開始的時候，土地分配大概是靠人情關系加上直覺。

“路人甲，出列，你們家有10 口人，最東面的那塊地就歸你家了。”一個小領頭大聲嚷道。

“老李頭，出列，你們家有20 口人，最南面的那塊地就歸你家了?！毙☆I頭繼續耀武揚威的叫道。

……

就這樣到了收糧食繳稅的時候，農民終于還是發現了不對勁，在種地技術差不多，環境差不多的情況下，老李家20 口人比路人甲家糧食沒有多出來多少。政府也發現了這個問題，但是當時，大家都沒有好的辦法，畢竟這個時候數學家大概還沒有誕生。但是問題總歸要解決，怎么辦呢？還是跟著感覺走，老李家地少了，那就把路人甲家的地劃分一點給老李家。一家一家依次用這種方法來微調。

一年又一年。終于有人想到了一個絕妙的方法。

首先，確定一個標準的模板地塊。將整片地劃分成若干個模塊，然后，家里有幾口人就分幾塊地，這的確是個公平的好方法，顯示了人類文明的進步。

這個方法大家越用越熟練。于是，在這群農民實踐家中，漸漸地，有人脫穎而出，順著這個靈感繼續探索。

要想知道一塊地有多大，只需按模板劃分，數一數就可以了。但這樣效率太低了，有沒有更簡便的方法？如果一大塊地按模板分塊后，第一列有6 塊小地，第二列有6塊小地，第三列有六塊小地，由此可知，一共有6+6+6=18塊小地，這意味著什么？意味著6+6+6=3 6。這個時候，恍然大悟，3 表示什么？3 表示每一行有3 塊小地，6 表示每一列有6 塊小地，那么，要知道這一塊土地一共有多少塊小土地不就是用每一行土地塊數每一列土地塊數嗎？

到了這一步，有個在歷史上沒有留下姓名的數學家總結了一個公式：長方形的面積等于每一列小長方形的數量乘以每一行小長方形的數量。

這個數學家的總結幫政府人員減輕了很大的工作量。定義一個標準的長方形，到田地里去丈量。想想，這還是蠻麻煩的，麻煩的地方在于，工作人員又不能扛著這么大的一個模型到地里去，只能靠尺子去量出一個個標準的小地塊。既然這樣，那我們能不能通過丈量了長度就可以知道這個地能被分成多少塊呢？

比如，我量了一塊地，長為10 米，寬為6 米。假如我們定義標準的正方形的長為1 米，寬為1 米，則這塊長方形土地的面積=6 行 10 列=60 塊（標準）。這個式子意味著什么呢？當我們定義標準的小地塊的長和寬都等于1 米的時候，那么，我們丈量的土地的長度就等于列的數量，土地的寬度就等于行的數量。這就是我們后來，為什么要定義標準的正方形長度為單位1 的原因。

由此，我們可以推理出：長方形的面積=長 寬。至此，面積公式的探究在歷史上取得突破性進展。

1.2 直邊圖形的面積

在生產生活中，人們經常會遇到規則的直邊圖形的面積問題，如平行四邊形、三角形、梯形、六邊形等等，這些都可以通過分割、平移、補面等方法得到它們的面積。如圖1，平行四邊形ABCD 可以通過做輔助垂線AE，將ACE 部分移到BDF，轉化成面積相等的矩形，于是平行四邊形的面積就是底乘以高；三角形ABC 可通過補充一個相同的三角形ACD 轉化成平行四邊形ABCD，這樣三角形ABC的面積等于四邊形ABCD 面積的一半，即梯形可通過做輔助線拆成一個平行四邊形和一個三角形，（上底+下底）高÷2）；而六邊形可通過做輔助線拆成六個三角形……這里體現了化未知為已知，化復雜為簡單的轉化思想，揭示了人類數學創新思維的進步。

圖1

1.3 不規則圖形的面積

時間來到了公元3 世紀，人們遇到了求一個像車輪一樣的圓形的面積問題，數學家劉徽首創割圓術，用圓內接正多邊形的面積，讓邊數無限增加來逼近圓的面積，[7]為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法，并將圓周率的數值精確到了3.1415 和3.1416 之間。借助極限的思想，結合圓的周長，后來經過漫長的演變，才有的圓周率，和圓的面積公式 。

前面我們提到丈量土地問題，實際上，很多時候我們遇到的土地不是規則圖形。因為人類文明的發源地常在河水流域，一旦河水暴漲會淹沒大量農田，此時需要重新丈量土地，就遇到了不規則圖形的面積。早在公元前240年古希臘時期，阿基米德就曾用近似求和的方法計算過拋物線弓形及其他圖形的面積，直到17 世紀，隨著極限概念的發展，牛頓和萊布尼茨分別沿用劉徽割圓術的思想，將大圖形分割成細小圖形，用規則圖形來近似不規則圖形，求和，取極限，最后得到整個不規則圖形的面積—一種特殊形式的和式的極限，即定積分，這里蘊含了微積分解決問題的思想：微小局部以勻代非勻求得近似值，最后借助極限求得精確值。后來他們又各自建立了計算定積分的基本公式—牛頓-萊布尼茨公式，從此人們可以用定積分計算一個不規則圖形的面積。

1.4 不封閉圖形的面積

事實又一次刷新了我們的認知，一塊不封閉的無限延伸的平面圖形的面積可能是一個有限的定值，這另一方面也促使了積分概念從黎曼積分向反常積分的推廣。

1.5 空間曲面的面積

對于空間的某些規則曲面，像圓柱體的側面，可以通過剪開，展開成長方形來計算面積。對于一般的空間曲面，它是高度不均勻變化的量，關于區域具有可加性，可借助積分學處理問題的元素法的思想：分割、近似（用相應切平面上平面面積代替）、求和、取極限，得到一個特殊形式的和的極限，進一步可轉化成投影區域（以 面為例）上的二重積分空間曲面的面積也可以直接分割、求和、取極限，即用被積函數為1 的第一類曲面積分表示。這又進一步促進了積分學的發展，將積分區域從數軸上的區間，推廣到平面區域和空間曲面域。

1.6 進一步拓展

面積是一種度量手段，從“度量”的角度說，一維長度，二維面積，三維體積，更高維的測度，是“面積”的外延，我們可以從縱向的深入，橫向的拓展，經緯兩方面介紹。

自此，我們研究了面積這一概念的從無到有，及面積計算公式的產生發展過程，它是人們為了解決實際問題而引入的，凝聚了勞動人民偉大的智慧和他們鍥而不舍的探索精神。面積計算從規則到不規則，從封閉到不封閉，從平面到空間，融入了數學思維和科研方法，預示著科學的進步，文明的發展。

2 結束語

數學概念和定理是數學知識的基礎，來源于實踐，是對實際問題高度抽象的結果，能更準確地反映科學的本質，具有普遍意義。[10]如果在講解這些數學知識時能以專題的形式作為補充，講清概念或定理的產生背景、發展規律、拓展外延，可以幫助同學們了解這些知識產生的歷史，理解它們的本質，掌握它們在實際中或后續課程中的應用，培養學生數學思維，鍛煉學生科研方法，將數學家追求真理的不畏困難、堅持不懈的小故事帶入課堂，將知識傳授、能力培養、思想引領融為一體。

對高等數學這門學科來說，有許多內容可以列為專題討論：（1）映射、函數、泛函概念的區別與聯系；（2）微積分的發展簡史（按歷史順序梳理極限、導數、定積分、不定積分等概念根據實際需要一個個產生、發展，又進一步完善的過程）；（3）積分方法總結（采用結構分析法，通過分析被積函數的特點來尋求計算定積分的方法），這對后面重積分及線面積分的學習起奠定基礎的作用；（4）微分方程典型案例（實際問題建模轉化成數學問題——微分方程，分析方程的類型，總結求解方法）。