高中數學復習“一題多解”案例詳談

■貴州省鎮寧民族中學 曾凡彩

在數學教學中，體驗、思考和表達在同一個問題的發生過程中是相互依存、不可分割的。因此，要想加快實現“三教理念”下的高中數學復習課堂“一題多解”的問題研究，需要注重對新課標下的多元化的核心素質需求加以落實，以此實現高中數學復習課的案例教學研究，另外還可以創新教師的教學理念，最終實現學生的全面素質培養。本文將對高中數學復習課中的案例展開具體性的闡述，進一步分析基于“三教理念”下，學生在進行高中數學復習課“一題多解”過程中，凸顯出數學思維的活躍性、實踐活動性、表達準確性的特點。如何在高中數學復習上加快實現“三教”理念的落地生根是當下教師團隊應該思考的問題，需要教師在具體的教學實踐中深入探討，為最終實現學生數學核心素養的提升奠定基礎。

一、“一題多解”的內涵及重要性

“一題多解”指在同一道數學題的計算基礎上，從多個角度出發形成解題思路，然后得出問題的答案。在高中教育階段及數學課堂的學習過程中，學生必須具備一定的一題多解能力，然后結合自身的學習實踐，在掌握一題多解內涵上突破課堂教育。一題多解的內涵是高中數學復習課堂實踐中的重要組成部分，能在多種解題思路以及方法解答的運用中對題目進行多個層次的分析，結合關鍵的研究對象展開多角度的調查，最終發現各個角度的切入點與突破點。另外，一題多解在高中數學課堂的作用下，能有效拓展學生和教師的解題思路，并且實現發散性思維能力與解題水平的提高。除此之外，在一題多解方法的不同角度下，往往會涉及多個層面的數學思想和數學方法，由此看來，一題解在學生綜合能力掌握及知識運用的方面能發揮出提升作用。經過一題多解的課堂訓練后，學生能在數學問題的線索及思路中找到多種簡單的解法，這也是一題多解能力提升的具體表現。

二、高中數學解題的常見問題

在高中學生對數學問題進行解答的過程中，由于思維能力等方面的原因，學生很容易因為以下問題出現解題思路錯誤的情況：

（一）容易混淆題目概念

由于當前數學考試和練習大多都是對基本知識和基本概念的考查，許多學生解題錯誤還是由于對基本知識記憶不牢以及概念混淆而導致的，比如，關于集合部分的學習中，對于需要計算的部分少之又少，基本都是對基礎概念的掌握、對數字或者算式進行分類。例如，復數部分的相關知識：對于一個常規的復數表示為虛部和實部兩部分，不過在對復數方程進行解析時，相當一部分學生就很容易忽視虛根的存在，只看見了實數根會導致答案不完整進而丟分。其主要問題還是在于學生對于主要概念的理解不透徹，一看到復數求解方程并沒有想到實數解和虛根的概念，比如，x4= 1，求x的值。這個題目也不算特別復雜，很多同學基本就會寫上+1 和-1，但是忽略了+i和-i這兩個虛根，其根本原因就是忽視了虛根的概念，對題目本身的意義和內涵不夠重視，因此就無法對相應的問題作出完整的解答。

（二）缺少多種解題方法應用

數學問題在解答時往往是比較開放的，大多數問題的解決方法至少有兩個以上，因此掌握多種解題方法可以在遇見不同條件的問題時能夠選擇最便捷的方法去解決問題，從而提高做題效率。但當前由于教育模式問題，大多數教師都只教給學生單一的解題方法，也沒有給學生充足的思考空間，因此大部分學生很難掌握多個解題方法，有的學生還會以為當前解題方法過于復雜導致一些小錯誤的發生。例如，在解析幾何中關于線和面以及面與面的關系中，尤其是求夾角度數的時候，往往會有至少兩種解決方法，第一種是利用幾何的方法，第二種則是引入坐標系，利用向量來解答。此時就需要引導學生根據題目所給出的條件進行方法選擇，一定要選擇最直觀且最簡單的方法。若是題目給出的是有規則的圖形或者有建立坐標系的基本條件，就可以利用向量的方法去求解法向量，否則利用幾何的方式更容易解決問題。

三、高中數學復習“一題多解”思路的必要性

在高中數學復習課的教學環節中，學習需要興趣復習，更需要激發興趣，因此，高中教師應結合當下大多數高中生數學興趣不足及課堂現狀，進一步探索一題多解思維的創新，讓學生投入知識模塊和綜合運用解題過程中。高中數學的挑戰難度較大，學生在學習新東西的同時難免會激發求知欲。因此，學生和教師都應該投入一題多寫課堂中，結合問題情境的導入學習新知識，增加課堂新鮮感。除此之外，在生動導入和綜合性題目的解答中認識到一題多解思維的重要性，能引領學生進行長期的做題訓練，進一步提高學生的數學成績。“一題多解”在學好數學、提高學生數學思維能力方面發揮出必要價值，在一題多解與一題多變形式下的數學思維拓展及案例復習可以培養學生廣闊性、深刻性、靈活性的數學解題思維，這也是提升數學成績的有效途徑。

數學課堂能拓展學生的邏輯思維，并且激發他們的課堂學習效率，因此，教師應該加快提高高三數學復習課的質量。大多數學生在處理數學問題時，認為數學概念與公式相對死板，在課堂上能聽懂例題和題目，卻不會做數學，不能結合生活實際。如果數學案例的題目與實際生活無關，那么它就失去了教學的價值，因此，在數學一題多解的復習活動中，應重視解題過程的生活化，并且從中帶領學生體會探索的興趣。除此之外，學生還可以在一題多解方法的利用下挖掘和分析題目線索，并且運用到多個模塊的知識中。數學復習課一題多解思路的運用，能帶領學生掌握通性通法，學生可以在橫向、縱向等多個角度認識到模塊與知識之間的聯系，在能力與經驗積累的過程中不斷掌握問題的解決方法，最終展示出高中數學課堂知識點和一題多解樂趣對數學成績的推動作用。

四、一題多解在數學案例中的具體運用

例1：已知(z-x)2- 4(x-y)(y-z)= 0，證明x、y、z成等差數列。首先，要想證明x、y、z是等差數列，必須求出x-y=y-z這個思路，然后結合這一結論，對題目的已知條件進行推導，因此在看到這種數學題型的同時，學生一般會選擇用最為直觀的辦法，就是結合已知條件尋求公式的轉換，將公式加以整理，最終得出x、y、z成等差數列的結論。其次，學生在一題多解思維中也會尋找多個角度，并且結合自身學習的實踐產生出個人看法，證明案例中的結論。學生可以根據已知的條件(z-x)2- 4(x-y)(y-z)=0、z-x、4(x-y)(y-z)，然后再集中篩選具有對稱輪換的特點，結合這一特點，使用換元法縮減代數式中的字母數量，從而實現運算的轉化。比如x-y=a，y-z=b，那么x-z=a+b。由此看來，在上文數學案例中的一題多解思路內涵及作用下，最為常見和最容易的思路是可靠的，但是也存在固化的呆板現象，導致學生的多元思維受限，同時也會影響學生的數學解答邏輯，另外，在第二個解題思路中可以看出換元法的運用十分巧妙，學生能仔細觀察和善于遷移，并且引入數學判斷公式掌握解題技巧，從而帶來問題解決的啟示作用。

五、高中數學復習“一題多解”案例的新思考

（一）教思考，引發學生“想”

在具體的數學課堂教學實踐中，教師的教學模式以及在內容上的選擇將會直接影響學生對課堂數學知識的學習和掌握，“三教理念”在高中數學復習課上的融入與創新，能激發教師在實際的教學任務中提起對學生思維方面的重視。教師應該格外注重自身教學內容要能推動學生多元化的問題思考，并且進一步將學生掌握的知識體系加以全面性、深刻性的整合。由此看來，高中數學復習課的教學活動中，數學教師應起到一定的引導作用，引發學生在加快掌握數學知識邏輯的同時進一步整理“一題多解”的脈絡，再對高中數學教學的知識掌握中進行多方位的分析與滲透，保障學生進一步學會用“一題多解”的數學邏輯思考問題。

比如，高中數學題型中涉及“充分條件與必要條件”的知識點，教師可以在課堂實踐中引導學生主動思考，充分發揮想象，在挖掘問題本質的同時，加快實現“一題多解”的教育目標；教師可以在利用學生當下邏輯思路的基礎上，為學生創造自由發揮的問題情境：①楊利偉是第一位登上太空的人，本身擁有的“身體條件優勢”和“成為宇航員”之間存在怎樣的聯系？②老師今天生病，我生病是否能好和我吃藥打針之間有什么聯系？

由此看來，在高中數學復習課上，教師應該注重教思考的重點，主動引導學生思考，并且以數學知識為載體，以核心問題為驅動，加快實現學生解題思路以及數學邏輯上的“想”。學生在思考的過程中應該加快形成自身的數學知識體系，在思考問題發生的背景和解題方法的實踐環節中，應該積極尋求相對應的解題思路。數學本身作為人類思維活動中的創造性活動，數學知識的創造來源于人類的思考。

（二）教體驗，推動學生探本質

數學學科是一種創造性的活動，需要學生在數學知識的學習過程中提高自身的主動創造性，這也充分體現出高中數學教學課堂上數學體驗的重要性，也是加強學生對問題本質的思考并將思考的內容轉化為實踐的途徑。教師要保障學生在及時掌握知識內容和技能的同時，進一步發現問題、提出問題以及解決問題，充分體驗數學文體當中的邏輯脈絡。例如，將高中數學復習課中提到的問題展開跟組討論，將其中的結構展示出來，并且進一步引導學生解決問題：①y=x+ 2x2+ .... +nxn的公式和為多少；②{an}屬于等差數列的范疇，其中{bn}作為各項為正數的等比數列，并且a1 =b1 = 3，a2 =b2 = 24。

本題可以使用換元法解決數學數列，數列公式的推算能得出通項公式的答案，并證明第一個問題，求出來的公式也就是等差數列和等比數列的形式。此外，運用錯位相減的方法，將條件的公式整體代入證明最后結論。還可以巧妙地運用題目求證，結合定義先證后求整體代入。

在題目基礎上，不斷推動學生對“一題多解”思路的掌握和使用，可以培養學生的創造性思維。數列問題是高中數學復習課中的重難點，同時，該案例的解題思路與方法也是通法，所以結合已知條件和解答技巧就能求出公式和問題的答案。由此看來，基于“三教理念”的高中數學復習課“一題多解”的創新研究，是推動學生進一步深化掌握高中數學知識必備的思維活力。“教思考、教體驗、教表達”作為“三教理念”的主體內容，可以引導學生在高中數學復習課上提高自身的思辨能力，并且將所掌握的理論內容進行實踐性的技能強化。

（三）教表達，加強互動與溝通

高中數學復習課上的表達主要針對課堂內容上的思考和體驗之后的結果，再加上數學課堂上的學習本身屬于特定性的實踐活動，所以教師應該格外重視與學生的教學互動，解答學生在學習中遇到的疑惑，并激發學生的數學表達，比如，（1）1.72.5，1.73；（2）0.8-0.1，0.8-0.2；（3）1.70.3，0.93.1。在高中數學復習課的教學實踐中，數值上的比較和變化都存在于（1）（2）（3）中。學生表達：（1）和（2）的數列比值存在冪的底數相同的特點，但是冪的指數存在差異，（3）的冪的底數和指數都不屬于同一行列。教師提出問題：請學生將指數數值大小相同的方法陳述出來。數學思想與變量之間的聯系，能通過數學觀點尋求問題的解答，這也是一種最為基本的數學思想方法，同時表現出函數性質和理論的運用價值。

一題多解在高中數學復習教學中的運用，能幫助學生提高數學能力和學習數學的興趣，這個案例就是要求學生在數學復習中利用問題所提供的一切條件進行對比聯想，并且采取一題多解的形式解答問題，數學公式在數學問題中的運用也十分重要。學生在應用一題多解時要注意數值上的轉變以及數列比值，注重自身的表達與文字描述，提高對公式及條件的嚴謹性。

“三教理念”下的高中數學復習課“一題多解”的創新性發展具有現實性意義，再加上教師在高中數學課堂上起引導作用，可以在一定程度上引導學生將腦海中的“想”轉換成“做”，并且將“做”轉變成“說”，以此在“做”和“說”的基礎上進一步引導學生在復習課題中展開進一步探索，積極發現新問題。

六、結語

綜上所述，高中數學復習課的實踐教學活動中，“三教理念”的應用在一定程度上起到推動作用；教思考、教體驗、教表達的創新教學觀念將會促使學生對數學課堂上出現的同一問題的解答思路加以創新，逐漸掌握“一題多解”的數學邏輯；還可以在高中數學復習課中將多提出的解題過程相互依存。其中，“三教理念”之間的內容上具有難以分割的聯系和特點，再加上課堂教學環節中的理念和側重點存在差異，這種教學模式可以一方面引發學生多角度地思考，另一方面可以不斷充實學生知識解題思路，凸顯出學生在“三教理念”教學模式下的主體地位，并充分發揮出教師在實踐課堂上的引導作用。