從“教材重構”到“活動重建”

楊宏偉

［摘 要］教師要聚焦數學本質，抓住知識間的橫向和縱向聯系，將復雜問題回歸本源，讓靜態的數學課堂走向動態的學習活動，讓學生在數學活動中充分經歷操作、想象、推理、驗證等一系列數學學習過程，讓課堂呈現素養生長的勃勃生機。文章以“三角形三邊的關系”一課為例，闡釋指向素養生長的教學思考與具體實踐，探索從“教材重構”到“活動重建”的有效路徑。

［關鍵詞］教材；活動；素養；課堂

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）35-0020-04

“三角形三邊的關系”屬于“圖形與幾何”板塊的內容，是在學生初步認識三角形的基礎上繼續開展的研究學習活動，目的是使學生進一步加深對三角形特征的理解，掌握三角形的邊的重要特征，并靈活利用這一特征解決生活中的實際問題。

一、指向素養生長的教學思考與教材重構

在“三角形三邊的關系”的教學中，教師通常根據教材的編排，讓學生動手擺一擺、看一看、說一說。學生發現有的小棒能圍成三角形，有的圍不成。接著，教師利用給定的數據揭示本課的重點：三角形任意兩邊的和大于第三邊。這樣直接引出結論，鋪墊不足，教學效果不盡如人意。

鑒于此，筆者對教材內容進行重構，以實現思維視角下的整體把握。具體做法如下。

首先，借助“工具庫——兩點之間線段最短”喚醒學生對三角形三邊的關系的認識。以問題驅動為著力點，激發學生探究新知的欲望，讓學生從解決問題開始，初步感悟“圍得成”和“圍不成”。

其次，激發學生主動學習潛能。通過“猜想—驗證—歸納”數學活動，將核心問題“三角形三邊的關系”貫穿課堂的始終，由淺入深探究“圍得成”和“圍不成”。

最后，設計具有思維張力的練習。讓學生運用所學的知識快速判斷所給的數據能不能圍成三角形，以練習促進學力提升，使學生能夠構建探究三角形三邊的關系的方法，優化“圍得成”。（如圖1）

整節課圍繞探索三角形三邊的關系展開，設置不同的學習推進點，促進學生表達自己的觀點與思考。學生在教師的引導下經歷“初悟—深究—思辨”的學習路徑，進而形成數學核心素養。

二、促進素養生長的學習活動重建與教學應用

為了促進學生素養的生長，筆者對學習活動進行了系統重建，通過問題導引、任務驅動、活動參與等方式，引領學生充分經歷具有挑戰性與開放性的學習活動，使學生在活動中強化數學理解，感悟數學思想，積累活動經驗。

1.操作辨偽：初步體會“圍不成”

核心素養視域下的課堂教學聚焦“圖形與幾何”知識的特性，強調數學核心概念的理解與認同。因此，教師可以以問題探究的形式拋出問題，引領學生開啟對本課知識的學習。

問題：如圖2，將左邊的三角形的三條邊展開，就得到了一條長12米的線段。想一想，把這條線段任意分成三段，是不是都能圍成三角形？

筆者讓學生小組合作，想一想、剪一剪、擺一擺、說一說。學生將圖與算式有機結合，列出了六種可能的情況（如圖3）。筆者基于學生認知起點，追加問題，有序推進知識建構，讓學生初步掌握知識。

本環節中，筆者依次提出三個問題：“這三條線段能圍成三角形嗎？我們是怎樣進行比較的？這三條線段的長度之間有什么關系？”學生借助圖形觀察與思考，實現圖形與結論的關聯，初步感受到：能不能圍成三角形和線段的長短有關；圍得成三角形時，任意兩條線段的長度之和都大于第三條線段的長度。為引導學生深入分析，在抽象算式的過程中理解核心問題，筆者又提出三個問題： “長1米、4米和7米的三條線段，為什么圍不成三角形？長3米、4米和5米的三條線段長度之間有什么關系？長2米、4米和6米的三條線段能圍成三角形嗎？”教師引導學生緊緊圍繞問題有序進行探索，以自己圍成的圖形為素材，用算式分析“圍得成”與“圍不成”，初步發現三角形三邊之間的關系：1+4<7，1+7>4，4+7>1；3+4>5，3+5>4，4+5>3。由此，學生初步猜想：只要有兩條線段的長度之和小于第三條線段的長度，這三條線段就圍不成三角形。學生用算式進行數據分析，梳理三角形三邊的關系，提升了邏輯思維能力，為深入探索知識奠定了基礎。

2.推理揭秘：深度理解“圍得成”

本環節是整節課的核心環節。培養學生的高階思維能力，不但要讓學生明白“是什么”，而且要讓學生明白“為什么”。在第一階段的學習中，學生已經初步了解了三角形三邊的關系的相關結論，此時的教學應逐步爬坡，讓學生進一步推理，揭秘“為什么”，引領學生的思維走向高階，使其對三角形三邊的關系的理解從淺顯走向深刻。

（1）深入挖掘，探究活動數據

本環節設置了兩個教學推進點。第一個是先把12米改寫成120分米和1200厘米（如圖4），提問：這三條線段能圍成三角形嗎？三條線段之間又有怎么樣的關系？第二個是提問：如果把120分米改寫成1200厘米、12000毫米，再將其任意分成三段后圍三角形，有多少種不同的圍法？

同樣長的三條線段，由于單位不同，分成三段的長度組合也不同，提供了多樣化的研究數據。用多樣化的數據引發多元的“推算—推理—驗證”，從特殊到一般，在實現更高層次的抽象與概括的同時不斷完善結論。

（2）溯本求源，強化知識本質

數學教學既要溯源而上，揭示知識從何處來，又要順勢而下，抵近知識本質。在此環節中，教師將學生的課堂生成轉化為教學素材，緊扣三角形三邊的關系這一核心，圍繞一個觀察點和一個研究點，凸顯知識本質，促進學生對知識的深度理解。

觀察點在于“圍得成”與“圍不成”。先把12米改寫成120分米，再把長120分米的線段任意分成三段，就多了許多分法，分得的線段是否符合之前的猜想呢？“（30，89，1）這三條線段能圍成三角形嗎？這三條線段之間有怎樣的關系？（30，88，2）能圍成三角形嗎？列出算式。（30，60，30）這組線段為什么圍不成三角形？”筆者借助動態演示，通過一系列問題驅動學生用算式來辨別三條線段能否圍成三角形，給學生提供了豐富的想象空間，讓他們直觀感知“圍得成”與“圍不成”。

同時，引發一個研究點：辨析“圍得成”與“圍不成”。筆者引導學生在觀看動態演示的過程中思考：“長度由（30，60，30）開始慢慢變化，變為（30，59，31）時（如圖5），這三條線段為什么能圍成三角形呢？”這一問題成功激發了學生進行深度思考。有學生說是因為在這組線段中，無論是哪兩條邊的長度之和都比第三條邊的長度大。學生帶著這樣的認識，繼續探索（30，58，32）、（30，57，33）、（30，59，31）……（30，30，60）（如圖6）。這時，又回到了“圍不成”的情況。學生漸漸領悟到：只要任意兩條邊的長度之和大于第三邊，就能圍成三角形。此外，學生加深了對三角形三邊關系的理解，真切體會了“圍得成”與“圍不成”的區別與聯系。

筆者在突破教學難點時注重推理揭秘，引領學生層層深入，深挖知識內涵，直抵知識本質，使學生不斷經歷“圍得成”與“圍不成”的轉換過程，提升思維能力。

3.思辨生成：精準把握“圍得成”與“圍不成”

本環節既有學生的“思”——思考知識體系的構建，又有學生的“辨”——運用結論進行辨析，優化判別方法。

（1）凸顯知識延伸的一致性

筆者提問：“用a、b、c分別表示三角形三條邊的長度，它們之間有什么關系？”學生根據已有的學習經驗脫口而出：“三角形任意兩條邊的長度之和大于第三邊的長度。”這時，筆者基于結構化、整體性的意識與思維，利用知識間的聯系順勢而導，引領學生聚焦到“兩點之間線段最短”上（如圖7），體會兩者的一致性。

（2）強化深度理解的優越性

練習是鞏固學習成果的重要手段，也是構建知識系統的重要一環。筆者利用已有的教學資源做了一個有機整合，設置了一定量的練習（如圖8），既包括知識的鞏固，又包括方法的靈活應用和逐步優化，以促進學生思維碰撞。

判斷下面三條線段能否圍成三角形。（在□里畫“√”）

這個看似簡單的問題，卻包含著數學思維的進階。學生在理解并運用結論的基礎上，快速優化方法，即只需要比較較短的兩條線段的長度之和是否大于最長的線段即可，從而提升了學習力。

三、深化素養生長的習題拓展與持續發展

數學學習是一個循序漸進、主動建構，不斷擴充與完善知識體系的過程。適度進行習題拓展有助于延伸知識點，促進思維爬坡，提升解決問題的能力。對三角形三邊的關系的理解屬于數學知識理解的基本范疇。教學需要超越知識，學生只有理解了“為什么”，才能觸及數學知識的本質。

拓展性練習：用一根長12米的籬笆一面靠墻圍一塊三角形菜地，墻長6米（如圖9），有多少種不同的圍法？（取整厘米數）

這是一個富有挑戰性的問題。教學中，筆者抓住學生討論過程中出現的兩個疑問引導學生深入探究。疑問一：怎么運用三角形三邊的關系解題？要解決這一疑問，需要學生感悟所學的知識，既要實現知識之間的融合，又要掌握將生活問題轉化為數學問題的方法。筆者以素養的生長為出發點，讓學生經歷數學知識“再發現—再創造”的過程，真正提升學生的學習能力。疑問二：如何采用有效的方法來解答？筆者認為，一方面，教師要啟發學生厘清問題，從所學知識著手，將問題納入已有的知識框架，注重數學知識的建構與創造，實現學生認知結構的擴充與生長；另一方面，教師要鼓勵學生分小組合作，用好已有的材料，進行多路徑辨析，并相互交流。學生經過嘗試和思辨后找到解決這類問題的一般方法，即一一列舉法（如圖10）。用一一列舉法既能完整地列舉出所有符合條件的情況，又能幫助學生養成全面思考的習慣。另外，學生在對每一種情況都進行辨析的過程中，還能養成嚴謹的學習習慣，從而提高數學核心素養。

拓展練習的設計需要考慮學生對新知識的整體理解與感悟，素材及問題共同指向學生的素養生長。同時，學生生成性資源的展示與交流，也會促使學生進一步打開思路，加深理解，強化認識，并掌握解決一類問題的基本方法，形成基本技能。這既是數學知識的遷移，也是數學技能的提升，為學生今后數學學習的可持續性發展奠定堅實的基礎。

（責編吳美玲）