微積分發展史與高等數學課程結合的教學案例

馬紀英

（上海理工大學理學院 上海 200093）

0 引言

在高等院校的數學教育中，高等數學是一門重要的公共基礎課程，是學生進一步學習專業課程的重要基礎，具有非常重要的不可取代的專業服務和素質培育功能。高等數學課程的主要內容是17、18世紀以來創建和發展的微積分的內容，其特點是教學內容繁多，理論知識框架復雜，需要記憶和理解的概念、定理和公式相對較多。并且在實際的教學中，高等數學內容偏多，課時偏少，因而是大多數本科新生普遍認為抽象難懂，枯燥難學的數學公共課。

目前絕大多數高校采用的《高等數學》教材，都是在歷史上已有的數學材料的基礎上，按照課程的總體大綱和學習要求編著而成的。我們學生接觸到的教材的教學內容都是精練的現成的，而對很多重要的數學概念的來龍去脈以及很多定理結論產生的實際背景闡述較少。在我國高校的數學教育中，大多數學生對數學史方面的基本內容知之甚少。因此，我們在高等數學的教學設計中，可以將數學史特別是近現代數學史的內容與課堂教學有機融合，在高等數學的關鍵章節適當強化數學史的背景，比如極限概念的形成歷史，微積分的創建和發展歷史，無窮級數的研究過程，以及相應的著名數學家的研究工作等。筆者從多年的實際教學經驗出發，探討了高等數學中與微積分的發展史結合的兩個教學案例，從而提高學生的學習熱情，啟發學生進行科學探索的勇氣和思路。

1 教學案例

微積分的思想可以追溯到兩千多年前，東西方不斷有學者嘗試用某種分割的策略解決計算幾何圖形的面積以及求切線的問題。十七世紀微積分的創建，被認為是歐幾里得幾何后全部數學最大的一個創造。微積分的創立主要是為了處理十七世紀科學中四種類型的問題：第一類是求物體運動的速度與加速度及其反問題；第二類來源于幾何上求曲線的切線問題，并且與光學研究中光線的傳播規律密切相關；第三類是求函數的最大最小值問題；第四類是求曲線的長度，曲線所圍圖形的面積以及曲面所圍立體的體積等，即現在高等數學課程里所講的積分問題。這四類問題有較強的應用背景，而且與我們現在所學的高等數學課本知識密切相關，本節我們將討論微積分發展史與高等數學課程融合的兩個具體教學案例。

1.1 極限概念的背景

極限論是微積分理論的基礎，而極限的嚴格化定義是極限論的核心。作為高等數學課程開始的一個重要定義，很多學生會感覺數列極限和函數極限的定義比較抽象，晦澀難懂。因此我們在教學設計中，可以先從兩個具體的例子引入。

第一個引例是中國古代數學家劉徽提出的“割圓術”。劉徽是公元3世紀中國古代著名數學家，代表作是《九章算術注》和《海島算經》，其割圓術的表述為：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。接著通過一個幾何圖形展示用正多邊形的面積去近似圓的面積，從圓內接六邊形開始割圓，每次多邊形的邊數 n倍增，隨著n不斷增大，正多邊形的面積與圓的面積“無限接近”。當 n=192時，可計算得圓周率=3.14，當n=3072時，可計算得=3.1416。圓周率是學生非常熟悉的內容，而且也是中國古代數學具有代表性的成就之一。通過這個引例，將極限的概念與學生已有的知識儲備結合起來，使得學生愿意主動去理解掌握這個概念，同時增強了我們的數學文化自信。

第二個引例是芝諾悖論之追龜說。芝諾是愛利亞學派的奠基人巴門尼德的學生，芝諾的論證在哲學史上影響深遠。亞里士多德的《物理學》當中共記錄了四個芝諾關于運動的論證：二分法、阿基里斯與烏龜、飛矢不動以及運動場。這些悖論思考了運動與靜止，連續與間斷的關系，其中前三個悖論與極限這個概念緊密聯系。追龜悖論講的是古希臘時期跑的最快的阿基里斯追不上前面速度極慢的烏龜。芝諾爭辯道：當阿基里斯跑到了烏龜現在所在的地方，這時烏龜已經向前爬了一段距離，當阿基里斯又跑到了那個地方，烏龜已經又往前爬了一段距離，以此類推。接著畫一個簡單的示意圖，展示阿基里斯追烏龜的過程。這個題目可以歸結為一個簡單的數學應用題：已知阿基里斯和烏龜相距100米，假設阿基里斯的速度為100米/分，烏龜的速度為10米/分，問阿基里斯多長時間能追上烏龜?設阿基里斯需要 t分鐘，則 100*t=100+10*t，解得t=10/9。即阿基里斯在有限的時間里可以追上烏龜。但是，這樣的解答并沒有真正按照芝諾的邏輯解決這個問題。追龜說中有一個芝諾時鐘的概念，即阿基里斯第n次到達烏龜第n次起點的時間an=0.1n-1，當n趨于無窮時所需時間無限接近零。在本節課的最后，可以把芝諾時鐘的題目作為一個課后練習題，用極限的定義嚴格證明阿基里斯追烏龜所需時間為有限值。

1.2 導數的概念與無窮小的嚴格定義

導數的概念在微積分中非常重要，它與微積分發展史的四個驅動問題密切相關，比如求物體的速度和加速度以及求函數的最大值最小值問題。在講解導數的定義之前，我們簡要介紹導數以及無窮小概念的背景和發展歷程。

微積分的創始人之一，偉大的物理學家數學家牛頓有一句名言：“如果說我比別人（笛卡爾）看得更遠些，那是因為我站在了巨人的肩上。”微積分的創建如所有的知識一樣都不是憑空而來的，而是在前人浩如煙海的工作基礎上總結提煉而成的。美國數學史專家莫里斯·克萊因在其著作《古今數學思想》中指出，十七世紀十幾個大的數學家和幾十個小一些的數學家都曾對微積分相關的幾類問題做過探索和研究。例如法國數學家費馬（Pierre deFermat）在1637的手稿《求最大值和最小值的方法》中求曲線切線方法，實質上就是我們現在所用的方法。英國數學家巴羅（Isaac Barrow）是劍橋大學的數學教授，他的著作《幾何講義》對后來微積分的創建有巨大貢獻。巴羅是牛頓的老師，1669年他辭去了教授席位并讓給了牛頓。此外，沃利斯（John Wallis），開普勒以及卡瓦列利等人都做了很多先驅性的工作。但是這一時期微積分的工作沉沒在細節里。這時需要有人從眾多的理論成果和紛亂的猜測中找到內在的聯系，并把它們重新整理成統一的概念。完成這項工作的是英國的牛頓和德國的萊布尼茨。牛頓創立的導數當時叫做流數，他的方法受到Barrow和Wallis的啟發和影響。萊布尼茨的很多成果和主要思想都包含在他的未發表的筆記中，他側重于研究一般意義下的微積分，并首次采用了許多沿用至今的微積分記號。

牛頓的第一本關于微積分的巨著是《自然哲學的數學原理》，書中關于流數或者說我們現在指的導數，牛頓舍棄了無窮小量而用了“消失的可分量”。但是牛頓和萊布尼茲都沒有清楚的理解和嚴格的定義他們的基礎概念，即無窮小以及dx,dy的最終含意等。十八世紀，微積分的工作發展迅速，大量成果紛紛涌現，最主要的數學家包括歐拉以及伯努利家族等。十九世紀開始，數學家們開始關心并致力于解決分析在概念和證明方面的不嚴密性。從數學家柯西，阿貝爾和達朗貝爾的工作開始，最終由德國數學家魏爾斯特拉斯進一步發展并給出我們現在所采用的極限的嚴格定義。

此外，在講述微積分的發展史中，下面兩個有意思的問題可以留給學生課后通過查閱文獻自主探討。第一個是微積分創建的優先權之爭，因為從時間上看牛頓大部分工作早于萊布尼茲，故萊布尼茲被指責為剽竊者，后來的調查證明萊布尼茲是獨立研究和發明了微積分的主要思想。這件事情的結果使得英國和歐洲大陸的數學家停止了思想交換，并且導致英國數學家落在后面。第二個是無窮小的嚴格化定義，曾經被稱為揮之不去的幽靈，在數學史上稱為第二次數學危機。而第一次數學危機是無理數的發現，第三次數學危機是羅素悖論，也稱為理發師悖論。通過以上教學設計，既提高了學生的學習熱情，也讓學生體會到數學知識來源于實際問題，并且歸功于無數數學家不懈的努力和永無止境的探索。

2 總結

本文從高等數學中極限和導數兩個重要的概念出發，探討了將微積分歷史融入到高等數學中的兩個教學案例。在新的教育形勢下，我們要堅持把立德樹人作為中心環節,實現全程育人、全方位育人。高等數學課堂不僅要教授學生近現代數學的基本理論知識，為后續專業課的學習打下堅實的數學基礎，而且可以在課堂上適當融合數學史以及數學文化相關的教育。通過這樣的教學設計，不僅加強了學生對近現代數學史的理解，而且有助于培養學生的數學文化素養，激發學生勇于探索的科學精神。