一題多變教學研究
——以“基本不等式求最值”習題課為例

李 芬

(浙江省臺州市洪家中學 浙江 臺州 318015)

教科書是教師傳授知識提供了理論基礎，而教育是提高學生學習能力的有效手段。然而，高中數學教學要求教師不僅要提供知識，還要培養學生的思維。因此，教師要善于創新教育，努力提高學生的計算能力和思考能力。利用“舉一反三”有效地提高學生的思維模式，有效地提高了學生學習的靈活性。因此，“舉一反三”的教育體系是師生的最佳選擇。因為舉一反三是一種新的教學方法，拓展了高中數學技能，提高了學生的思維能力。

1.一題多變教學提出的背景

近年來，基礎教育課程改革處于積極發展階段，學生個性全面發展的重要性日益凸顯。在數學課上，教師越來越強調“問題多樣性”的作用。這種教學方法旨在讓學生擴展思維，簡化答題步驟、類比教學、探索相似性的過程。提出解決問題的想法以輕松解決課堂上各種數學問題的過程。此外，可以極大地發揮學生的思維能力，教師不僅可以教給學生知識，還需要提供自由思考的空間。學生可以通過調查反思所學知識，總結教師在課堂上教授的知識。開放的學習方法可以幫助學生享受學習，同時運用他們自身的思維技能并提高學習成績。從高中數學課的角度來看，這個題目的選擇基于以下幾個重要因素：(1)在學生做作業和考試時會發現，很可能學生所需要的大部分知識都掌握不完全的，在測試和作業中經常重復錯誤。知識點的性質并沒有改變，但是如果一旦改變問題之間的關系數量和問題的背景歷史，學生就會受到影響，這表明學生的移動和使用能力較低。(2)在課堂上，老師講的很多，大多數學生還處于被動接受狀態，思維明顯放緩。上課的積極性不夠，學生的好奇心和興趣不高。(3)很多想提高數學水平的學生，無法體會到生動活潑的數學思維過程，進而感到疲憊與彷徨。(4)與本課題相關的研究不僅限于高中數學，有的側重于對教師教學方法的考察，有的側重于考察學生解決問題的能力。但總的來說，根據學校教育的實際情況和學生的實際情況認真學習。通過收集、分析、審查和提煉案例，旨在創建具體的策略、方法和技術，以促進我們數學課的學習，從微觀操作層面開始，并具有靈活性。

2.一題多變教學研究的意義

科學研究表明，學生的智力發展集中在初高中階段，而這一階段被稱為學生智力高峰的過渡期。即使在今天，如果教師按照傳統的教學方法把自己看成是小學教育，課堂上的教育效果也不會達到令人滿意的程度。因此，在數學課堂中，教學以學生為中心，應該為學生提供更多獨立思考和主動學習的空間。基于這個觀點，“問題與變化”的教學方法可以很好地滿足學生的學習需求。“多變題”是指一兩個問題實際上反映了問題的數學現實，滿足多變。這使學生可以忽略自己的想法并使用類比來找到這些各種問題的解決方案。在這個過程中，學生可以用自己的思想去反思自己所獲得的數學知識，加深他們的歸屬感。知識，提高你的知識，這套數學知識很容易掌握。

課堂教學采用“多變問題”的方式，可以讓學生在實踐中或教科書中理解和討論知識點的相關性和作用，以及它們的各種特點，有助于動態理解所有知識的本質和模式。“一題多變”是學生學習和發展的客觀需要和必然趨勢。這是教育培訓正常發展所必需的。“一題多變”的訓練策略是作為一線教師的我們喜歡研究的課題之一，其價值在于建立良好的師生關系，通過探索“進化”的教學方法來促進學生的學習，同時使教師教學理念的更新，可以促進師生之間、學生和學生之間的有效互動，提高課堂教學效率，同時在課堂上能激發學生學習知識和解決問題的欲望，提高課堂積極性。

3.“一題多變”方法的運用

教師在課堂上教授數學不僅要注重知識的傳授，還要注重學生思維能力的實際應用。數學是學生非常重要的學科，教會學生解決問題。要解決問題，學生必須靈活運用所學知識，運用創造性思維能力。因此，僅僅依靠教師傳授知識并不能幫助學生解決問題。為此，教師可以使用按需學習的方法來提高學生應用方面的技能。可以通過向學生提供不同類型的數學問題，將問題類型更改為“您可以更改問題”。知識的長期積累可以提高和加深學生對知識的靈活應用能力。使學生明白問題的核心，知道題目的類型，如果學生在考試中遇到相同類型的題目，他可以放心地回答它們。那么，應該如何使用這種教學方法才能對學生產生最好的影響呢？

3.1 循循善誘。對于高中生來說，學習新事物并不容易，需要一個適應過程來接受新事物。由于對自己的思維和教學技巧不熟悉，教師在教學時不宜過分心急，不宜混淆以快速達到學習目標，從簡單到復雜來講授，讓學生有時間可以吸收，同時讓他們更容易吸收老師教授的知識。

3.2 舉一反三。“一題多變”的教學方式充分發揮了思維的能力，發散思維的運用使教材的內容更加豐富多樣，可以從幾個角度呈現了教材的數學知識。在這個過程中，學生必須認識到他們有能力就自己的想法和問題得出結論，并靈活地回答各種問題，教師也應該在學生身上培養這些能力。當學生面臨困難時，教師可能不會直接提供答案，但會為學生提供一些技巧，幫助他們獨立運用自己的思維技能解決。學生只有自己學會思考，才能向更高的數學水平進階，提高數學變革能力，能夠冷靜的解決未來可能面臨的數學問題。

3.3 借題發揮。即使在經歷了以上兩種方法之后，學生仍然需要完成他們數學課的基本任務。許多學生發現解決問題是一個乏味的過程，“問題”這個詞讓他們很頭疼，但只有解決問題才能充分利用他們在數學課上學到的東西。另外，如果學生在解決問題的過程中全神貫注，并且能夠獲得思考能力，那么這個問題會很有趣，不會很無聊。在提問的過程中，教師要懂得“在游戲中運用問題”，將通過提問所獲得的知識進行概括，從而使學生取得更好的學習效果。

4.以“基本不等式求最值”習題課為例研究一題多變教學

教學內容：學考復習，利用基本不等式求函數的最值。

(2)會利用基本不等式求最值，在求解過程中掌握配湊，常數代換法，消元法并通過一題多變的形式，讓學生鞏固的同時對知識加以歸類。

(3)情感目標：學生在利用基本不等式求最值的過程中，重新構建自己的知識結構，學會轉化與化歸，懂得歸類；在計算過程中，學會數據分析，能自覺的進行分離參數，換元這些函數里面常用的方法，從而提高學生的數學計算，數據分析數學核心素養。

教學重點與難點：

重點：常數代換法的探索過程與應用。

難點：學生經歷嘗試配湊，常數代換法都無法做到的時候，感受消元的魅力。

教學過程設計：

引言：在高中整個數學函數學習中，我們學過哪些求最值的方法？

學生充分討論，回顧整個高中函數求最值，老師點撥，最后總結：利用函數單調性求最值，根據圖象求最值，利用基本不等式求最值從而引出今天要復習的新內容。課題：利用基本不等式求最值

學情自測

設計意圖：通過這3個題目,讓學生回顧在利用基本不等式求最值的時候，要注意條件“一正二定三相等”從而讓學生在下面解題中能引起注意。并且對基本不等式進行了知識回顧：

知識梳理

(1)基本不等式成立的條件：_______________a>0,b>0

(2)等號成立的條件：當且僅當__a=b_____________

(3)基本不等式還可以表述為__兩個正數的幾何平均數不大于他們的算術平均數。

4.2 幾個重要不等式。

(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R)重要不等式

4.3 利用基本不等式求最值問題。

已知x>0,y>0則

設計意圖：學生通過做題，知道自己需要什么知識，再去回顧知識點，更有針對性，目標更明確，也容易引起學生的共鳴，讓課堂更有效。

例題精講

例1.

(2)已知正實數x,y滿足2x+3y=2則xy的最大值____________

(3)2019年浙江4月學考)已知實數x,y滿足x2+4y2=2則xy的最大值為______________

設計意圖：1和2比較基礎，一般學生都能發現為了湊成定值，需要做簡單的一些修改，直接用結論就好，配個學考題讓學生有信心。

在分析了例1的(1)讓學生做這個變式題，讓學生明白化解很重要，歸類成我們熟悉的題型也很重要。

做了變式1以后，緊接讓學生做變式2，學生很容易聯想到換元，從而這個題也迎刃而解。所以在知識結構中，要有聯想精神，把相同的類似的題目歸成一類，從而不搞題海戰術。

因為學生基礎不好，把變式3放在這里希望學生能聯想到變式1，提高學生的概括，以及知識的遷移能力。

設計意圖：通過對例1以及變式題的講解和練習，學生回顧配湊定值的方法，熟悉轉化與劃歸的思想，在數學解題中，分離參數，換元都是手段，在自己的知識結構中，要有這些方法，到用時，才能從容。

例2：

設計意圖：例2開始雙變量的求最值，讓學生體會xy在分母時候，如何來用定值x+y=1,關鍵讓學生明白這中間如何來轉換，最后得出常數代換法。

問題：上面兩個問題的有沒有相同之處？

設計意圖：變式1的目的學生體會到其實也是雙變量，只是比較隱晦，要學會分析式子的結構，然后懂得在自己知識庫里找尋曾經做過類型。

變式2：

變式3：

變式4：

設計意圖：變式234同時給學生，讓學生充分審題，比較這中間的相同和不同之處，在碰到問題后，我們應該通過哪些數學方法去處理式子。學生通過這些變式學會意識到題是變化不斷的，但是方法是有限的，配湊，常數代換，換元要常記心中，靈活應用，提高數據分析，數學運算，邏輯推理的核心素養。

例3：

小結提煉：略

教學反思：《普通高中數學課程標準》提出：要提高習題的有效性，科學準確把握習題的容量難度，防止題海戰術。本節課本著這個想法，主要通過一題多變的形式，讓學生在回顧基本知識和基本方法的同時，能把自己已有的知識結構得到提升，重新歸類，重點記住一些題型，而不是記住這個題目，以達到讓學生掌握基礎知識，提升數學能力，培育科學態度和理性精神的目標，實現數學育人。

5.一題多變在運用中的注意事項

5.1 一題多變例題的選擇要合理。在中學數學教育的背景下，一個很好的例子是幫助學生鞏固和鞏固他們的知識，提高他們的學習能力。因此，所要求的材料必須與學生的真實學習情況和教材的放置相輔相成。他從淺到深一步步引導和教授學生。改變題目所包含的知識分數和條件或要求，深化題型，提高學生對知識點的理解和應用，提高教育質量和教育效果。

5.2 一題多變并不等同于題海戰術。高中有很多數學材料，好的例題可以使學生對所學的知識產生鞏固整合的作用，并且能培養學生的學習能力。實現這一目標的一種方法是改變問題。通過改變問題和問題的術語，可以在原始問題的基礎上生成一系列成功的類似問題，學生可以發現其內在背景并獲得數學知識。參與、學習并通過有限的練習獲得更多收益。獲得乘法效應的數學問題。這不是因為它改善了學生的學習，而是因為它讓學生擺脫了傳統的教學方法。這不僅提高了學生的數學能力，也有助于提高他們的思維能力。它還可以提高您提出問題的技能和能力。教師應適當傳播教學知識，拓寬學生知識面，喚醒學生求知欲，幫助教師發展有效、高效、可擴展的教學方法。

6.結語

在習題課的教學中，充分考慮了每個例題的功能和價值，明確選題方向，通過設計多個變式，引導學生從同類問題的若干特例出發進行分析，進行習題歸類單變量，雙變量的轉化與化歸，最后強調函數求最值時候消元方法的根本。在教學過程中，側重激發學生的學習興趣，對題目的探索過程，慢慢尋找合適的解題方法，讓學生親身體會解題過程中，那種“柳暗花明”帶來的喜樂感，從而愛上研究數學，愛上數學。