傾斜海床下偶極子產生標量電位的表達式推導?

馮亞敏 吳 旭 王 航陳 聰

（1.海后軍需能源質量監督站 北京 100080）（2.海軍工程大學基礎部 武漢 430033）

1 引言

近些年來，隨著艦船消聲消磁技術的提高和電磁場探測技術的發展，艦船水下腐蝕相關靜態電場（Corrosion Related Static Electric Field，CRE）已成為艦船定位、水中兵器引信的新的重要信號源［1～7］。電偶極子作為最基本的電結構，其產生的場可以直接用來模擬某些輻射場，且一定分布的電偶極子的組合理論上可以用來模擬任意電流分布產生的場，因此國內通常利用偶極子模型進行艦船電磁場分布模擬［8～10］。本文正是以水平直流電偶極子對場源進行模擬，以求得艦船水下標量電位的表達式。目前，已有研究者借助鏡像法推導位于海水中的靜態電偶極子在全空間中的電場分布表達式［11～13］，但這方面的研究基本都是針對空氣—海水—海床平行分層環境來開展的，針對空氣—海水—傾斜海床模型開展的研究很少。

真實海洋環境中，特別是在大陸邊緣的大陸坡部分，海床是以一定的坡度向海洋底延伸的［14］。以臺灣海峽為例，該海峽平均水深60m，東南部海床坡度較大，想要在這些水域對艦船進行探測，則必不可少得要針對空氣—海水—傾斜海床模型開展研究。海軍工程大學的熊露雖針對空氣—海水—傾斜海床模型，推導出了電場分布的解析表達式［15］，但推導出的電場分布的解析表達式比較復雜，難以滿足工程應用的需要。據此本文以水平直流電偶極子模擬場源，針對空氣—海水—傾斜海床三層模型，利用靜電場的鏡像法，推導出了海水中的水平直流電偶極子在海水、空氣及海床中產生的標量電位分布的解析表達式。所得表達式滿足唯一性定理，可滿足工程應用的需要。工作為進一步研究艦船水下腐蝕相關電場的場分布問題奠定了基礎，同時為艦船目標的探測提供了新的思路。

2 半無限大空間中任意直流電偶極子標量電位分布的鏡像法求解

2.1 存在海水與空氣分界面

若存在海水與空氣的分界面，如圖1所示，分界面取為z=0平面。ε、σ分別表示媒質的電容率和電導率，下標0、1分別代表空氣、海水場域。任意方向電偶極子Pe=Idl位于海水中(x0,y0,z0)處，與z=0平面所成的角度為，并且規定：電偶極子沿順時針方向旋轉θ后與z=0平面平行，則θ取正。場點位于(x,y,z)。

圖1 存在空氣—海水分界面時鏡像法求任意方向電偶極子在海水中的場

將任意方向偶極子源Idl（偶極子平行于y=0平面）分解為水平電偶極子Idxi（偶極子方向平行于x方向）和垂直電偶極子Idzk（偶極子方向平行于z方向），即：

當場點位于海水中時，即z≤0，Idxi的像I′dxi位于(x0,y0,-z0)處，電偶極矩為I′dxi=Idlcosθi；Idzk的像I′dzk位于 (x0,y0,-z0)處，電偶極矩為I′dzk=-Idlsinθk。

其中：

2.2 存在海水與海床分界面

若存在海水與海床的分界面，如圖2所示，分界面取為z=0平面。下標1、2分別代表海水、海床場域。設任意方向電偶極子Pe=Idl仍位于海水中(x0,y0,z0)處，與z=0平面所成的角度為，并且規定：電偶極子沿順時針方向旋轉θ后與z=0平面平行，則θ取正。場點位于(x,y,z)。設

圖2 存在海水—海床分界面時鏡像法求任意方向電偶極子在海水中的場

具體求解過程同2.1節，可求得：

當場點位于海水中時，即z≥0，Pe的像位于(x0,y0,-z0)處，且電偶極矩為ηIdlcosθi-ηIdlsinθk，場點(x,y,z)處的標量電位為

當場點位于海床中時，即z≤0，Pe的像位于(x0,y0,z0)處，和源位于同一位置，兩者合起來相當于電偶極子，且 電 偶 極 矩 為場 點(x,y,z)處的標量電位為

3 空氣—海水—傾斜海床下水平直流電偶極子的標量電位分布

3.1 海水區域中的場

當待求場點位于海水中時，水平直流電偶極子在兩個界面之間不斷“鏡像”，場點處產生的場可以用圖3所示的無窮多個鏡像電偶極子在無限大的海水空間分別產生的場的疊加來代替。

圖3 場點在海水中時的像分布

則位于海水中場點(x,y,z)處的標量電位為全空間所有電偶極子的標量電位的和，即：

其中：r0k表示場點相對于空氣中第k個像位置坐標的位置矢量，

r2k表示場點相對于海床中第k個像位置坐標的位置矢量，

將式（6）、（7）帶入式（8）可得：

3.2 空氣和海床區域中的場

由前可知，存在兩個分界面時海水中的一個水平直流電偶極子在海水中產生的場分布，等同于只存在空氣—海水一個分界面時，海水中下述電偶極子在海水中產生的場分布。

設(xka,yka,zka)表示海水里第k個源的位置坐標，Pka表示其偶極矩，k=0,1,2…，則源的位置及相應的電偶極矩為

圖4 場點在空氣中時的等效場源

因此，如圖4所示，求存在兩個分界面時海水中的一個水平電偶極子在空氣中產生的場分布，等于求只存在空氣—海水一個分界面時，海水中上述電偶極子在空氣中產生的場分布。結合第2節的結論，空氣中場點(x,y,z)處的標量電位為

其中：rka表示場點相對于海水中上述各電偶極子位置坐標的位置矢量

同理可求得海床中場點(x,y,z)處的標量電位為

其中：rkb表示場點相對于海水中上述各電偶極子位置坐標的位置矢量

3.3 標量電位表達式正確性的證明

由式（10）、式（11）和式（12），易證：

同理，Φ海床的正確性也可以得到證明。可見，推導出的標量電位表達式滿足分界面兩邊標量電位及電流密度的法向分量連續的邊界條件。由唯一性定理可知，本文推導標量電位表達式的方法可行，結果正確。

4 結語

本文為推導傾斜海床下艦船水下標量電位的表達式，以水平直流電偶極子對艦船場源進行模擬，利用靜電場的鏡像法，通過求解半無限大空間中任意直流電偶極子產生的標量電位分布表達式，進而求得空氣—海水—傾斜海床三層模型下，場源和各鏡像源的場點坐標及相應的偶極矩，線性疊加場源和各鏡像源在場點產生的標量電位，從而推導出了三層模型下海水中的水平直流電偶極子在海水、空氣及海床中產生的標量電位分布表達式，并對所得表達式的正確性進行了證明。

結論如下：

1）因為推導出的標量電位表達式滿足分界面兩邊標量電位及電流密度的法向分量連續的邊界條件，所以由唯一性定理可知，鏡像法可用于傾斜海床下標量電位表達式的推導，且推導出的結果正確。

2）所推導出的標量電位表達式，能滿足工程應用的需要，便于后續實際應用。