別樣輔助線
——輔助圓在解題中的妙用

鄭紅燕

(新疆若羌36團(tuán)中學(xué) 新疆 若羌 841800)

添加輔助線是幾何題幫助解決問(wèn)題的常用方法，合適恰當(dāng)?shù)妮o助線使所解決的問(wèn)題和已知條件之間搭起橋梁，把分散的條件集中起來(lái)，可以讓題目解題方向清晰、解題快捷。通常添加輔助線作的是直線，中考復(fù)習(xí)中發(fā)現(xiàn)有一類(lèi)題偏偏添加輔助線“圓”能使題目柳暗花明，解題思路一目了然，使題目由難變易，輕松解決，并且培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，所以在中考第二輪復(fù)習(xí)中筆者嘗試做了一個(gè)構(gòu)造輔助圓的微專(zhuān)題，期待對(duì)學(xué)生解題有所啟發(fā)，解題思路開(kāi)闊一點(diǎn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)發(fā)散思維。

因此制定微專(zhuān)題教學(xué)目標(biāo)如下：

1.熟悉圓的定義、相關(guān)性質(zhì)和定理。

2.靈活運(yùn)用條件構(gòu)造輔助圓，分析題目解決問(wèn)題。

為了銜接緊密，先復(fù)習(xí)圓的相關(guān)知識(shí)。

復(fù)習(xí)：

1.圓的“集合”定義是什么？圓是所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合

2.圓周角定理及推論是什么？

同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；一條弧所對(duì)的圓周角它所對(duì)的圓心角的一半。

半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角。

90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

在中考復(fù)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常遇到的情形大致可以分為以下幾個(gè)類(lèi)型可以作輔助圓解決問(wèn)題：

一、當(dāng)遇有“同一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)的等長(zhǎng)線段”時(shí)，通常以“這個(gè)端點(diǎn)為圓心，等線段長(zhǎng)為半徑”，構(gòu)造輔助圓。

例1.如圖1所示，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=20°∠CAD=80°，則∠BDC=______度，∠DBC=______度。

圖1

學(xué)生思考：什么條件讓你想到可以構(gòu)造圓，可以構(gòu)造圓的依據(jù)是什么？

條件：同一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)的幾條等長(zhǎng)線段。

依據(jù)：圓的定義。

回顧圓的定義：圓是所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。

作法：當(dāng)遇有“同一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)的等長(zhǎng)線段”時(shí)，通常以“這個(gè)端點(diǎn)為圓心，等線段長(zhǎng)為半徑”，構(gòu)造輔助圓。

解：因?yàn)锳B=AC=AD，所以點(diǎn)B、C、D可以構(gòu)成以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑不共線三點(diǎn)共圓，

所以根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)得∠BDC=∠BAC=20°；∠DBC=∠CAD=80°。

練習(xí)1：如下圖2，OA=OB=OC且∠ACB=30°，則∠AOB的大小是( )

A.40° B.50 C.60° D.70°

(分析：如右圖3所示只需以點(diǎn)O為圓心OA為半徑作圓，有圓的性質(zhì)可得∠AOB=60°)

圖2

圖3

練習(xí)2：如圖4所示，四邊形ABCD是平行四邊形，

圖4

圖5

延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連接BD。

(1)求證：四邊形BCED是平行四邊形。

分析第二問(wèn)：這一問(wèn)的方法較多，期中有一種借助圓來(lái)求BE，不用證菱形，方法簡(jiǎn)潔明了，不拖泥帶水。解答如下：

圖6

二.當(dāng)遇有“直角”時(shí)，通常以“斜邊為直徑”構(gòu)造輔助圓。

例2.如圖4，矩形ABCG的與矩形CDEF全等，并且AB=1，BC=3，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，∠APE的頂點(diǎn)P在線段BD上移動(dòng)，使∠APE為直角的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是( )。

A．0 B．1 C．2 D．3

學(xué)生思考：什么條件讓你想到可以構(gòu)造圓，可以構(gòu)造圓的依據(jù)是什么？

條件：直角。

依據(jù)：90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

作法：當(dāng)遇有“直角”時(shí)，通常以“斜邊為直徑”構(gòu)造輔助圓。

解：如圖以AE為直徑構(gòu)造圓，與BD有兩個(gè)交點(diǎn)，所以可得滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有2個(gè)。(此題構(gòu)造輔助圓使得題目直觀形象，一目了然)。

例3.如圖7，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，D是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥DF，交邊AB于點(diǎn)E，邊BC于點(diǎn)F，求證：DE=DF。

圖7

圖8

分析：這道題有多種解法，其中有一種是構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)行證明。還有一種如圖8，已知∠ABC=90°，∠EDF=90°，從而想到可構(gòu)造以EF為直徑的圓，連接BD，則∠ABD=∠CBD=45°，所以ED=DF。

圖9

圖10

取AB的中點(diǎn)為I，則IA=IB,因?yàn)椤螦PB=90°，由90°所對(duì)的弦是直徑，以AB的中點(diǎn)I為圓心，AB的一半為半徑作圓，又因?yàn)辄c(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以○I與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即○I與x軸相切。

最值問(wèn)題是中考經(jīng)常考查的熱點(diǎn)，有的問(wèn)題我們通常利用垂線段最短、軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)解決，比如典型的將軍飲馬問(wèn)題，折點(diǎn)P是使這兩條線段之和最短的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在一條直線上，換句話說(shuō)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條直線，其實(shí)有時(shí)動(dòng)點(diǎn)軌跡可以改變，點(diǎn)P的軌跡也可以是一個(gè)圓。

有的問(wèn)題中，很少直接告訴我們動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓，也很少畫(huà)出圓，因此，結(jié)合題目各個(gè)條件，分析出動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓，達(dá)到“四兩撥千斤”，化繁為簡(jiǎn)，事半功倍的效果。

根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系性質(zhì)分析。

圖11

圖12

圖13

三、(1)當(dāng)遇有相同的角對(duì)的邊是同一條線段時(shí)，通常把相同的角轉(zhuǎn)化為圓周角構(gòu)造圓，這條線段是圓中的弦。

即某條線段以及這條線段所對(duì)的角大小固定，則角的頂點(diǎn)在以AB為弦的圓弧上。

例6.如圖14，BD、AC相交于點(diǎn)P，連接AB、BC、CD、DA,∠ADB=∠ACB。若AB=8，CD=4，DP=3，則AP的長(zhǎng)為_(kāi)______。

圖14

圖15

學(xué)生思考：什么條件讓你想到可以構(gòu)造圓，可以構(gòu)造圓的依據(jù)是什么？

條件： 兩個(gè)相等的角所對(duì)的邊是同一條線段。

依據(jù)：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。

作法：當(dāng)遇有“相同的角對(duì)的邊是同一條線段”時(shí)，通常把“相同的角轉(zhuǎn)化為圓周角”構(gòu)造輔助圓。

解：∠ADB=∠ACB，且對(duì)的線段時(shí)同一條線段AB，則可以想到點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，所以△DPC∽△APB，可知DP：AP=4:8=1:2,如圖15，隱去線段CD，可以看出∠D=∠C，可知△DPA∽△CPB，DP：AP=1:2=3:AP,所以AP=6。

(2)當(dāng)遇有動(dòng)點(diǎn)對(duì)定線段所張的角為定值時(shí)，通常把張角轉(zhuǎn)化為圓周角構(gòu)造輔助圓。

例7.如圖16，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4，0)、B(﹣6，0)，點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCA=45°時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為( )。

圖16 圖17

學(xué)生思考：什么條件讓你想到可以構(gòu)造圓，可以構(gòu)造圓的依據(jù)是什么？

條件：動(dòng)點(diǎn)對(duì)定線段所張的角為定值。

依據(jù)：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓；同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；

同弧所對(duì)的圓周角相等且等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。

作法：

當(dāng)遇有動(dòng)點(diǎn)對(duì)定線段所張的角為定值時(shí)，通常把張角轉(zhuǎn)化為圓周角構(gòu)造輔助圓。

練習(xí)：

如圖18，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(1,0)，(5,0)，點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

圖18

(1)使∠APB=30°的點(diǎn)P有( )個(gè)；

(2)若點(diǎn)P在y軸上，且∠APB=30°，求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解答略。

總結(jié)：圖中無(wú)圓，心中有圓。

以上研究的這幾類(lèi)問(wèn)題，從表面上看似乎與圓無(wú)關(guān)，但如果我們能深入挖掘題目中的隱含條件，善于聯(lián)想所學(xué)定理，巧妙地構(gòu)造符合題意特征的輔助圓，再利用圓的有關(guān)性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，往往能起到化隱為顯、化難為易的解題效果。