小學數學教學材料的基本要求及主要類型
——基于學生數學學習引發思辨的思考

■錢中華，羊琴

數學思辨指數學思考與辨析，也就是學生在數學學習過程中，運用數學的思維方式與方法，通過數學邏輯規則對數學對象的情況、類別、事理等進行深刻、全面的思維探索，經受矛盾與反轉，展開辨析與判斷。批判、質疑、反思是伴隨思辨的思維傾向，綜合、分析、比較、分類、歸納、概括、論證、評估等是伴隨思辨的思維方法，思維傾向和思維方法不可分割，相輔相成。在數學教學活動中，教學材料是學生數學學習思辨的對象，也是學生數學學習引發思辨的根本。

數學教學材料是教師在教學前端精心設計而成的，是對教學中學生“學什么”和“怎么學”的核心關切。那么，聚焦學生數學學習引發思辨，小學數學教師設計、提供的教學材料有哪些基本要求？又有哪些主要類型呢？

一、小學數學教學材料的基本要求

聚焦學生數學學習引發思辨，教師在設計教學材料時，需要把握以下三個方面的基本要求。

（一）教學材料突出數學是一種創造性活動

學生數學學習展開思辨，就是學生在數學學習過程中，經歷探索、猜想、概括等繁復曲折的數學思考，對教學材料的情況、類別、事理等進行分析、推理、判斷，在認知沖突的矛盾與反轉中，“去理解知識最初發現時人們面臨的問題、解決問題的思路，采用的思維方式、思考過程，理解知識發現者可能有的情感，判斷評價知識的價值”[1]，把新知識轉化為自己思維的結果，理解掌握數學知識本質，改善發展數學思維，體會數學的易繆性和發展性。

正是在這個意義上，要求教師設計的教學材料是知識和思維的載體，根植數學知識產生、形成與發展的歷史演變過程中，凸顯數學探究不等同于具體的數學知識（包括結論、公式等）、無可懷疑的真理，其蘊含先賢發現或創造數學知識所經歷的猜測、錯誤和嘗試、證明與反駁、檢驗與改進的復雜過程，突出“數學是動態的、經驗與擬經驗的……是人類的一種創造性活動”[2]11，為學生創造親歷知識生長過程和提供再發現的機會。

（二）教學材料開啟學生思維操作

教學材料是學生數學學習的思辨對象，這就要求教學材料能開啟學生思維操作，進行數學思考與辨析。教學材料要引起學生運用數學思維方式、方法，從經驗層面、追根溯源層面、邏輯層面進行思考與辨析；也要幫助學生理解不同思維方式、方法的適用范圍和應遵守的邏輯規則，改進完善數學思維，發展包括深刻性、批判性、靈活性、縝密性等在內的數學思維品質。最根本的是引起學生數學學習“不再滿足于按照別人的指引進行學習，而是主要通過自己的總結和反思不斷實現新的發展，包括逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考”[3]。

（三）教學材料立足學生最近發展區

奧蘇貝爾曾說：“如果我不得不把教育心理學還原為一條原理的話，我將會說影響學習最重要的原因是學生已經知道了什么。”[4]從這個意義上，學生學習是以自身已有知識和經驗為生長點，在對教學材料進行思考與辨析的過程中，改造、重組已有認知經驗，恰當解釋學習內容，并在已有經驗和學習內容之間建立起實質性聯系，意義建構知識。可見，學生認知基礎是影響學習的重要因素，教學材料是影響學生學習思考和辨析的核心要素。進一步立足學生認知基礎的教學材料，學生學習掌握的信息量就大，思考與辨析會更加具體、全面和完整。這就要求教學材料以學生學習的邏輯起點和現實起點為依據，立足學生的最近發展區，“把握好‘已知區’到‘未知區’的距離”[5]，建立起新舊知識之間的內在聯系，為學生數學學習展開思辨找準著力點，使思辨更有深度、強度、力度。

二、小學數學教學材料的主要類型

作為學生數學學習對象的教學材料，在數學學習過程中引發學生思辨，主要有以下三種類型。

（一）引領驅動學生展開思辨的數學問題

問題是思維的靈魂。教師以學生已有經驗為根基，“倒轉”理解數學教材知識并轉化為教學任務；將教學任務轉化為學習材料，進而轉化為問題；引領驅動學生數學學習展開思辨的主要問題有開放性問題、分析性問題、反思性問題。

1.開放性問題

教師以理解教材為前提，立足學生最近發展區，設計出包括條件開放性問題、策略開放性問題、答案開放性問題或綜合開放性問題。學生在學習時，從不同角度、方向、方面進行分析、比較、歸納和概括，評估、整理、辨析不確定性問題條件范圍、解題策略的多樣性及優劣、問題答案不唯一性（不能漏解）等。學生探索問題答案的過程中，獲得數學思維的發展，走向靈活性。

如“數對確定位置”，ppt 展示老師讀初中時的舊照片，請同學們找出老師站在哪個位置并把這個位置表示出來，這是一個答案（表示方法）不唯一的開放性問題。學生在學習時，調動已有（生活、認知）經驗，通過觀察、分析、概括，從不同視角探索出十多種方法記錄老師所在位置。

2.分析性問題

教師以教學內容、教學進度需求為出發點，用言簡意明、指向目標的教育數學語言設計出指向兩個或更多事實、規則、定義等之間關系的問題。學生在學習過程中，經過思考、辨析，洞察研究材料內部之間的關聯，捕捉矛盾的特殊性，發現隱藏其中的規律并揭示本質屬性，數學思維走向深刻性。

在上述教學中，教師設計出問題：“用你記錄的方式介紹老師，能在照片中準確、快速找到老師嗎？如果不能，如何改進？”學生在分析研究對象之間關系以及探求問題實質中，通過嘗試、猜想、驗證、反思與評估，理解了行數和列數才能準確、快速找到老師，而在表征時行或列都可在前或后，理解規定行前列后的必要性，進一步明確可以用數對（3,5）簡記。

3.反思性問題

教師設計出引導學生對自身學習活動的過程，以及活動過程中所涉及的有關的事物、材料、信息、思維、結果等反省思考的問題。學生學習依據問題指向，對思維材料嚴格估計，對思維過程精確檢查、校正，運用所學知識有根據地進行分析、判斷、推理、論證，對問題給予解釋；發展了洞察力、辨別力、判斷力，讓數學思維走向批判性。

在探討得出老師在舊照片所站位置為（3,5）后，教師提出：“老師所站位置除用數對（3,5）表示外，還能用其他數對表示嗎？”學生經過反思、猜想、嘗試、驗證，理解用數對表示位置的唯一性、確定性。

如此，教師設計并提供以上三類問題，引領驅動學生數學學習進行思辨，理解數學知識本質，把握內容基本結構，培育發展包括分析、比較、抽象、概括、判斷、推理等在內的數學思維方法以及靈活性、深刻性、批判性、清晰性、發散性等在內的數學思維品質。

（二）推動學生比較與辨析的數學變式

數學變式是小學數學教學材料的重要組成部分和主要類型之一。教師設計出概念性變式和過程性變式，推動學生數學學習“在比較與辨別中發現數學知識的變化與差異，在‘變’中發現‘不變’，依據知識的變化軌跡與規律，創造新的知識；不僅解決眼前面臨的問題，并且以此為載體掌握解決一類問題的思維策略與方法，發展學科一般觀念”[6]，獲得新的學習體驗。

1.概念性變式

概念性變式包括屬于概念外延集合的標準和非標準概念變式，以及不屬于概念外延集合，包括但不限于反例的非概念性變式。數學概念性變式，引起學生學習從不同方面、不同角度來闡釋數學對象，經過分析、比較、甄別、分類，歸納、概括出數學對象的本質屬性。

如“什么是面積”： ①在黑板上貼出兩個圖形（正方形面積大、長方形面積小），讓兩個學生進行涂色比賽；②出示諸如樹葉、教材、長方體等具體實物，研究表面的面積；③出示規則和不規則的封閉圖形，研究圖形面積。④判斷圖形或生活事件是否與面積相關。這組教學材料遵循了面積概念產生、形成、發展的歷史邏輯，以建構面積概念為本源，教師提供的教學材料有樹葉、教材、長方體等具體實物以及長方形、正方形、非標準封閉圖形等概念性變式。學生在數學學習過程中，經過比較、辨別、分類，理解把握教學材料中的“變”與“不變”，剔除具體實物種類、封閉圖形形狀等“變”的非本質屬性，概括出“不變”的本質屬性即“物體表面或封閉平面圖形的大小”，建立面積概念。在④中提供的教學材料有圖形周長、非封閉圖形以及生活中牽線等非概念性變式（反例變式），學生經過對易混淆的概念（周長、面積）的甄別、辨析，理解面積概念外延和關鍵條件。

2.過程性變式

教師以知識演進為脈絡，設計提供具有操作性和動態性的過程性變式，為學生數學學習意義建構知識提供一個有層次的推進過程，改進發展數學思維，提高思維的清晰性、深刻性、嚴謹性、靈活性和創新性。

“什么是面積”過程性變式有具體實物變式、封閉圖形變式。在教學中，從物體表面、封閉平面圖形兩個方面推進，學生通過觀察、比較、分析、歸納、概括、抽象、系統化等思維操作，進行富有深度的數學思考，建立“物體表面或封閉平面圖形有大小--面積概念”的知識形成順序；理解面積的本質及內部關聯，并用圖形或文字語言予以表征； 在經歷面積概念產生、形成的必要性過程中，理解面積的價值意義。

（三）引發學生進行深度思考與反思的課堂評價

在小學數學教學中，教師對學生學習反饋情況不做事實性判斷，而是通過課堂評價，“自覺幫助學生形成正確的價值觀，形成有助于學生自覺發展的核心素養，自覺引導學生能夠有根據地評判所遭遇的人、事與活動”[7]，引導學生數學學習進行深度思考與反思，持續展開概括、分析、推論、假設等思維活動，深度理解數學知識，并對所學知識及學習過程做價值選擇與評判。它不是教學的某個階段或環節，而是蘊含在各個階段、各個環節的活動中。

1.評價追問理據

在小學數學教學活動中，學生回答問題不外乎三種情況：正確、不完整、錯誤。此時，教師不是直接予以評判，而是根據學生的回答，設計出“你是怎樣想的”“為什么這樣想”等問題，引導學生持續地分析、甄別、推論、假設、概括，讓學生在追尋理據的過程中，明確自己是否真正理解掌握，如果有錯，明確自己錯誤的根源，達成主動建構知識，理解所學內容及價值。

2.引導價值評判

教師通過評價，引導學生思考所學內容在知識系統中的地位與作用，以及對學習過程中的學習材料、所學知識及學習過程主動進行質疑、批判及評價；以課堂評價引導學生自覺主動地對學什么、怎么學進行反思評判。

如“圓的周長”，可以通過課堂評價，引導學生做四個評判：（1）對周長、長（正）方形周長與圓周長在內容、數學核心素養、數學思維等方面進行反思評判；（2） 對解決客觀世界中現實問題的應用價值做評判；（3）對學習材料（包括具體情境、測量方法）及學習方法、形式做反思評判；（4）對世界萬事萬物是不斷變化且相互聯系、相互依存的思想價值給出自己的態度和判斷。如此，學生理解把握所學內容的地位及作用，建立起知識之間的意義關聯，明確所學的價值意義。

3.評價引起提問

教師通過對學生的數學學習活動反饋情況、思維過程等進行評價，引發學生對學習材料的洞察、懷疑、批判等，提出問題。

如“折紙”，觀察圖1，看自己能提出哪些數學問題。學生通過對學習材料的整體觀察、感知、分析、甄別、歸納，理解情境材料中的客觀事物或概念、圖形與圖形之間的關系、數量與數量之間的關系、符號等，發現并提出與材料相關聯的數學問題：①哪個分數大？②一張紙可以折多少艘小船？③一張紙可以折多少只小鳥？④折一艘小船比折一只小鳥多用這張紙的幾分之幾？⑤折一艘小船和折一只小鳥共用這張紙的幾分之幾？等等。教師在評價學生提出的問題時，引導學生分析以上這些問題是否已經解決或有待解決、關鍵的或非關鍵的問題有哪些，明確①是以前學過的，②③是以后學習的，④⑤是本節課研究的問題。在學習過程中，以評價引發學生對學習材料、學習過程、學習結果等的反思，發現并提出數學問題：分數加減法意義與整數加減法意義相同嗎？分數加減與整數加減有何異同？為什么用加法？為什么要通分？為什么不能用分子與分子的和作分子、分母與分母的和作分母？等等。

圖1