理解變化量,探究切割后長方體表面積的策略

李美紅

(浙江省杭州市臨平區臨平第一小學 浙江 杭州 311000)

1.測試的背景

實際教學中許多數學老師都有這樣的經驗：長方體表面積的新課教學中，學生能根據實物很快推導其計算公式，但是在實際解決問題的過程中錯誤五花八門。尤其是正方體切割后變成了兩個長方體過程中，產生了新的量。對于這一典型習題。他們到底會想到怎樣的解題策略，采用不同策略的學生人數各有多少，這些問題并不十分清楚。為此，筆者給出一個表面積問題。讓五年級的兩個平行班的學生去解決“一個正方體切割成兩個相同的長方體后的表面積計算。”試圖從學生的習題中了解變化量，尋求解決新的長方體表面積的策略，提升學生的空間觀念。

2.測試的問題、對象和過程

2.1 測試的問題。一個正方體的表面積是96平方厘米，把它切成兩個相等的長方體后，每個長方體的表面積是多少平方厘米？

如果你認為做完題目了，請在下面的□內打√

(1)你認為這道題目有趣嗎？

很有趣□ 比較有趣□ 一般□ 無趣□

(2)你認為這道題目難嗎？

很難□ 比較難□ 一般□ 不難□

(3)做完這道題，你有什么想法？

2.2 測試的對象。根據現行的小學數學教材，杭州市臨平區五年級的學生已經學過了正方體的特征。因此，測試的對象選擇了小學五年級的學生各一個班，學生的年齡是11、12歲，人數分別是43、44人。

2.3 測試的過程。某天下午，在學生不知情的情況下，對學生進行測試。在測試前，沒有給學生任何的解題提示，直接讓學生獨立地解答，并自我記錄做題時間。如果學生自己認為解題已經完成，就把測試卷交給老師，學生在解題過程中，沒有任何的討論與交流，整個測試過程基本反映了學生獨立地在自然情景下解答這一正方體切割成兩個相同長方體后的表面積的真實水平。測試后，我們對學生的解題情況進行初步整理，在整理的基礎上，選擇了個別學生一一進行訪談。測試與訪談在兩天中完成。

3.測試的結果

3.1 我校503班44位學生中有26位學生能正確解答這個面積問題，504班43位學生中有22位學生能正確解答這個面積問題。通過匯總數據分析我們發現503班學生解答這個面積問題的正確率是59%。504班學生解答這個面積問題的正確率是51.2%，有部分學生不能正確地計算長方體的表面積。兩個班的正確率比較接近。

3.2 兩個班學生解決實際問題方法有所不同，學生思維模式有共性又有差異。細品學生每一份測試卷，我們發現學生的思維模式還是超乎老師想象之外，真可謂教學相長也。主要集中以下幾種策略：

策略一：“從變化的面考慮”

先求一個面的面積是16平方厘米；再求變化的面的面積是8平方厘米；變化的面有4個，不變的面的面積有2個。下面是一名學生的解答過程：

據統計503班有5人采用了這一策略，504班有3人采用了這一策略。這類學生仔細觀察了題目給出的圖形，尋找“變”與“不變”的面，從而解決了每個長方體的面積。由此可見，變化的面和不變的面，學生都在仔細觀察思考，這樣的觀察對教學意義深遠。

策略二：“從每個單一的量考慮”

先求出原來正方體一個面的面積；再求出新產生面的面積；然后逆向思維推算現在長方體的長、寬、高；最終解決了新的長方體的表面積。

503班有19人采用了這一解題策略，504班有15人采用了這一策略。這類學生基礎知識扎實，緊緊圍繞課堂學過的長方體表面積公式，逐一尋找現在的這一個長方體的長、寬、高的量。這說明了打好扎實的基礎對提高學生靈活解題也起一定的積極作用。

策略三：“從增加的面考慮”

先求出分割后每一部分的面積；再加上增加的一個面的面積。下面是一名學生的解答過程：

據統計503班有4人采用了這一策略，504班有5人采用了這一策略。這類學生根據“每切一下，增加兩個面的知識點考慮。”思維方式靈活，學習潛力很大。教學中可以作為培養學生空間思維的深度和寬廣特性。

策略四：“從兩個整體的長方體考慮”

先解決原來正方體一個面的面積，圖中新產生了兩個面的面積，和原來正方體面積之和再除以2就是現在長方體的表面積。如下圖所示：

據統計503班有5人采用了這一策略，504班有4人采用了這一策略。這類學生能從整體和局部出發考慮問題，思維方式正確。但列綜合算式能力有待提高。教學中應因勢利導，不斷培養列綜合算式的習慣。

策略五：“從轉換面的教導考慮”

先求出一個面的面積；再想分開的合在一起就一共是4個面的面積。下面是一名學生的解答過程：

503班有1人采用了這一策略，504班有沒有人采用了這一策略。這類學生善于把不同面積的兩個面轉化成原有圖形的一個面，轉化思想得到有機滲透。他們學的靈活、有趣。學習不是負擔，能夠多次體會到學習的樂趣。

策略六：“從每個單一的量考慮”

原來正方體一個面的面積顯而易見，圖形左右兩個面沒有變化，上下前后四個面的面積是原來面積的一半。就是如下所示兩面的面積加上四個面的面積。

據統計503班有3人采用了這一策略，504班有沒有人采用了這一策略。這類學生能夠從已知條件入手，不斷細化各個元素，從而尋求到題目的答案。分析能力強、思維嚴謹、有序。

策略七：“從總量中減去變化的面考慮”

先求出原來一個正方體的面積，再用原來的面積總和減去變化的四個變化面的面積。四個變化面的面積相當于原來一個面面積的一半。具體步驟如下

據統計503班有1人采用了這一策略，504班有沒有人采用了這一策略。這類學生抓住語文字面意思“減去”的含義入手。減去上、下、左、右四個面就是原來的兩個面。文字理解深刻，理解能力強。

3.3 學生是一個個鮮活的生命，他們奇特各異的思維，真是讓老師興奮、激動。他們從自身原生態的思維模式出發，按照自己最初的想法思考。

認知機構有差異、起伏、深度。但是他們具有“整體”、“單一”、看問題的能力；也能滲透“變換”“轉換”的數學思想；有“變”與“不變”的角度思考的策略；有從字面意思出發解決的途徑；有從基層落實著手解決問題的能力。不同的學生呈現了多種不同的認知結構和思考模式。

3.4 題目的有趣性、難度和答題的正確率之間有著比較密切的關系。我們備課組統計發現兩個班對題目有趣度和對題目難度的比例各個層次出奇的接近。興趣是最好的老師，提高學生對數學的興趣和愛好是重中之重。

從表1可知，504班學生認為這個面積題的有趣的程度超過了503班的學生。班級差異還是存在的，504學生喜歡挑戰自我，超越自我的學風更加熱烈些，學習積極性更加高漲些。學生從自己出發或者從他們最最熟悉的同學角度去思考給我們的教學和班上同學帶來的思維碰撞。下列是他們做完后的真實想法呈現。

表1 兩個班學生對題目有趣程度認定的比例

師：做完這道題，你有什么想法？

生1：這道題不難，我覺得上課認真聽和計算方面都不錯的話，做對這道題75%的可能性是有的。有些圖形題，都要用畫圖表示。

生2：這道題看上去簡單，但公式不懂，意思不懂事做不出來的。

生3：這個題目是鍛煉我們的想象能力的。

生4：我的想法是：1、其實很簡單，不要想得太復雜；2、是平時做過的題目，積累很重要。

生5：這道題目看似很難，可只要認真計算，仔細審題，理清頭緒，就很簡單了。

生6：這道題目不是非常難，剛剛做這道題時，我也想來很久，突然就想到作業本上有做到過，就按照老師教的思路寫了。

生7：我的想法是：這道題有一點腦筋要轉一下的感覺，我想可能對于一些不怎么愛動腦筋的同學，有一點點的難度；我還覺得這道題目應該簡化成為一道較難的填空題。

生8：這道題目可以有多種方式解答，很考驗一個人的多項思維，真心的不錯，題型筆記簡單，可以在原有樣板上稍加一些難度，可能會更加良好，只是我個人的真實感覺。

生9：認真做事就能成功。

生10：最開始我想成了平方數，所以做不出來，不過后來寫好了。

生11：學數學就是在探索無窮的奧秘，每一道題都有樂趣，只有自己解答出來才能懂得其中的樂趣。

生12：我的想法是審題認真，劃劃重要的詞句。

生13：這道題目簡單，解法多，比較有趣。

生14：做完這道題，我的想法是：題目要看仔細，不能馬上做，先在腦子里想一下順序再寫。

生15：做題目的時候不光要清楚題目的條件，如果有圖的話，也要仔細觀察圖。

生16：我覺得這種類型的題目，主要是在于對圖形的掌握，把一個正方體切成兩個長方體，其實就是多了兩個面，所以只要看懂圖形，做這類題目就不難了。

表1中兩個班覺得有趣和比較有趣的占了將近50%左右。在統計中筆者還有趣的發現：部分同學采用了多種方法解題。將近30%左右的學生采用了兩種以上的方法來思考。

表2可以看出認為一般和不難的學生占了將近50%，有趣的是這部分學生的解答過程正確率相對認為難或比較難的學生來說就高一些。如果我們在教學中，讓學生在獨立解決問題的基礎上，進行討論與交流，那么學生就能相互啟發，從而促進他們有較大的發展。

表2 兩個班學生認定題目難度的比例和實際答題的正確率

3.5 男、女同學解題情況人數統計：

圖一：503班、504班解題正確人數統計

圖二：503班、504班解題錯誤人數統計

圖一中發現503班男生、女生正確的人數接近，504班男生正確人數比女生多；圖二發現503班男生錯誤人數比女生多，504男生、女生錯誤人數接近。

4.測試分析 策略研究

4.1 興趣是最好的老師。通過以上學生對題目感興趣程度和正確率的數據統計，我們發現興趣是最好的老師，只有學生內心喜歡數學，熱愛數學，被數學的學科魅力屈服，這樣是真正能學好數學的最高境界。

我們備課組分析學生、研究學生,努力從這些方面著手提高學生學習數學的興趣。

(1)鼓勵為主，每天網上瀏覽十句夸獎的話語再進課堂。

(2)作用面批交流為主，了解孩子的真實思維再針對性教學

(3)多和家長溝通，表揚孩子的優點，讓家長配合一起鼓勵孩子。

(4)課堂注重思維的廣度和深度的拓展，鼓勵孩子敢想敢發表。

(5)和孩子們一起享受數學課堂，注意語音幽默貼近孩子生活。

4.2 針對練習，培養多元策略。圖形的教學是一個空間觀念培養的關鍵時期，每天的練習設計要緊密聯系課堂實際教學，學習了長方體的表面積計算后，逆向練習，切割后圖形的練習設計要具體補充，同時要注重實際教具的演示過程，注重知識的形成過程，讓教學也成為一種樂趣，和學生一起享受思考帶來的樂趣。

4.3 拓展練習，提升思維深度。沒有拓展練習的課堂猶如一池死水，無法激發學生探究的欲望。在基礎練習之后，每節課都要適當安排拓展練習，類似于切割正方體表面積求長方體表面積這樣可以方法多種多樣，思維拓展，方法各異的練習。數學是嚴謹的學科的同時也要體現數學的開放，提升思維的廣度。從而提升學生整體的數學素養。

我們需要不斷實踐和探索，追尋兩者的平衡，基礎扎實，進行拓展練習。兩者結合展現師生智慧互動的火花。

4.4 空間觀念，體驗現實意義。通過變化的量想，學生可以從不同的角度來發展空間觀念，體驗每個面的現實意義。長方體表面積的計算可以從單一面出發，也可以整體思考，可以從增加的面考慮，也可以從減少的面考慮，孩子考慮的角度在變化，同時其他學生的思維可以促進同學之間的共同進步。通過這些途徑，學生感知和體驗空間與圖形的現實意義。

4.5 轉換思想，知識融會貫通。轉化的思想應用于數學學習的各個領域，但不管在哪方面，它都是以簡單的、已知的、實際的、基本的知識為基礎，將復雜的化為簡單的，抽象的化為具體的，一般的化為特殊的，非基本的化為基本的，從而得出正確的解答。

學生與學生之間的差異是客觀存在的，我們不要也不能期望所有的學生能夠齊頭并進，讓不同的學生在原有的基礎上得到不同的發展才是我們努力的方向。

結束語

教學需要積累和反思，且行且思。一個典型習題可以折射出教學問題。從學生中來的資源，是積累和反思的切入點。通過統計學的原理來分析更科學、也更有說法力。在積累中反思，在積累中成長。改變教學行為之前，先改變我們的觀念吧。這關乎教學的靈魂和信念，這會讓我們的教學行為有了目標和歸宿，即便只是一個習題也可以這么深入的思考和提煉。我們的教學真的可以這么快樂而有意義！