一種考慮高階振型影響的模態條件均值目標譜方法研究

高嘉偉，杜 軻

(1. 中國地震局工程力學研究所，哈爾濱 150080；2. 中國地震局地震工程與工程振動重點實驗室，哈爾濱 150080)

現有的結構抗震設計方法基本分為3 種：底部剪力法、振型分解反應譜法和時程分析法。底部剪力法以及振型分解方法根據規范設計地震動反應譜，可以較方便地計算出結構的響應，但這對于不規則結構的反應計算是不精確的，因此，我國抗震規范規定，對于特別不規則、甲類及超限建筑，應使用時程分析法進行補充計算。在時程分析法中，地震動記錄的選取會直接影響時程分析的準確性[1-3]，對于如何選取合適的地震動記錄，國內外學者已經進行了深入的研究。現有的地震動記錄選取方法已從簡單的地震動特性匹配(如震級、震中距、場地等)發展到目標譜匹配[4]，即，使選擇的地震動反應譜與預定的目標反應譜形相一致[5]。目標反應譜包括規范標準譜、一致危險譜(UHS)、條件均值譜(CMS)等。其中，基于規范標準譜的選取方法通過選擇與規范標準譜譜形匹配的3 條或7 條地震動進行計算，這也是建筑規范對地震動記錄選取的要求，因此在一般工程中被廣泛應用。對于國家重大工程和可能發生嚴重次生災害的工程，則必須進行地震安全性評價(簡稱“安評”)，確定抗震設防要求。地震安全性評價采用概率地震危險性分析方法(PSHA)給出該場地的一致危險譜，其上任意一點都代表該周期下相同超越概率下的譜值，但是對于某一具體結構，并不能在所有周期處都達到UHS 的值[6]。為了彌補一致危險譜過于保守的這一缺陷，Baker 等[7-8]引進了譜形參數的概念，提出將譜形參數作為衡量地震動強度的因素，并由加速度和譜形參數組成的向量強度來表征地震動強度的大小。在此基礎上，Baker 等[9]又提出了條件均值譜的概念，并給出了以條件均值譜作為目標譜選擇地震動的具體方法與步驟。條件均值譜和地震動記錄反應譜的形狀更加接近，能夠更好地反映實際地震動的特性。

中國的研究人員在Baker 提出的條件均值譜基礎上也展開了大量研究工作。韓建平等[3]對國內外關于譜形影響地震動強度指標的理論及其應用現狀作了系統的綜述，為國內條件均值譜理論的研究提供了參考。CMS 的建立首先要確定加速度反應譜相關系數，冀昆等[10]首次根據中國地震動記錄對相關系數進行了研究，新開發了一種地震動預測方程(GMPE)，選擇并分析了中國2007 年-2014 年的地震動數據，將所得相關系數結果以綜合表的形式給出，并且提出了一種新方法驗證了該地震動預測方程確定相關系數的適宜性。冀昆等[11]在中國工程場地地震安全性評價結果的基礎上，利用我國CPSHA 兩級潛在震源的劃分原理，對給定地震進行解耦，得到了同時考慮震級、標準差系數、場地的3D 參數解耦結果。在解決了條件均值譜構建的一系列關鍵技術要素問題之后，冀昆等[12-13]給出了以我國安全性評價工作為基礎的CMS 和CS 完整的計算流程與計算實例，并且從地震危險一致性的角度來對最終CS 選波結果進行驗證。朱瑞廣等[14]采用AB95_BC 點源模型和基于有限斷層的混合震源模型來生成人工模擬地震動，進一步對模擬地震動的反應譜進行統計分析，提出了一種基于地震動模擬的一致危險譜和條件均值譜的生成方法。尹建華等[15]利用中國條件均值譜生成及選波方法，對給定結構進行增量動力分析(IDA)，計算出該結構的倒塌易損性，并與使用規范譜、一致危險譜得到的結果進行比較。許柳韻等[16]使用了條件均值譜方法對軟土地基下超高層結構進行了研究。陳亮等[17]在RC 橋梁非線性的研究中考慮了譜形因素的影響，并對影響顯著的反應區段進行了估計。

綜上所述，以考慮譜形參數的條件均值譜作為目標譜進行選波分析的方法越來越得到國內外學者的關注和認可，使用條件均值譜也可以得到相對合理、有效的結果。然而，國內外現有的條件均值譜的相關研究都是針對低層框架結構展開的，高層結構選波的目標譜研究領域仍是空白的。根據振型分解法的理論，多自由度結構的響應可看作多個振型疊加的結果，每個振型對結構整體影響的大小可用振型參與質量系數來衡量。而隨著結構層數的增高以及不規則性增大，結構第一振型參與質量系數也會越來越小。條件均值譜方法選取結構的第一周期作為條件周期，忽略了高階振型對結構的影響，而高層結構的第一周期往往處于反應譜的下降區段，其高階振型周期對應的反應譜值大于第一周期的反應譜值，因此，對于高層以及不規則的結構，以條件均值譜作為目標譜仍存在一定的不足。本文基于條件均值譜選波理論，提出一種考慮高階振型影響的模態條件均值譜選波方法，后文簡稱模態譜方法。該方法以模態分析中振型疊加的思路，考慮了結構高階振型的影響，通過對結構各個周期下的條件均值譜進行加權平均，得到一條全新的目標譜，即模態譜，并設計了一個典型高層結構，利用模態譜選取地震動進行動力時程分析，與一致危險譜及其對應相同超越概率的條件均值譜(第一周期下的條件均值譜，后文簡稱條件譜)選波計算的結果進行對比，證明了其考慮高階振型影響的合理性。

1 模態條件均值譜理論與生成方法

根據模態條件均值譜匹配地震動記錄的方法，首先要生成針對具體目標結構的模態譜。模態譜的生成主要分3 個步驟：① 對目標結構進行模態分析，得到各振型的自振周期以及對應的振型參與質量系數；② 生成各周期對應的條件均值譜；③ 根據各振型周期下的條件均值譜及對應的振型參與質量系數，通過加權平均得到該結構的模態譜。

1.1 模態分析

根據結構動力學的理論，N層結構(N個自由度)在地面運動激勵下的運動方程為：

1.2 條件均值譜

根據概率地震危險性分析(PSHA)計算，通過將50 年內超過某一概率的所有周期處的譜加速度值包絡起來，構建出該超越概率的一致危險譜。假設所研究的結構的第一周期為T1，可在選定目標超越概率(如50 年內超越概率為2%)下的一致危險譜(UHS)中得到S a(T1)的值。基于地震動衰減關系，使用地震解耦方法對符合該場地的S a(T1)進行3D 解耦，得到可能導致該場地發生S a(T1)響應的地震的震級M(T1)、距離R(T1)、譜形參數ε(T1)的均值。得到M、R、ε 之后，將其代入地震動預測方程中，得到一條預測的地震動反應譜的均值，將其與一致危險譜(UHS)繪于同一坐標系下，可以看出預測譜在各周期的譜值明顯小于一致危險譜。 Baker 等[7]提出譜形系數即標準差系數epsilon(ε)來表示它們的相對差值，其定義為觀測到的對數譜加速度與地面運動預測(衰減)方程得出的平均對數譜加速度的差值，用衰減方程的標準差的倍數來度量，定義式為：

式中：l nS a(T) 為觀測到的對數譜加速度；μlnS a(T)(M,R,T)為根據預測方程得出的平均對數譜加速度； σlnS a(T)為預測方程得出的標準差。Baker[7]指出， ε的期望值為0，并可以用正態分布來擬合，周期T的值與地震動預測模型的選取都會影響 ε(T)的值。

利用epsilon(ε)的定義，文獻[7]給出了條件均值譜的計算公式如下：

1.3 考慮高階振型影響的模態條件均值譜

本文提出一種考慮高階振型影響的模態條件均值譜方法。如前文所述，N個自由度結構動力響應的結果可分解為N個互不耦合的單自由度結構動力響應的線性疊加，疊加的權重即每個振型的參與質量系數λi。而條件均值譜的條件周期只能取結構的某一模態的周期，因此本方法的基本思路為，先進行結構的模態分析，得到N個自振周期以及N個互不相關的振型，再根據具體需要選取其中前n個周期，按照條件均值譜的方法，分別計算每個周期下的條件均值譜，以λi為權重系數求得它們的加權平均值，即為考慮高階振型影響的模態條件均值譜。此譜可作為結構抗震設計的目標譜，其譜值表達式為：

式中：S a(T) 為模態條件均值譜；S a(Ti)為Ti條件下的條件均值譜。

取結構的所有N個振型的條件反應譜進行加權平均，理論上可取得最好的效果，但高階振型對總反應的影響越來越小(λi越來越小)，考慮到計算量太大，可以舍去截斷誤差。按照《建筑抗震設計規范》(GB 50011-2010)規定，取N階振型中的前J階振型，使得振型參與質量不小于總質量的90%，得到簡化的可直接適用于實際工程并歸一化的模態條件均值譜：

2 算例模擬及對比分析

2.1 模型結構設計及有限元模型

本文依據《建筑抗震設計規范》(GB 50011-2010)的相關規定，使用PKPM 軟件，設計了一座30 層的鋼框架-中心支撐結構，此結構類型在酒店、辦公樓方面具有廣泛的應用。該結構位于四川省雅安市，抗震設防烈度7 度，設計基本地震加速度值為0.15g，設計地震分組為第三組，場地類別為Ⅱ類，丙類結構。框架共3 跨，每跨跨度為6 m，框架間柱距為6 m，層高均為3 m。在框架平面內的中間跨設置一組“人”字形中心支撐，支撐與梁軸線夾角45°。樓、屋面恒荷載設計值取3.5 kN/m2，等效均布活荷載設計值按酒店設計要求取2 kN/m2。框架及支撐構件均按GB/T 11263-2017 選用熱軋寬翼緣H 型鋼(HW)，材料為Q345鋼。為簡化計算，本文后續研究取其中的一榀框架進行分析，結構的立面布置見圖1，構件截面選擇見表1。使用ETABS 軟件對模型結構進行模態分析，計算得到的周期及其振型參與質量系數見表2，根據前文的規定，振型數的選取按振型參與質量系數大于90%確定，本結構選取前四階振型進行計算。

表2 模型結構的模態分析結果Table 2 Modal analysis results of model structure

圖1 模型結構立面圖Fig. 1 Elevation of model structure

表1 模型結構截面信息Table 1 Sectional information of model structure

結構的有限元分析采用OpenSees，鋼框架采用非線性梁柱單元(nonlinear beam-column elements)，支撐采用桁架單元(truss element)，桁架單元只能承受拉壓，不傳遞彎矩，兩端與框架鉸接，截面均采用纖維截面。材料選用steel02 本構模型，steel02 為一各向同性應變硬化模型，其最大特點是考慮了鮑辛格效應(Bauschinger effect)，及強度和剛度的退化，計算成本較低，且合理的曲線常數能夠很好地捕捉鮑辛格效應。

2.2 條件均值譜以及模態譜的生成

根據概率地震危險性分析方法(PSHA)，得到該場地不同超越概率下的一致危險譜，如圖2 所示。

圖2 一致譜、條件譜、模態譜對比Fig. 2 Comparison of uniform hazard spectrum, conditional spectrum and modal conditional spectrum

按照文獻[11]給出的適用于中國的條件均值譜計算方法，對目標周期T1=3.3 s、T2=1.0 s、T3=0.5 s、T4=0.3 s 在50 年2%超越概率下的譜加速度進行3D 解耦，得到可能導致該譜加速度值的震級M、震中距R、譜形系數epsilon(ε)的最大值，解耦結果見表3。根據條件均值譜的定義公式(9)，生成各目標周期處的條件均值譜，并按照模態條件均值譜的計算公式(12)，計算出模態譜的值，將其與50 年超越概率2%的一致危險譜、各目標周期下條件均值譜繪于同一坐標系下，如圖2 所示，由曲線可看出，模態譜在主周期部分的譜值略低于T1=3.3 s 的條件均值譜，但由于考慮了結構高階振型的影響，在短周期內的譜值顯著高于T1=3.3 s的條件均值譜譜值。

表3 地震解耦結果Table 3 The results of seismic de-aggregation

2.3 地震動記錄選取與調幅

本文分別以50 年超越概率為2%的一致危險譜、T1條件均值譜及模態譜作為地震動選取的目標譜，從PEER NGA-west2 地震動數據庫中匹配所需的地震動記錄。選取記錄的震級選擇區間為(6.5, 7.5)，震中距選擇區間為(10 km, 50 km)，采用較為簡單有效的匹配方法[20]，即以最小二乘法的思路，用最小誤差平方和來衡量相對誤差，如式(13)所示，w(Ti) 為權重系數，Sa(Ti)與S a(Ti)target分別為待選地震的記錄的反應譜與目標譜的譜值。

在地震動數據庫中篩選MSE 值最小的11 條地震動記錄，最終選波信息如表4 所示，選波波形如圖3 所示。

圖3 選取記錄的譜形Fig. 3 The spectral of selected record

表4 選波信息Table 4 The information of selected record

將選取的3 組地震動記錄分別輸入前述OpenSees模型中，進行結構彈塑性時程分析。

續表 4

2.4 層間位移角計算結果及分析

統計計算結果，三條目標譜分別對應的11 條地震波作用下結構的層間位移角如圖4 所示，將其平均響應繪于同一坐標系下，如圖5 所示。

圖4 最大層間位移角結果及其均值Fig. 4 Results of maximum inter-story drift ratio and its mean value

圖5 層間位移角均值對比Fig. 5 Comparison of the mean value of maximum inter-story drift ratio

以一致危險譜作為目標譜匹配地震動得到層間位移角最大可達到1/135，條件譜與模態譜的最大層間位移角分別約為1/240 和1/225，均符合《高層民用建筑鋼結構技術規程》(JGJ 99-2015)中結構在罕遇地震下彈塑性變形不應大于層高1/50 的規定。模態譜與條件譜的最大層間位移角均發生在21 層左右，而一致危險譜層間位移角發生在26 層左右。從整體上看，一致危險譜的層間位移角，顯著大于條件均值譜、模態譜對應的的結果，這是毋庸置疑的。對比條件均值譜與模態譜的結果，由于考慮了結構的高階振型的影響，由模態譜選波得到的最大層間位移角在15 層以下的區域略大于條件譜的結果，但在15 層～30 層的區域內，二者差距顯著增大，模態譜的結果最大可達條件譜的110%。

2.5 樓層加速度計算結果及分析

三條目標譜分別對應的11 條地震波作用下結構的最大樓層加速度如圖6 所示，將其平均響應繪于同一坐標系下，如圖7 所示。

圖6 最大樓層加速度結果及其均值Fig. 6 Results of peak floor acceleration and its mean value

圖7 最大樓層加速度均值對比Fig. 7 Comparison of the mean value of peak floor acceleration

與最大層間位移角的結果一樣，一致危險譜的最大樓層加速度比條件譜與模態譜大了1 倍左右，頂層峰值加速度可達0.7g。模態譜與條件譜的頂層峰值加速度分別為0.34g與0.30g，模態譜的最大加速度仍大于條件譜的結果，最大可達條件譜結果的121%，且最大差距發生在16 層附近。

2.6 樓層位移計算結果及分析

三條目標譜分別對應的11 條地震波作用下結構的最大樓層位移如圖8 所示，其平均值的對比如圖9 所示。

圖8 最大樓層位移結果及其均值Fig. 8 Results of peak floor displacement and its mean value

圖9 最大樓層位移均值對比Fig. 9 Comparison of the mean value of peak floor displacement

與層間位移角、樓層加速度的分析結果相似，一致危險譜下的樓層位移顯著大于模態譜與條件譜的位移，且最大值發生在頂層，其平均值達到330 mm。條件譜與模態譜的結果相對較小，模態譜的位移均值最大值(263 mm)仍大于條件譜的位移均值最大值(257 mm)。

3 結論

本文在條件均值譜的理論基礎上，考慮了高階振型對結構響應的影響，提出了一種新的目標譜-模態條件均值譜。并將模態條件均值譜用于實際結構的選波中，設計了一座典型的30 層鋼框架-中心支撐體系的結構，分別采用條件均值譜、模態條件均值譜及一致危險譜作為目標譜，各自按譜形匹配11 條地震動記錄，并使用OpenSees 軟件建模，進行動力時程分析，得出以下結論：

(1) 模態條件均值譜作為目標譜選波的方法，既考慮了條件均值譜能夠反映實際地震動特性的優點，又考慮高階振型的影響，并以振型參與質量系數具體數值量化了高階振型影響的大小，且思路清晰，具有方便、快捷、有效的特點。

(2) 采用考慮了結構高階振型影響的模態條件均值譜方法對結構進行選波計算，本文算例得到的結構響應均大于使用條件均值譜方法的結果，這一差距在結構層高的中上部分尤其顯著，模態譜的最大層間位移角最大可達條件譜的110%，最大樓層加速度可達到條件譜結果的121%，這說明對于高層結構，采用條件均值譜做為目標譜的結果偏于危險，建議采用本文的模態條件均值譜作為目標譜。