初中數學應用性問題解決能力培養的實踐

■江蘇省灌南縣六塘中學 江宋標

應用性問題就是將數學知識與生活現象結合在一起的題型，學生在解題的過程中能夠體會到數學與生活實際的聯系，不僅考查學生對數學知識的掌握程度，還考查學生對數學知識的運用能力。因此教師在教學的過程中不應當局限于做題練習，更多的是需要講解解題技巧、培養學生數學思維，只有學生能夠充分理解題目表達的意思，并結合生活實際和所學知識分析解題思路，才能提高解題的正確率，提高學生解決問題的能力。

一、因材施教激發學生興趣

因材施教是提升學習興趣的有效方法，這需要教師準確了解各個學生的學習情況，針對不同能力程度的學生采取不同的措施來培養他們的興趣。比如，基礎能力較弱的學生，特別是對應用性問題中涉及的概念、公式等基礎知識掌握不全面的，教師要對其進行針對性輔導，先從簡單的應用性問題開始，注重培養學生的解題自信，使他們不畏懼解題，只有學生自愿解決并會解答應用性問題，才能樂意解題。例如，教師在講解求解速度的應用性問題時，便可以先向能力較弱的學生提出基礎性的應用題：汽車行駛至五百米的隧道時，需要30秒才能通過，那么這輛汽車速度是多少？當學生通過畫圖正確解答出來之后，便能產生自信心，然后教師就可以在這道題的基礎上逐漸增加難度，針對學習能力強的學生提出問題“汽車完全行駛在隧道中需要4秒，長度是多少米”，不僅可以滿足能力強的學生的學習需求，也能夠使能力弱的學生產生鉆研精神，繼續不斷地深入學習。另外，教師也可以通過競賽的方式讓學生一同比賽，營造良好的競爭氛圍，并給予解答問題又快又準的學生相應的獎勵，讓學生在比賽的氛圍中發現數學學習的樂趣。例如，教師在講解完“因式分解”相關知識后可以列出算式，分組讓學生進行分解因式計算：a2b+5ab+b、(a-b)2-(a-b)(a-c)+(a-b)(b+c)、xn+xn-1+xn-2等，難度可以由易到難，然后對快速計算完畢且全部正確的小組予以物質或語言的激勵，以此激發其他小組學生的解題興趣，提升解題能力。

二、深挖例題拓展學生思維

應用性問題解決能力的培養并不是一蹴而就的，這是一個循序漸進的過程，即便學生有濃厚的學習興趣也做不到在短時間內養成學習能力，教師應當始終將牢固的基礎知識作為培養解決問題能力的根基。在講解新知識時，教師可以選擇簡單的問題進行引入，教材中的例題、習題是與教學內容緊密關聯的，所以教師可以將這些題目進行適當的改變，使其變為更為開放且發散的應用問題，從而引導學生學會分析，拓展學生的思維。例如，教師講解“點和圓、直線和圓的位置關系”這一節內容的知識點時，便可以利用課本中的例題：不過圓心的直線Z交圓O于C、D兩點，AB是直徑，AE⊥Z，垂足為E，BF⊥Z，垂足為F，求證：CD=DF。教師此時可以對題目稍做變動，去掉課本中的例圖和求證問題，讓學生根據已知的條件自己畫圖，然后再進行證明。這樣不僅可以使學生的四維空間思維能力得到拓寬，也能使學生養成數學的創新能力和問題解決能力。

三、結合生活實際加深學生理解

應用性數學問題中，有一些名詞或者涉及的知識點是學生在生活中能夠接觸或者遇見的，所以教師在講解價格、速度、股票、話費清單等與生活相關的應用問題時，便需要向學生普及一些有關的常見名詞的知識，如成本價、利潤、毛利潤、速度等，只有學生清楚理解這些名詞背后的含義，才能夠在后續解題的過程中準確掌握題目的信息。教師還可以通過微信群或者QQ群時常與學生討論一些購物方面的數學知識，分享數學資料等，如可以與學生交流某些學生喜愛的產品的打折活動，讓學生比較哪一家的打折力度大，探究原因，以此提升學生的數學素養。例如，教師在講解一元二次方程的題型時，可以結合“坐飛機托運行李”這一生活中常見的現象：行李托運時每人可以免費托運20千克，若超出規定標準則需要收取托運費用，費用需要按照每千克票價的12%收取，小李乘坐飛機時攜帶的行李重40千克，機票與行李超額費用共1455元，那么小李的機票是多少錢？這一題干更方便學生理解一元二次方程的解法，能使學生切身感受到數學的魅力。教師也可以選擇創設數學情境的方式培養學生解決問題的能力，這便要求教師創設的情境即要結合教學內容，符合教學目標，還要含有豐富且直觀的數學信息，符合學生的認知水平，便于學生理解。例如，教師在講解不等式的知識時，便可以創設生產活動的情境：有一項綜合治理河流的市政工程，需要磚瓦廠生產甲、乙兩種類型的磚共60萬塊，其中A類原料有150萬千克，B類原料有170萬千克，若是生產1萬塊甲磚，需要使用A類、B類原料1.5萬千克和4萬千克，造價1.2萬元；若是生產1萬塊乙磚，則需要使用A類、B類原料5萬千克和2.5萬千克，造價1.8萬元，那么可以設計幾種生產方案？當教師將不等式的知識與生產情境結合在一起，便能夠引導學生利用所學知識分析生產方案，不僅可以加深學生對知識的理解，也能養成解決實際問題的能力。

四、巧設問題啟發學生思維

提問是教師每節課必備的環節，不管教學內容是什么，學生的基礎能力差異大或小，教師都必須通過深思熟慮，巧妙設計提問環節，即要避免問題過于簡單，也要保證問題的趣味性，以保證學生有充足的探究欲望去解答問題。例如“三角形內角和定理”這節內容，教師在教學時可以根據學生的不同基礎設計不同難度的問題，對于基礎一般的學生，教師可以提問：△ABC是等腰三角形，若其中一角是30°，另外兩個角是多少度。這類問題較為簡單，能夠滿足基礎能力不強學生的學習需求，但是面對基礎較好的學生，教師便可以變更題目的難度：BC邊上的高等于BC邊長的一半，∠BAC是多少度。此時題目不僅需要將線段問題轉化為角的問題，學生還需要根據已知信息畫出相應圖形，能有效達到推動學生探究的目的。

五、利用數學問題培養學生數感

初中數學教學引導學生學會用數學思維思考問題、用數學方法解決問題的前提，便是數感的培養。只有學生養成良好的數感，才能學習進步的同時懂得利用數學觀念認識生活中的事物，懂得有意識地觀察并處理存在的數學問題，因此教師在教學中應當利用數學問題培養學生數感，以提高提出問題和解決問題的能力。例如，學生學習正負數時，教師可以利用一張存折讓學生去發現可以看到哪些數，它們表示什么含義；通過數學故事向學生介紹古代人們用“結繩記數”等方式表示數、用算籌進行計算；估算的范圍等。只有這樣才能促使學生將數學知識、解題技能與具體的事物聯系起來。

六、利用數形結合思想轉換學生解題思維

數學問題千變萬化，類型多樣，當遇到函數問題、幾何問題、不等式問題時往往會有畏難心理，此時學生的數學思維被局限在固有的思維定式中，解題思路單一，不能將復雜的問題簡單化，使學生在解答問題時受到阻礙。數形結合思想在初中數學的教學中能運用直觀的圖形使學生理解題目中存在的數量關系，以此提升解題效率。學生利用數形結合思想對應用性問題進行分析探究時，不僅需要分析數量關系，還要探究圖形規律，在這樣的過程中，學生的邏輯思維和空間轉換思維也能得到一定程度的鍛煉。學生具備良好的數形結合思想，便可以實現“以形助數，以數輔形”的教學效果。例如，數學函數問題，教師便可以利用數形結合的思想幫助學生尋找解決問題的突破口。教師可以出示題目：已知tanα=1/2，tanβ=1/3，求證α+β=45°。這道正切函數的問題需要學生利用題目中存在的數量關系構造角α、β以此求證α+β=45°，此時教師可以引導學生先根據已知條件畫出角α、β，然后引導學生對圖形進行構造，構造出角α+β，以便能夠將抽象的數量關系轉化為形象且直觀的圖形，借助圖形的分析，學生便可以快速得到答案，不僅可以提升實際的解決問題能力，使解題效率得以提高，同時也可以使學生逐步養成數形結合思想，鍛煉學生的數學學習思維。

七、講解解題技巧提高學生解題能力

教師在教學時除了要讓學生有扎實的數學基礎，還需要為學生講解解題技巧、解題方法或歸類指導，培養學生的數學思維，以此提高學生的解題能力，加強學生的理解能力。應用性問題的解題思路整體上可以概括為讀題、理解材料、進行問題轉化、利用知識解決并應用，不過面對不同類型的應用問題，又有不同的解題技巧，所以教師要加以指導。應用性問題大都是固定的幾種類型，即方程類、函數類、不等式類、幾何類、證明類，在考試中出現的數學題也多是“換湯不換藥”，教師指導學生掌握應用性問題各種類型的解題技巧，能夠讓學生減少考試失誤，取得良好的數學成績。比如，在講解有關解答方程類的應用性問題時，教師便可以從認真讀題，歸納題型、審視問題，尋找條件、篩選條件，分析有效變量、設置正確未知數，建立方程這幾個步驟來讓學生學習解題技巧，將重點放在對題目的閱讀和分析上。另外，由于應用性問題彼此之間的關系不夠明顯，一些學生也沒有靈活的解題思路，所以教師還需要引導學生找出應用性問題之間存在的關系，以保證學生能夠養成良好的數量關系思維。例如，某工廠對明年的產品制訂了生產計劃，該計劃中具有以下信息：1.參與產品生產項目的人員不超過150人；2.每一位員工一年的工時大約為2350個小時；3.該產品預計明年的銷售量至少在6萬件以上；4.該產品每一件生產需要3個小時；5.每一件產品生產需要的材料為15公斤；6.目前該廠庫存的生產材料為700噸，但是實現今年產品生產還需要220噸，在明年可以補充960噸，要求：根據上述的資料，決定明年的產量（x）的范圍。由于這類題目中存在較多的信息，學生在理解時容易混淆，因此教師便可以指導對題干信息進行分類整理，如工時為一類、生產時間與材料為一類、產量與銷量為一類等，這樣便可以使學生邏輯清晰，根據所學的生產相關的數學知識列出明年產量的關系式，從而能得到最終的答案。

八、加強練習，建立錯題本

應用性問題的解題方式與分析思路各式各樣，而且運算時的步驟也多，學生在解題時容易因為疏忽而出現錯誤，但是不論是何種應用性問題，只要學生練習得多，對其背后考查的知識點與題目類型便能夠準確掌握，減少出錯率。當學生出現錯誤時便可以建立錯題本，將自己解決問題時出現的錯誤和正確的方法都列在錯題本中，定期進行鞏固練習，總結自己的錯誤，加深對正確解法的理解與記憶。只有學生在不斷總結歸納中認識自我、復習知識，才能有效提高自學能力，加深學生對知識的記憶程度。學習能力比較強的學生都善于做總結和歸納，這類學生的思路往往比其他同學清晰，所以學習能力比較突出和顯著，很多數學題目就是形式變了一下，其實考查的都是同一個考點，學生將相同考點的題目在錯題本中進行歸納，總結這類題目的解決辦法，從而可以提高他們的解題能力。

九、培養學生的建模意識

數學教學中的建模思想是核心素養理念中的一個重要內涵，培養學生的建模意識和建模能力能使學生更加靈活地運用數學知識，使他們產生多種解題思路去解決應用性問題。但是目前初中學生在數學學習中普遍存在的問題便是沒有較強的建模意識，學生難以理解數學在生活中存在的意義，不懂得如何利用數學知識解決問題，因此教師必須重視培養學生的建模意識，提高學生解決數學應用性問題的能力。在平時的教學中，教師要注重對各種不同的數學模型進行詳細的講解，包括直角坐標系、不等式、幾何、函數等，使學生在面對應用性題目的時候能夠有效進行建模。只有通過建模的模式去做數學的推演，通過數學的建模來直觀、精確地找到解決問題的答案，才能夠使學生在運算時產生正確的結果。比如，在教學到裁剪布料這一數學問題時，教師就可以通過建模思想引導學生分析這個問題，學生可以將紙作為布料，用紐扣或者硬幣代替圓桌臺布，用橡皮代替矩形桌臺布，然后在一張紙上進行排列演示，看能產生多少種組合排列的方式，而這就是一個建模的過程。

十、學會溝通交流把握數學語言

溝通、交流不論在生活中還是在學習中都是不可或缺的一項基本能力，加強溝通交流才可以增進學生之間的感情。在數學教學中進行溝通和交流，主要是需要學生學會運用數學語言，以此養成對數學工具的運用能力和對數學信息的把握能力。例如，教師在講解等邊三角形的相關知識時，需要學生正確了解等邊三角形的性質，此時教師可以用小組合作的方式讓學生集中討論，并用自己的話將這一知識點論述出來：三角形的三條邊若是都相等，就是等邊三角形。這樣不僅可以實現師生、生生的良好互動，使用通俗易懂且不失數學含義的語言進行交流，便可以讓學生形成良好的數學語言。

綜上所述，初中數學應用性問題的形式多樣，解題方法也各有不同，教師在教學時應著重培養學生對問題的解決能力，這不僅能使學生掌握的數學知識更加扎實，還能提高學生的邏輯思維能力，對學生綜合素養的提升也十分有利。