模型思想導(dǎo)向下的小學(xué)數(shù)學(xué)運算法則教學(xué)案例研究

齊小維

（沈陽大學(xué) 遼寧·沈陽 110044）

2011年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》提出了10個核心詞匯，模型思想作為其中的一個，決定了它在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想旨在幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。

2014年教育部提出要發(fā)展各學(xué)段學(xué)生的核心素養(yǎng)體系，以培養(yǎng)學(xué)生自主發(fā)展的能力。近年來，數(shù)學(xué)建模教學(xué)備受關(guān)注。國內(nèi)外研究學(xué)者發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模能夠?qū)⑸钪辛闵⒌膯栴}數(shù)學(xué)化、格式化，用模型思想作為理論指導(dǎo)，能夠提高解決問題的效率，促進問題的合理解決。實踐證明，將模型思想滲透于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠更好的培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此模型思想導(dǎo)向下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)成為國內(nèi)外教育界的熱門話題。

1 模型思想概念界定

“為了描述一個實際現(xiàn)象更具科學(xué)性、邏輯性、客觀性和可重復(fù)性，人們采用比較嚴格的語言來描述各種現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學(xué)。用數(shù)學(xué)語言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型。”

通俗地說，數(shù)學(xué)模型就是將實際問題分類后，解決各類問題所固有的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。而模型思想就是在提出數(shù)學(xué)問題，檢索已有知識經(jīng)驗，經(jīng)歷一系列抽象、推理，將未知轉(zhuǎn)化為已知，從而建立數(shù)學(xué)模型的過程中，所應(yīng)用到的數(shù)學(xué)指導(dǎo)思想。

2 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的意義

2.1 形成重要的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)是在模式化的過程中豐富和發(fā)展的。數(shù)學(xué)建模的思想可以引申出簡化思想、函數(shù)思想、類比思想、抽樣統(tǒng)計思想等。建立數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要過程。例如：自然數(shù)“1”可以表示“1頭?！薄耙豢脴洹薄耙恢圾B”等具體的事物；“部分數(shù)+部分數(shù)=總數(shù)”可以派生出“白鵝有一只，黑鵝有五只，一共有幾只？”等。學(xué)生形成了模型思想等一系列重要的數(shù)學(xué)思想，不僅有利于記憶與理解數(shù)學(xué)知識，還有利于進行數(shù)學(xué)知識的遷移。

2.2 增強小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)欲望

數(shù)學(xué)模型是溝通數(shù)學(xué)與外界世界的重要橋梁。數(shù)學(xué)模型之所以能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，就是因為數(shù)學(xué)模型能夠把枯燥的數(shù)學(xué)問題趣味化、多元化。例如：在學(xué)習(xí)整數(shù)乘法時，學(xué)生可以按照自己喜歡的方式動手操作，通過擺小棒、折紙、畫圖等多種方式，進行觀察、探究、學(xué)習(xí)，從而推導(dǎo)出整數(shù)乘法的計算法則，建立數(shù)學(xué)模型。

2.3 積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

有些不同的數(shù)學(xué)問題卻蘊含著類似的數(shù)學(xué)模型思想。例如：整數(shù)加法和整數(shù)減法都可以利用擺小棒的方式來進行探索；分數(shù)乘法和分數(shù)除法都可以利用折紙的方法來進行探究等。因此，只要掌握其中的一種探究方法，就可以舉一反三。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想有利于幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。而學(xué)生通過自己喜歡的方式進行探究，這也有利于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和創(chuàng)新意識。

2.4 提高小學(xué)生獨立解決數(shù)學(xué)問題的能力

將模型思想滲透于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生會逐漸形成嚴謹?shù)?、理性的?shù)學(xué)思維。而良好的數(shù)學(xué)思維就能夠支撐學(xué)生結(jié)合以往活動經(jīng)驗，獨立的去探索、解決問題。例如：在學(xué)習(xí)完整數(shù)加、減、乘、除法之后，學(xué)生就會根據(jù)自己所掌握的方法，獨立解決四則混合運算、簡便運算等數(shù)學(xué)問題；也可以用這種模型思想去學(xué)習(xí)分數(shù)四則運算等。

2.5 增強小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)用意識

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其實就是為了解決生活中的實際問題。而模型思想就是連接數(shù)學(xué)知識與實際生活之間的重要橋梁。北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材基本每節(jié)課的導(dǎo)入都是創(chuàng)設(shè)生活中的情境，從中抽象出數(shù)學(xué)問題，然后引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識去解決。而學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)知識，也自然能夠解決生活中的實際問題。例如：學(xué)習(xí)了整數(shù)加減法，學(xué)生就可以獨立去買菜找零錢。因此，將模型思想滲透于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于增強小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)用意識。

2.6 改善小學(xué)生學(xué)習(xí)方式

模型思想的滲透，能夠防止學(xué)生死記硬背。數(shù)學(xué)知識是靈活的，是互通的。因此只要形成了良好的數(shù)學(xué)思維，就會利用模型思想進行舉一反三。例如，學(xué)生掌握了整數(shù)乘法，小數(shù)乘法也迎刃而解，只需注意小數(shù)點的位置即可。這不僅能夠減輕小學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，還能夠改善小學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，從而提高學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)質(zhì)量。

3 建模模式下教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計——以分數(shù)除法（二）為例

3.1 復(fù)習(xí)檢查，設(shè)疑激趣

PPT出示復(fù)習(xí)檢查的問題，并強調(diào)分數(shù)除法（一）的意義、算理和算法。這節(jié)課就讓我們一起來學(xué)習(xí)更有挑戰(zhàn)性的知識：分數(shù)除法（二）——除數(shù)是分數(shù)的除法。（板書）

安排此環(huán)節(jié)的目的在于了解學(xué)生，夯實基礎(chǔ)；在上課伊始便集中學(xué)生的注意力，使其產(chǎn)生求知訴求。

3.2 探索新知，體驗發(fā)現(xiàn)

把教材中靜態(tài)的問題串1搬到動態(tài)的大屏幕上！引導(dǎo)學(xué)生：

（1）每1張一份，可分成幾份？

在學(xué)生輕易得出結(jié)果，列出算式之后，追問道理，使其說出：因為這是一個平均分的問題，所以要列成除法算式。對于想到：1張餅是1份，四張餅就是四個一份，可以用4×1=4表示的學(xué)生給予更高的評價：把除法轉(zhuǎn)化成了更好算的乘法。

設(shè)置意圖：由簡答問題入手，進一步明確整數(shù)除法的意義，滲透轉(zhuǎn)化思想，幫助學(xué)生建立學(xué)好本節(jié)課的信心，為后續(xù)探究分數(shù)除法（二）奠定基礎(chǔ)。有了知識和經(jīng)驗儲備之后，提出本課的關(guān)鍵問題，“除數(shù)是分數(shù)的除法”問題。

新課標指出：教學(xué)中，學(xué)生是發(fā)現(xiàn)者，要讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成過程，從中體驗數(shù)學(xué)思想方法，積累活動經(jīng)驗。

這是學(xué)生初次接觸除數(shù)是分數(shù)的除法，為了突出重點、突破難點，選擇“探究發(fā)現(xiàn)教學(xué)法”，引導(dǎo)學(xué)生借助圓形紙片，看出，每張餅一份，就相當于把每張餅都平均分成2份，總共有4張這樣的餅，就是4個2份，從而數(shù)出8份或4×2算出8份。然后要求學(xué)生以“小組合作”的學(xué)習(xí)方式，寫出數(shù)學(xué)表達式并探究其意義和算理。在學(xué)生匯報的同時我強調(diào)：是把4張一樣大的餅，按著每份都是張進行平均分的問題，同樣是平均分的問題，所以用除法，點明算式意義，滲透類比思想，積累活動經(jīng)驗。

對于其他算法，如：

均給予肯定，提倡一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。在幫扶學(xué)生解決了除數(shù)是分數(shù)的除法問題后，出示：

設(shè)置意圖：這一環(huán)節(jié)，主要讓學(xué)生經(jīng)歷演繹推理的過程，通過語言和手勢進行強化，逐步進行抽象概括，為學(xué)生獨立建立模型奠定基礎(chǔ)。

（5）小結(jié)。

引導(dǎo)學(xué)生觀察這些算式，抽象出除數(shù)是分數(shù)的除法的計算方法。和分數(shù)除法（一）的計算方法一樣，被除數(shù)沒變，÷變成x，除數(shù)變成了它的倒數(shù)。

知識來源于生活，又應(yīng)用于生活。引導(dǎo)學(xué)生列舉生活中的例子來解釋這種計算方法。

大家用生活中的例子又一次幫我們解釋了除以一個幾分之一的分數(shù)，就等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。淘氣想了個辦法來驗證，你能看懂么？（多媒體出示）想一想，填一填。

設(shè)置意圖：借助學(xué)生已有知識經(jīng)驗，長方形的面積公式，解釋除數(shù)是分數(shù)的除法的計算方法。幫助學(xué)生深入理解算理。

3.3 應(yīng)用拓展，鞏固練習(xí)

剛才我們的計算都是除以分數(shù)單位，那如果是除數(shù)不是分數(shù)單位也可以這么算嗎？出示例題，由特殊推廣到一般。最終引導(dǎo)學(xué)生進行抽象概括，得出數(shù)學(xué)模型：除以一個不為0的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生理解算理，知道除以任意分數(shù)都可以用同樣的計算方法，并強調(diào)計算時要注意：能約分的先約分。至此，實現(xiàn)一個完整的數(shù)學(xué)建模過程。

不計算直接比較大小是學(xué)生的易錯點，因此出示練習(xí)題，進行講解，再次強調(diào)分數(shù)除法的意義、算理和算法。

3.4 全課總結(jié)

通過上節(jié)課和這節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家又有怎樣的思考和收獲呢？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的知識和方法，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

4 模型思想導(dǎo)向下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略

4.1 聯(lián)系生活，精選問題，引導(dǎo)學(xué)生感悟模型思想

小學(xué)生身心發(fā)展的年齡特征決定了他們很難理解抽象的數(shù)學(xué)問題，因此教師要聯(lián)系小學(xué)生的生活實際創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生感悟并建立數(shù)學(xué)模型?！霸谛W(xué)數(shù)學(xué)運算法則教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)的情境要有代表性和趣味性，將教學(xué)內(nèi)容緊密聯(lián)系生活實際，能夠激發(fā)學(xué)生的思考和興趣?！币约由顚W(xué)生對算理的理解和對運算法則的掌握。

例如在案例中，就精選了折紙的問題，首先貼近學(xué)生生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，其次滲透模型思想，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)信息，檢索已有知識經(jīng)驗，建立數(shù)學(xué)模型，把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，并用算式補充建模過程，從而解決實際問題。

4.2 合理的運用輔助工具，在多元的數(shù)學(xué)操作中建構(gòu)算法模型

要提高數(shù)學(xué)建模能力，學(xué)生必須先明白如何塑造數(shù)學(xué)模型。在培養(yǎng)小學(xué)生模型塑造能力的過程中，教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生發(fā)散思維，在多元的數(shù)學(xué)操作中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。以此幫助小學(xué)生養(yǎng)成敢于探索、勇于實踐的精神。在教學(xué)中，要運用多種直觀手段來幫助小學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，可以采用列表法、圖形法、圖像法等。“借助于擺弄學(xué)具到操作語言的有序過渡，或在操作語言中由直觀的畫圖到抽象的列式等的逐層展開，可以高效地幫助學(xué)生跨越從具象到抽象的思維障礙，實現(xiàn)由直觀算理到抽象算法的有效聯(lián)結(jié)與及時提升?！?/p>

例如在案例中，就借助了面積模型，通過分一分，折一折，畫一畫等多元的數(shù)學(xué)操作中，根據(jù)直觀觀察，建立了分數(shù)除法與分數(shù)乘法的聯(lián)系，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

4.3 豐富探索問題的過程，在口算與筆算對應(yīng)聯(lián)結(jié)中建構(gòu)算法模型

“基礎(chǔ)知識不應(yīng)求全，而應(yīng)求連；基本技能不應(yīng)求全，而應(yīng)求變?！苯處煈?yīng)該豐富學(xué)生探索問題的過程，引導(dǎo)學(xué)生對已學(xué)知識進行延伸、拓展和綜合。在運算法則教學(xué)中，“口算與筆算之間具有類似的算法結(jié)構(gòu)，有較強的系統(tǒng)性和連貫性，通過經(jīng)驗方法及策略的正遷移，促進小學(xué)生數(shù)學(xué)知識與思維的自主發(fā)展，巧妙滲透類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、抽象推理、建模等數(shù)學(xué)思想?！?/p>

例如在案例中，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)提供的數(shù)學(xué)信息，檢索已有知識經(jīng)驗，通過建立不同的數(shù)學(xué)模型，將分數(shù)除法問題轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法、分數(shù)乘法、分數(shù)與除法的關(guān)系、商不變規(guī)律等問題，在口算與筆算的對應(yīng)聯(lián)結(jié)中，推導(dǎo)出計算法則，理解算理，從而解決實際問題。

4.4 采用探究式教學(xué)，在有序表述中建構(gòu)算法模型

在引導(dǎo)小學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的過程中，教師可以采用探究式教學(xué)策略，讓小學(xué)生參與到問題的探索中，可以采用小組合作交流的教學(xué)策略。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一個善于運用完整的數(shù)學(xué)語言表達的學(xué)生，他的學(xué)習(xí)才是深刻的，數(shù)學(xué)思維才是豐富的。在運算法則學(xué)習(xí)中，應(yīng)促成學(xué)生數(shù)學(xué)模型的遷移與運用，通過培養(yǎng)學(xué)生運用完整、有序的數(shù)學(xué)語言，來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，鍛煉學(xué)生的語言表達能力，達到說、算、思的共贏共進。

5 結(jié)論

通過本論題的研究，筆者認為，關(guān)于模型思想導(dǎo)向下的小學(xué)數(shù)學(xué)運算法則教學(xué)必須思考和回答如下幾個問題。第一：首先教師必須明確什么是模型思想、數(shù)學(xué)建模需要怎樣的過程。第二：在小學(xué)數(shù)學(xué)運算法則教學(xué)中如何滲透模型思想。第三：在具體教學(xué)中的每一個環(huán)節(jié)中滲透到什么程度，應(yīng)該如何去點撥和引導(dǎo)，鼓勵學(xué)生利用已有知識經(jīng)驗經(jīng)歷抽象、推理，把數(shù)學(xué)模型建構(gòu)起來。

實踐證明在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想，確實能夠培養(yǎng)小學(xué)生的建模意識和數(shù)學(xué)思維，從而提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為小學(xué)生未來的學(xué)習(xí)與發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。

由此啟示我們，未來的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，模型思想的滲透力度必將加大。但在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透模型思想是一項嶄新而復(fù)雜的工程，還有很多問題亟待解決。比如針對每一個情境，具體的滲透策略是怎樣的？這就需要我們所有準教師、一線教師及廣大教育研究人員繼續(xù)有針對性的深入、具體的實踐與研究。