精創模型建構策略 強化模型意識培養

蔣小芬

［摘 要］數學教學應當注重數學模型的建構。通過“精選問題，挖掘建模素材”“緊扣思維，推進建模進程”“與‘實俱進，延伸模型實踐”三個途徑，幫助學生掌握建構數學模型的方法，從而強化學生模型意識的培養，使學生養成以數學視角看待現實問題的習慣。

［關鍵詞］模型建構；模型意識；建構策略

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）35-0011-03

小學生的數學學習要著重關注模型意識，而經歷模型建構的過程才能強化模型意識的培養。

模型建構可以從學生熟悉的生活和已有的經驗出發，引導他們將實際問題初步抽象成數學模型并加以解釋與運用。經歷模型建構過程，學生將感悟數學與現實世界的密切聯系，學會用數學的眼光觀察世界；針對或參照某種事物系統的特征或數量依存關系，進行分析、抽象、簡化，提煉數學本質特征，學會用數學的思維思考世界；學會用數學的語言，以及采用多種形式的數學語言描述世界。

一、模型建構的現狀

目前，學生對模型建構存在習得性問題。筆者在實際教學中收集了學生在應用模型時出現的問題，并從四個知識領域進行分析歸類（如表1）。

二、數學模型建構的有效策略

如何結合學生學習的難點與困惑，讓學生有效地體驗模型建構、增強模型意識？如何促進學生對數學模型的深度理解？筆者從以下方面進行了有效的嘗試與實踐。

1.精選問題，挖掘建模素材

（1）生活化+沖突化，喚醒建模意識

生活背景是數學建模的基礎，用數學的眼光觀察生活情境并發現和提出問題是數學建模的起點。因此，教師可以從學生熟悉的生活背景中甄選素材作為基本內容，讓學生激活并提取數學模型的邏輯雛形，在真實情境中揭示數學本質。選擇思維沖突化的問題情境，更能激發學生的思考欲望，使學生主動求變、求通，充分激發學生的主觀能動性，以此喚醒學生的模型意識。

【案例】減法的性質

學生學習減法的性質a-（b+c）=a-b-c和a-（b-c）=a-b+c時會產生這樣的認知沖突：為什么去掉括號后加減運算就變了呢？教師可借用以下生活實例喚醒學生的模型意識（如表2）。

通過具體實例喚醒學生的建模意識，并使學生在認知沖突中比較兩個模型，學生原先的認知失衡便會轉變為認知平衡。

（2）直觀性+類比性，助推建模體驗

數學模型的建構需要數學活動作為載體，所以教師要給學生提供直觀性、結構性、類比性、全方位的材料，助推建模活動，增強學生的建模體驗。

【案例】相交與平行

筆者收集學生繪制的兩條直線的關系圖，有五種情況（如圖1）。

學生先分小組討論直線的位置關系，再記錄分類理由，最后全班聚焦到一個問題上：①號作品中的兩條直線究竟有沒有相交？學生紛紛闡述觀點“不相交，因為沒有‘交。”“會相交，因為直線是可以無限延長的，當延長到一定程度后這兩條直線就會相交。”學生動手展示延長直線的過程，證明①號作品中的兩條直線最后會相交。

①號作品利用看似沒有交點的兩條直線引發學生的討論，使學生經歷“推測—討論—動手驗證”的過程，并由此進入深度學習的狀態，增強了模型建構的體驗。

2.緊扣思維，推進建模進程

（1）聚類中抽象，模型螺旋成形

數學模型并非針對單個數學現象或者數學特征，其本質上具有典型的“類”的特征。因此，教師要為學生呈現豐富的表象，將概念簡單化、整體化，促進模型的建構。

【案例】正比例

筆者匯聚“差不變”“乘積不變”“比值不變”三類變量實例，通過抽象、概括、辨析來引領學生認識正比例的概念，將建構正比例概念模型分成了三個層次。（如圖2）

第一個層次的認識是“變量”，即能在以上三類變量的具體情境中，體會兩個變量存在聯系。第二個層次是認識正比例中兩個變量的變化方向：一個量增大另一個量也隨之增大。第三個層次是最終認知節點：兩個變量變化方向一致的同時，擴大或縮小的倍數也一樣，即兩個變量的比值不變，從而抽象出正比例的概念。

通過三類不同的變量類型，學生經歷了“相關聯—變化方向—比值一定”的抽象過程，最終順理成章地建構正比例的概念。這也為后續反比例概念的教學奠定抽象、比較、符號化等建模基礎。

（2）思辨中提煉，完善模型建構

課堂教學只有考慮學生的立場和整體視角，以及學生的學習難點、困惑點，才能更有效地幫助學生在思辨異同的過程中提煉本質特征，提高建模意識，逐漸完善模型的建構。

【案例】“平行”的概念教學

a.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?c.

教師出示以上三個正方體，并提出以下問題。

①正方體a，同一個平面上的直線：

問題：任選一個面，你能找到兩條互相平行的直線嗎？

②正方體b，異面的直線：

問題：觀察[l1]，[l2]，這兩條直線，它們互相平行嗎？為什么？

③正方體c，看似異面實則共面的直線：

問題：[l3]，[l4]，這兩條直線互相平行嗎？這兩條直線所在的面隱藏在哪里？

最后展示平移直線，動態生成第三個平面：

此案例中，學生充分經歷同一個平面、異面的兩條直線位置關系的辨析過程。在同一個平面上，不相交的兩條直線互相平行；在異面上，不相交的兩條直線有時平行，有時不平行，如果直線[l3]經過平移可以與直線[l4]完全重合，那么平移[l3]所掃過的區域就是這兩條直線共屬的平面。在對看似異面實則共面的直線的辨析過程中，學生實現了深度思考，逐漸完善“在同一個平面內，兩條永不相交的直線互相平行”的數學模型。

3.與“實”俱進，延伸模型實踐

（1）結合實踐經驗，引導建模應用

學生建立數學模型后，最終要在生活實際中驗證數學模型的可行性，并應用數學模型去解決實際問題。

【案例】圓柱的表面積

問題：有一種圓柱形的茶葉罐，要對其進行包裝，為了盡可能地避免浪費，應該選擇怎樣的包裝方式？

問題：給一根底面周長為3.14平方分米、高為3.8米的柱子刷油漆，每平方米要刷0.7千克油漆，共需要多少油漆？

問題：制作100個煙囪需要多少平方米的鐵皮？

學習了圓柱的表面積后，學生已經建立了豐富的表象，并初步建立了模型。為了實現更深刻的認知，教師可引入生活實際問題，強化學生的應用意識，幫助學生積累數學應用的經驗，使學生加深對數學模型的理解，體會數學模型的價值。

（2）積累數學化經驗，養成建模習慣

建構數學模型需要學生將問題數學化，用文字、圖形或者符號表達數量關系和一般性特征，形成建模的習慣。比如，在解答圖2中的“樂樂和爸爸的年齡”等問題時，學生能主動地用簡單的符號來表達不同的關系（如表3）。

學生運用數學語言表達數量關系，不但能養成用數學眼光看待問題的習慣，而且能在知識的梳理、反思學習中領會模型思想，不僅有效地解決了問題，還為后續學習打下了堅實的基礎，形成了良好的數學核心素養。

（3）滲透模型意識，延伸數學思維

學生在經歷建構模型的過程中不僅要掌握建模方法，還要主動追溯問題的核心和本質，從形式上、方法上、思想上去延伸數學思維。

針對圓柱的表面積問題，教師可出示延伸數學思維的問題串，以引發學生對數學知識本質的思考：回顧一下，我們已經掌握了哪些圖形的表面積計算方法？你能畫出這些圖形的側面展開圖嗎？能用公式表示這些圖形的側面積的計算方法嗎？它們之間是否存在相同點？

將學生思維局限于課堂并不能真正起到培養學生模型意識的作用，所以教師可以將學生思維延伸到課外，引導學生提煉數學問題，組建項目化學習小組，關注自主學習過程，如此才能達到持續探究的目的。

值得注意的是，模型意識的培養也應做到以生為本。教師長期堅持強化學生數學模型意識的培養，使學生逐漸學會用數學的眼光去看待問題、分析問題，感受現實生活中蘊含著的大量數學知識，并能運用數學知識將生活問題抽象、建構成數學模型，從而能從解決一個數學問題到解決一類數學問題，再到解決一般現實問題，形成模型觀念。

（責編 吳美玲）