回溯本源 駁倒反例

李楊

［摘 要］不完全歸納法直觀又形象，但僅通過有限的實例來證實結論的正確性，可能會遺漏一些反例，得出的結論是片面和錯誤的。在教學“釘子板上的多邊形”時，教師要帶領學生追溯知識本源，避免學生用不完全歸納法時產生的錯漏，以得出嚴謹的科學結論。

［關鍵詞］釘子板上的多邊形；反例；綜合實踐課

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）35-0058-03

蘇教版教材第九冊“用字母表示數”單元后附設了一節綜合實踐課“釘子板上的多邊形”。當學生根據教師示范的特例——多邊形內只有一顆橡皮釘的情形，初步概括出“多邊形的面積為多邊形邊上橡皮釘數的一半”這個結論后，教師要求學生用代數式表示結論，以便結論簡明且具有普遍意義，但學生完全不懂該如何入手。教師只好提示“用字母表示數量關系”，并板書“a=1，S=n÷2”，隨后指導學生舉例證明。在展示了學生的幾份作業后，教師開始歸納總結。

【教學片段】

生1（舉手）：老師，我得到的結果不一樣。

師：是怎么回事？

生1（在點陣圖上畫了一個圓形，如圖1）：圓周一共經過4個點，代入公式得出S=n÷2，賦值后的結果是面積等于2，但是運用剪切拼貼方法得到的面積比2大。

師：這個例子說明了什么？

生2 ：這樣的矩形點陣圖應該是圍不出圓形的。

生1：明明可以畫出來，為什么你說不可以？

（生2意識到自己思慮不周，只得默默坐下）

師：是啊！因為在矩形點陣圖上圍不出圓形，所以生1這個結論是一個偽命題。現在，公布正確的結論……

（教師讓學生回顧整節課，板書“猜測—證明—總結”，總結找規律的方法）

【課后交流】

筆者：生2的觀點“矩形點陣圖上無法圍出圓形”，能夠構成反駁生1的例子嗎？

執教者：當然可以，矩形點陣圖上確實圍不出圓形。

筆者：其實生1并未心服口服。

執教者：可以畫出，不代表可以圍出來，二者不是一碼事。

筆者：您聽過皮克公式嗎？

執教者：聞所未聞。

筆者：那圓是多邊形嗎？

執教者：……

一、合理利用已有經驗

“釘子板上的多邊形”屬于探究活動課，是教材新增的內容。教材是按順序出示內部有1顆橡皮釘、2顆橡皮釘的多邊形，引導學生先通過數數、計算等方法初步歸納出多邊形面積與橡皮釘數量之間的換算關系，然后應用此規律，對照驗證多邊形圍3顆、4顆橡皮釘的情形，在獲得大量可靠數據后，歸納出確切結論。舊教材是將“找規律”單設成章，新教材則是將其分解后插入不同章節中。在教學“找規律”這一內容時，教材的重心落在一個“找”字上，所以這節課的主要目標不在于獲得結論，而在于找的途徑和手段，讓學生經歷規律探索的常規流程，積累數學活動經驗，以此培養學生敏銳的洞察力、高度的概括力。只不過，在五年級之前學生已經對“找規律”有所涉獵，如“周期規律”“搭配規律”等。除去這些貼有“找規律”標簽的專題課程，還有很多隱性的“找規律”課程，譬如算術教程中的“商不變性質”“運算律”等；圖形性質教程中“三角形的三邊關系”“三角形的內角和”等。只不過這些內容的側重點在對規律的運用，對于尋找規律的探究過程則一筆帶過。

可以說，“找規律”作為一種技巧，許多地方都有體現。如果教師在教學相關內容時，能有意識地提煉找規律的方法，并在教學設計時將滲透找規律的思想方法作為重要參考指標，并且長期堅持，分段實施，逐步推進，那么到了五年級，學生對于找規律的一般方法和有效策略應該已經得心應手。

然而，從這節課的情況來看，教師要么把教學這節課錯當成教授“找規律”方法與技巧的專題課，要么就是不敢放權，不愿嘗試以學生自主探究合作交流為主的教學方法。也就是說，如果教師目光長遠，那么在一開場就應該讓學生回想和梳理舊知，遷移找規律的方法技巧，而不會把它作為“新大陸”去開發。

學生的“找規律”經驗十分豐富，除了常規程序，還有一些心得竅門——遵循由特殊到一般或者由簡單到復雜的做法。本節課的“找規律”較以往更為復雜，存在第三變量。但慶幸的是，如果學生利用一般方法探索規律，從最基礎的圖形內包圍1顆橡皮釘開始，合情推理、逐步推導，順應這種思路推導就能得出科學結論。授課時，也許學生會有圖形內橡皮釘數從0開始算起的想法，對此，教師不妨先順著學生的思維，再糾正學生的錯誤，將起點調回a=1。如此一來，a=0這種走不通的情形反倒成了最有力的證明。

在上述教學片段中，問題的癥結在于學生沒有真正經歷找的過程，而且執教者授課時過分糾結于圖形內只有一個點的情況，在這一基本模式上耗費過多時間和精力。執教者本可以借助這節課夯實學生基礎，結果事與愿違，適得其反，學生就在原地打轉，信手畫出一個圈圈，圈出一個點。此時，執教者順應學生的“錯誤”，結果發現這個圓不符合原有規律，邊緣穿過的點數除以2不等于圓的面積數，自相矛盾。執教者應該直接從指定圖形（如三角形）圍住一個點、兩個點、三個點……慢慢總結出預設的規律，最后回過頭來研究這個圓的特例，引發學生的認知沖突“為什么圓不符合這個規律？”，以此重新梳理這個規律存在的基本條件。

二、舉反例不是走過場

值得一提的是，教材編排的“找規律”課程，多半運用的是不完全歸納法總結出規律，這是基于學生年齡段的選擇，其益處是，學生可以借此設計豐富多彩、活潑有趣的探究活動，在游戲活動中慢慢體驗規律的生成過程，形成觀察、對比、推導、分析、歸納、聯想、驗證等能力；弊端是，這種方法得出的結論可靠性差。因此，教師應該隱藏“知情者”的身份，每次檢驗時引導學生尋找反例。由于教材編排的“找規律”必然能夠通過有限實例不完全歸納出正確規律，久而久之，學生就會將不完全歸納法奉為圭臬，深信不疑，但是這卻掩蓋了不完全歸納法的缺陷，也不利于學生科學嚴謹態度的形成。因此，教師只有創造一種“反例推翻結論”的活動，才能破除學生對不完全歸納法的迷信。

反觀教學片段中，執教者提問：“同學們，你們舉的例子得出的也是這個結論吧？”后出現了反例，讓人猝不及防。可見，執教者低估了反例出現的可能性，由此也可以推知，執教者在以往的“找規律”教學中，反例也常出現。執教者的教學行為顯然不符合科學探究的精神主旨。根據后來“真實”的反例出現后，執教者驚慌失措的表情來看，他對教材的研究很膚淺。如果精研教材就會發現，“釘子板上的多邊形”不過是皮克公式的翻版。皮克公式是奧地利數學家皮克發現的一個專用點陣中點數多少推算多邊形面積的特殊公式。

說到底，反例不是洪水猛獸，如果教師事先做好充分的預設，將所有可能出現的反例考慮在內，進行充分的解析，對反例進行鞭辟入里的解讀，不但可以更全面地了解原有規律，使通過不完全歸納法歸納出的規律更加嚴謹，而且通過這個反例，可以讓學生對原規律的存在前提、適用范圍、邏輯形式有深刻清晰的認識，運用時不會盲目照搬。如果提出反例的主動權掌握在學生手里，學生根據自己的理解當場反駁，教師在毫無準備的情況下就會措手不及，慌亂之中找不出合適的理由來反駁，也無法自圓其說，不但越描越黑，而且連原本幫助學生建立起來的對規律的信任也會土崩瓦解，讓教學全線崩盤。當然，教師若想從容應對反例的“變故”，就得深入鉆研知識背景，如圍圖背后的定理——皮克公式。

三、回歸知識本源

數學科普讀物《網點和面積》對此也有詳細介紹：一幅點陣圖，橫豎交錯著兩組虛線、相鄰平行線的間距相等，兩組虛線的交點，就是網點。利用網點數量去推斷點陣圖中某個指定區域的面積，或者反過來，根據已知區域的面積去倒推經過網點的數量。于是，可以斷定，“釘子板上的多邊形”其實就是脫胎于“網點圖中的多邊形”。

教材為何將網點圖換成釘子圖？主要是為了迎合學生的興趣，況且這也是數學游戲活動的常用道具，學生對此有著豐富的操作經驗。然而，百密一疏，這一改，可能給學生帶來認知錯覺，上述案例中生2的回答“釘子板上無法圍出圓形”足以證明這一點，生2 的觀點從教材編寫意圖上看也并無不妥，但從知識本質看卻是荒謬的。如果執教者了解教材知識引入過程，就不會采信生2的說辭，避重就輕轉移話題，硬切到“網點圖中的多邊形”中，誘導學生弄清實情。

教學時，只有對知識追根溯源，才能讓教學始終緊扣教學目標。收尾部分也應指向知識的本源——皮克公式和《網點和面積》一書，進行合理的拓展。需要說明的是，本課雖是一節“找規律”的課型，但是它附錄在“用字母表示數”章節之后，這就意味著教師必須及時以此幫助學生鞏固舊知——用代數式表示發現的規律。不過，要讓學生在表達規律時主動想到用代數式表示，僅靠教師的誘導性指示——“這句話用代數式怎么表示”來體現其優越性是不夠的，遠沒有觸及代數式的真正用途——“用字母代數可以用一個式子囊括所有可能，體現的是從單個的定量到無窮的變量的發散”。從學生的真實反應看，學生并不理解“多邊形面積單位數是多邊形邊上橡皮釘數量的一半”這句話，因為其句式太過復雜，教師應該抓住面積、圖形上橡皮釘數和圖形內橡皮釘數等的“動態變化”，引導學生設法用變化無窮的字母代替單個不變的數字。換言之，就是用字母的簡捷、普遍的優越性來揭示代數式的本質——“表示變量之間的不變關系”。

規律結論可能很簡單，但是規律的淵源卻非常復雜，理論也可能非常深邃，這些都不要緊，因為學生目前不需要了解這些，要了解清楚的是教師。教師知道的無論多么詳細，傳遞給學生的必須簡潔，這就涉及規律的表達問題。如果用大段文字來描述這個規律，對學生而言佶屈聱牙、晦澀難懂，但是如果用代數式來表達，就會言簡意賅、明白無誤，這是數學語言的優勢。找規律的過程本身就包含如何表達的問題，一開始，就應該將多邊形各邊穿過的點數設為n，然后將圍住的面積設為a，先讓學生嘗試用字母表示這個數量關系，再通過一步步增加點數，讓學生代入驗證，檢驗這個公式是否還成立。多次實驗后，學生自會發現這個公式的普適性，對這個公式深信不疑的同時，對規律的構建也會水到渠成。

綜合以上分析，可以發現，“釘子板上的多邊形”這節課可進行雙線敘事，明線是尋找規律，暗線是學會用代數式來揭示規律。兩條線齊頭并進，或許就是這節數學綜合實踐課的精妙所在——“綜合”是將“代數式”和“幾何圖形”有機結合，“實踐活動”就是將點陣圖換成“釘子圖”。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 張偉.寓學于樂? 融數于趣：以“釘子板上的多邊形”教學為例[J].江蘇教育研究，2020（35）：52-55.

[2] 王輝.為學而教? 以學定教：《釘子板上的多邊形》教學設計[J].小學教學設計，2020（35）：45-46.

[3] 劉倩.“魔法數學”路徑下探索規律課型的教學實踐與思考：以《釘子板上的多邊形》為例[J].數學教學通訊，2020（34）：42-43.

（責編 金 鈴）