高中數學學業質量視角下的數學問題及其解決策略

●幸世強

數學學業質量是應該達成的數學學科核心素養的目標，是相應考試命題的依據。解決數學問題的水平是數學學業質量水平評價的重要指標。在實際命題中， 命題者會選擇合適的問題情境為載體考查學生的數學核心素養。問題情境包括現實情境、數學情境、科學情境，每種問題情境可以分為熟悉的、關聯的、綜合的；數學問題是在問題情境中提出的問題，從學生認識的角度分為簡單問題、較復雜問題、復雜問題[1]。對每一個數學核心素養的考查，都要體現情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思，這是教學和命題必須體現的。對于承載相應數學核心素養知識與技能的數學問題，可以分為了解、理解、掌握（低階思維或低認知目標）、綜合、分析、評價、創造（高階思維或高認知目標）水平層次。數學問題的設計應結合情境突出內容主線，反映數學本質的核心概念、主要結論、通性通法、數學應用和實際應用。解決數學問題要特別關注數學學習過程中思維品質的形成（基本經驗），關注學生學習數學的能力（閱讀、語言、表達）。在實際教學工作中，數學教師都知道數學是思維的體操，數學問題是訓練思維的法寶，數學問題的解決質量是評價教與學水平的標尺。但有的數學教師對數學問題及解決問題的內涵認知不足，理念有待厘清。

一、數學問題的內涵

（一）數學問題就是一個系統

一個系統的全部元素、元素的性質和元素之間的關系都是確定的，那么這個系統就是穩定的系統。如果這個系統缺少一個元素、性質或關系，那么這個系統就是問題系統，這個問題系統就是一個問題。如果這個問題系統的元素、性質和關系都是與數學有關的，那么它就是一個數學問題。數學問題有結構完善的問題和結構不良的問題， 新課程改革背景下高考數學問題中呈現出多元開放的數學情境問題，對學生綜合素養的考查要求較高。

（二）數學問題的特征是形式化

通過情境和問題，與數學知識、方法以及數學模型建立聯系，聯系的水平則表現了數學素養的水平。當實際情境問題變成數學問題后， 都抽去了具體情境的物質性，變成了純粹的形式化問題，形式化的數學問題的建立過程就是數學模型建立的過程。學生在學習時不但要解決純粹形式化的數學情境問題，還要解決一些具有現實情境和科學情境的問題，具有現實情境和科學情境的問題需要學生閱讀、提取信息、歸納信息、建立模型，這種抽象有利于數學概念和數學命題的形成， 有利于學生理解和認識數學本質。

二、數學問題的結構

數學問題由條件、運算和目標或者條件信息、運算信息和目標信息三部分構成。

（一）數學問題的條件

條件或條件信息是指問題構成數學知識的對象、關系和模型或者是問題的狀態。數學最為關心的是數學關系，數學關系是指數量關系、圖形關系、運算法則和隨機規律等條件的限制，它可以是已知條件之間的關系，可以是已知條件與未知條件的關系。問題的狀態就是問題的最初表達形式， 它是問題所涉及的范圍內，解決問題過程中某一時刻的表達形式。對問題狀態的不同理解和認知，就決定了解決問題的方法不同，得到的結果就可能不同。在很多情況下，數學問題的條件不是明確給出來的，尤其是數學關系是隱蔽的，需要學生自己去挖掘、尋找。理解知識的復雜度和深度，以及解決問題的難度和創新性等反映了數學核心素養水平。

（二）數學問題的目標

目標或目標信息就是要解決的數學對象，數學問題解決的過程就是問題的中間狀態，數學對象一旦解決，數學問題就達到了穩定狀態。數學問題通常有兩種目標狀態：在數學證明題中，目標狀態是完全給定的，解決的中間過程沒給定，需要學生嚴謹和準確的表述；在其他求解題中，目標狀態不是完全給定的，求解過程也是沒給定的，這種問題更多的是考查學生開放多元的數學思維和經驗積累。

（三）數學問題的運算信息

運算或運算信息就是邏輯運算、數學推理和數學推導的根據。在證明題中，運算或運算信息是指用于推理的法則、定義、定理、公理、數學公式和法則等算理。在問題解決過程中，運算可以改變數學問題的狀態，把數學運算運用于解題的各個狀態，就可改變問題的狀態，逐漸向目標狀態過渡。運算或運算信息是解決數學問題的基礎， 是問題由初始狀態向目標狀態轉化的理論依據。

運用數學語言和數學方法來理解數學理論，構建數學模型和解決問題。數學問題是由條件、運算、目標三部分組成，也就是構成數學問題的三要素。解決數學問題時，全面認識數學問題的組成，對最終完成數學問題的解決具有非常重要的意義。

三、數學問題解決的策略

數學問題解決是按照一定的思維對策進行的一個思維過程，漸次地靠近目標，最終達到目標。在數學問題解決的過程中，要用到觀察、分析、思辨、抽象、歸納、類比、演繹、特殊化、一般化等邏輯思維形式，又要用到直覺、頓悟等非邏輯形式來探索尋求數學問題的解決路徑。數學問題的解決過程，就是尋求解決問題的方案，是一個數學思維的策略問題，其內容是尋找對策，突出“如何思考”，基于此，思維策略是促進探索、促進發現的方法，它是達到目標的正確計劃和方向。數學問題解決的策略包含以下幾個方面：

（一）理解探索解題方法的基本要素

1.展開聯想，初步探索

我們解題時，閱讀問題情境，與數學知識、方法、數學模型建立聯系，有序聯想一些問題：見過這個問題嗎？ 見過類似的（圖形類似，條件類似，結論類似）問題嗎？ 能聯想起有關的定義、定理或公式嗎？ 已知是什么？ 未知是什么？[2]能夠用哪些數學的概念、結論、思想方法來解決問題？

2.目標導航，選擇路徑

解決數學問題要始終盯住問題目標，把握問題解決的方向。把探求過程中得到的中間狀態不斷與目標狀態加以比較，逐漸減小已知和目標的差異，及時調整自己的思考路徑。如果把注意力集中于問題目標，我們就會想方設法達到它：有什么方法能夠達到目標？達到目標的前提條件或信息是什么？能否先解決其中的某個前提條件？ 解決這個前提條件通常應該做什么？ （再看看目標，換一個方式來敘述這道題。回到定義、定理、公式、法則或者是學過的典型問題去看看，先試試解決一個特例。這個問題的一般形式是什么？你能解決問題的一部分嗎？你用了全部條件嗎？[2]）

（二）理解探索解題的主要方法

探索解決數學問題的主要方法是“變更問題”，也就是利用“等價的敘述”恰當地把問題轉化，使“已知的數學對象”和“所求的數學對象”越來越近。實現問題轉化的基本方法包括：改變問題的已知和結論；使問題特殊化；使問題一般化；找到恰當的輔助問題；把已知條件重新關聯和組合。這些方法在解決數學問題時一般都會被綜合使用到。

四、數學問題解決的思維過程

解決數學問題的思維活動是一個觀察問題、分析問題、問題識別、歸納、假設和驗證的過程。心理學研究表明， 解決數學問題首先是對問題加以識別，根據數學問題的特征進行歸類， 便于使用恰當的數學解題方法解決數學問題。在數學問題解決中，識別和歸類包括提出假設和驗證假設的過程。對那些不易識別和歸類的問題， 就要認真閱讀和分析題目的條件和結論，結合自己積累的基本數學經驗，聯系已學數學原理和已解決的不同類型的問題提出新的解題設想，然后對此設想進行驗證。如果提出的解題設想經過驗證是正確的，問題就會得以解決；否則就要重新審視問題，提出新的方案，繼續對新的方案進行驗證，直至問題解決。對數學問題的識別和歸類的基本方法就是對數學模式的辨認。學生如果能夠從所給的問題情境中辨認出符合問題目標的某個熟悉的“模式”，那就能提出相應的解決問題的方法。學生如果不能完成對數學問題的“模式”識別和歸類，可能是學生本身知識欠缺，也可能是關聯不暢通，這就需要教師去彌補，去改進教學方式。

對數學“模式”的識別和歸類，與學生積累的數學經驗和數學問題本身的復雜程度有關。就代數結構和幾何圖形的“模式”而言，是否是簡單的常態的代數結構或圖形， 是否是變化后的較復雜的代數結構或圖形， 是否是多個代數結構或圖形交錯重疊的組合的代數結構或圖形等，都會給數學“模式”識別與歸類帶來不同的影響。因此，要形成正確而迅速的數學“模式”識別和辨認能力，需要培養學生的抽象概括能力，善于從問題情境中提煉出數學信息，將有關的數學要素組織起來， 從不同的角度和各種關聯要素中去考察，實現數學“模式”的辨認。

學生從問題情境中識別數學“模式”，是一個積極主動的思維過程，需要學生積累正確的經驗和正確的方法。通常采用“順推”和“逆推”的思維探索策略，從所給的條件和所求的結論兩方面進行分析，辨認出有關的數學“模式”。對簡單或較為熟悉的數學問題宜采用“順推”策略，對復雜或不熟悉的數學問題宜采用“逆推”的策略。在實際解決數學問題的過程中，學生主要采用的是分析與綜合方法，分析與綜合總是相生相伴的。解決一個數學問題，首先是對問題的結構進行分析，看題目的條件是什么、結論是什么，然后比較條件和結論，尋找條件和結論之間的聯系和差異，尋找消除差異的方法，也就是綜合。分析是“執果索因”，綜合是“由因導果”，是“剖析”和“組合”的意思。

在數學問題解決的思維過程中，學生首先要認真閱讀數學題，理解題意，全面認識和把握問題的條件和運算推理信息，提出解題的各種設想并選擇最佳的路徑，制定解題方案，也就是通過分析和綜合，提出解題設想，制定解題計劃，揭示條件和結論之間的本質聯系，形成新的結構，孕育新的解題途徑。

一個數學問題的解決受問題情境（問題的不同類型及難度、問題陳述方式及圖式認知的難易程度）、個人特點（知識經驗基礎、個性品質、數學關鍵能力）和認知策略（能否突破常規，能否克服套路改變思考的方向，能否多角度多方位思考問題，能否準確抓住問題的要點，能否回到有關的數學概念、公式、法則去思考問題）等諸多因素的影響。教師在數學教學中要重視用思維來架構承載數學核心素養的知識和技能的學習，滲透數學思想方法，幫助學生積累良好的數學活動經驗，幫助學生克服刻板的習慣、固定的模式等解決數學問題的認知障礙，優化學生的思維品質，提高學業質量水平。