題組統整，結構建模，滲透方程思想

徐英姿 沈建明

［摘 要］關于“分數除法”單元中的問題解決，教材沿用了分數乘法的數量模型，運用方程的思路來解決實際問題，但是卻用算術思維來解決“分數工程問題”?；诮虒W的單元整體性考慮，教學“分數除法”時溝通新舊知識，通過題組來滲透方程思想，以構建更加完整的數學知識結構。

［關鍵詞］整體教學；方程思想；分數工程問題

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）35-0041-03

人教版教材六年級上冊的“分數除法”單元最后的工程問題，是人教版教材新增的一類實際問題，它是對過去簡單的工程問題的拓展，主要是讓學生經歷分數的抽象表達，把以前的數量邏輯與現在的分率表達進行類比統整，從而豐富對分數意義的理解。在“分數除法”單元中，關于“分數除法解決問題”的相關內容——例4、例5、例6，均為先找出順向的乘法數量關系，再運用方程的方法來解決問題。但是，對于本單元中的工程問題，教材則采用算術方法來解決。從單元統整的角度考慮，是否可以采用順向的結構化思維，運用方程的模型來解決分數工程問題，讓學生建立更加完整的認知結構？帶著這樣的思考，筆者進行了教學探究。

一、題組比較，豐富數率結構

之前的教材并沒有單獨編排整數的工程問題。四年級上冊“三位數乘兩位數”單元的有關單價、數量和總價以及速度、時間和路程的問題，都是從“每份數×份數=總數”這一數量關系中衍生出來的，因此，明確具體問題的具體的量還是非常有必要的。教師可在教學引入階段可讓學生聯系新舊知識，進一步明確“工作效率×工作時間=工作總量”這一數量關系，同時，通過題組幫助學生構建數量關系模型，為后面的解決問題做好鋪墊。

1.新舊聯系，拓展模型結構

筆者開門見山，直接出示課題“工程問題”，讓學生回顧已學知識。

出示題組的第1題：（1）修一條公路，甲隊每天修3千米，乙隊每天修2千米，兩隊合修，7.2天修完，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ？請提出問題并列式解答。

學生基本上都提出問題“這條路全長多少千米”，并列出“（3+2）×7.2=36（千米）”。筆者追問：“這里的‘3是什么？這里的‘2呢？‘7.2又是什么？”同時結合學生的回答板書：

筆者提問：“還可以怎么算呢？”學生都能列出“3×7.2+2×7.2=36（千米）”。筆者板書：

通過提問和交流，學生復習了簡單的含有工作效率、工作時間和工作總量的實際問題，明確“同時進行的問題，只要知道各自的工作效率和工作時間，就有兩種思路求出工作總量”，從而拓展了最基本的數量關系模型。

2.把握結構，乘除思路融合

出示題組的第2題：（2）修一條長36千米的公路，甲隊每天修3千米，乙隊每天修2千米，兩隊合修，? ? ? ? ? ? ？這道題是“已知工作總量和工作效率，求工作時間”的問題，學生通常喜歡用算術方法解決。對此，筆者有意引導學生先根據板書中的數量關系來找已知量：“這里已經知道了什么？”根據學生回答，筆者在數量關系式對應的量上打鉤，并提問：“要我們求什么？可以怎么求？”同時板書：

解決同一個問題有多種思路，但萬變不離其宗的就是數量關系的結構。學生通過觀察，就能發現用方程方法與用算術方法解題的共同點。

比較后，學生體會到運用乘法的數量關系式列式是順向的思維，符合題目的敘述順序，而依據關系式，用分數除法解決是逆向思維，但不管用哪種方法，都需要根據數量關系結構來列式（如圖1）。至此，學生認識到數量關系結構的作用。

3.數形結合，聯系數率變化

工程問題放在“分數除法”這一單元，與之前最大的區別就是數的不一樣。從具體的數量到抽象的分率，數學能力較弱的學生肯定在理解上有困難。筆者運用畫線段圖、列表格等幾何直觀的方法，幫助學生進行思考與表達。

出示題組的第3題：（3）修一條公路，如果甲隊單獨修，12天修完；如果乙隊單獨修，18天修完。兩隊合修，幾天修完？

如果是一開始直接給出這道題，由于沒了路程數，學生原有認知經驗不足，會認為題目信息不足；以題組的形式引出，則為部分學生提供了思路上的借鑒。教師可通過提示“能不能假設公路的總長度”，幫助學生自主獲得用假設法解決問題的思路。

學生獨立完成后，教師通過學生的回答完善表格（如表1）。

有的學生把“要修的路”假設為某一個具體的數量，有的學生把“要修的路”長度抽象成“1”，都能算出7.2天，而這僅僅是完成了本題的一半，更關鍵的是理解“為什么假設的總路長不同，最后算出來的總天數卻不變”。對于這樣的問題，學生無法用話語清楚表達。于是筆者用原始長度一樣且可變長或變短的三條松緊帶，分別演示了甲隊修路情況、乙隊修路情況以及兩隊合修情況（如圖2）。這樣的演示形象又直觀地體現出，雖然要修的路的長度在假設的過程中不斷變化，但是甲隊和乙隊每天修的長度占總路長的比率卻沒有變化。學生真正體會到：無論“要修的路”長多少，兩隊合修的天數都一樣；把“要修的路”假設為“1”是最為簡便的。

以上設計是對已學的數量關系模型進行了拓展，引導學生從對具體量的理解延伸至用分率表達。同時，這也承接了本單元的一個編排思路：順向建構數量結構模型，采用乘法或方程法來解決實際問題。

二、結構變式，體會方程優點

1.從“同時”到“分開”，合理選擇模型

在用分數除法解決問題時，有的學生一直采用算術方法逆向列式。雖然這樣的方法也有優點，但是從順向思維結構化的角度來看，運用方程方法更容易統整乘法與除法問題的解決方法，便于厘清數量關系。

出示變式題1：修一條公路，如果甲隊單獨修，12天修完；如果乙隊單獨修，18天修完?，F在甲隊先修了4天，余下的工作由乙隊繼續完成。乙隊要幾天才能修完？

在列數量關系式時，學生發現不能用“（工作效率甲+工作效率乙）×工作時間=工作總量”這一公式，因為變式題1改變了之前“兩人合作，同時進行”的條件，使得各自的工作時間不一樣了，反而是“工作效率甲×工作時間甲+工作效率乙×工作時間乙=工作總量”這一結構更適合本題。

筆者讓學生先說甲隊的工作效率和乙隊的工作效率各是多少，再說“已知哪幾個量，要求哪個量”。學生很自然地將已知數據代入“工作效率甲×工作時間甲+工作效率乙×工作時間乙=工作總量”中，列出了方程[112×4+118×x=1]。

也有學生列式為（1- [112]×4）÷[18]，但是通過比較，更多的學生選擇了用方程來解答問題。

從“同時”到“分開”的過程，需要學生合理選擇模型。這就是本課伊始同時出示兩種不同模型結構的意圖。模型本身沒有優劣之分，只有合適與不合適，學生需要根據具體問題來具體分析和運用。

2.從“分開”到“先單后合”，完善模型認識

在經歷了對數量模型的合理選擇后，筆者對數量模型進行了組合，以完善學生對模型的認識。

出示變式題2：修一條公路，如果甲隊單獨修，12天修完；如果乙隊單獨修，18天修完?，F在甲隊先修了4天，余下的工作由甲隊和乙隊繼續合作完成，還要幾天才能修完？

考慮到學生能力的不同，筆者引導學生建立總量模型“甲先修的工作量+甲、乙合修的工作量=工作總量”：“甲先修的工作量怎么求？甲、乙合修的工作量又怎么表示？”很多學生都能運用代數的思維列出方程：

通過情境的層層深入，學生經歷了方程模型的建立與鞏固的過程，漸漸接受方程這一代數思維。

3.從“整體”到“部分”，豐富數率表達

出示變式題3：修一條公路，如果甲隊單獨修，12天修完；如果乙隊單獨修，18天修完。兩隊合修，幾天修完全長的[13]？

因為有了前面的鋪墊，所以學生解答本題時基本上都沒有問題：

為什么要在這個位置放變式題3？從設計的角度看，前面總量都是單位“1”，學生容易形成思維定式；現在把總量從“1”變成“[13]”，雖然僅僅是數據上的改變，卻有利于學生深入理解數量關系。

比起算術方法，方程思想更具有實操性，對于稍難的題目，方程的優勢更明顯，更容易被大部分學生接受，學生會漸漸喜歡用總量模型的方程思想解題。

三、情境變換，統一方程結構

分數工程問題之所以是分數除法解決問題中最為抽象的一類，主要是需要把總量抽象成“1”，并用相應的分率來表示。因此，有必要重現包含“單價”和“速度”數量關系的題目，變換一下情境，促進學生對方程結構與數率關系統一的認識。

1.變化內容場景，提煉結構原型

出示兩道題目，讓學生二選一：

（1）甲車從A城市到B城市要行駛2小時，乙車從B城市到A城市要行駛3小時。兩車同時分別從A城市和B城市出發，幾小時后相遇？

（2）一定數量的錢，如果只買A商品可以買2千克，如果只買B商品可以買3千克。如果這些錢同時買A和B，金額一樣多，可以各買多少千克？

雖然這里的數量關系與工程問題一致，但很多學生卻沒了思路。筆者讓學優生進行講解：

通過不同情境下的問題比較，學生較好感知了“（[1a] + [1b]）x=1”的解決問題模型，對方程總量結構原型有了完整的認識。

2.數率綜合比較，靈活數量表達

出示一道綜合題：一共有320棵樹，如果一隊單獨種，需要8天;如果二隊單獨種，需要10天?，F在兩隊合種，5天能種完嗎？

有不少學生列式為：（320÷8+320÷10）×5=360（棵），360>300（棵）。

筆者提問：“這樣做可以嗎？”馬上有學生表示可以，并迅速給出了另一種方法：（[18] + [110] ）×5= [98] [>]1。

通過比較，學生發現：“320棵”只是具體的某一個數量，這里不管是哪個具體數量，都可以用單位“1”來表示后再解答。這樣一來，抽象的單位“1”有了具體數量的支撐，學生進一步認清了數率之間的聯系，豐富了表達數量的方式。

總之，對“分數工程問題”的教學，重點要放在把握與理解數量關系結構的動態上，滲透方程思想，溝通相關數量關系的相同點與不同點，讓學生運用一種順向的結構化思維，構建完整的分數乘除法問題解決策略體系。

（責編 金 鈴）