基于研究生創新思維能力培養的“非線性泛函分析”課程教學探究

吳照奇 朱傳喜

摘 ? ?要：研究生創新思維能力的訓練是研究生培養的核心。如何以研究生課程教學改革為依托，有效激發研究生的創新欲望，牢固樹立其科研創新意識，引導其發現問題，并積極探究解決方式，最終實現創新思維能力的養成和提升，是目前研究生培養中亟待解決的重要問題。文章以“非線性泛函分析”課程教學實踐為例，探討如何通過提高學生的自主探究能力，實現創新人才的培養目標。

關鍵詞：非線性泛函分析;自主探究;合作小組;創新人才

中圖分類號：G643 ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ?文章編號：1002-4107（2022）03-0004-03

《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010—2020年）》指出，要“實施‘研究生教育創新計劃。加強管理，不斷提高研究生特別是博士生培養質量”[1]。《江西省中長期教育改革和發展規劃綱要（2010—2020年）》明確要“建立健全學術型、專業型研究生教育創新體系”[2]。《江西省教育事業發展“十三五”規劃》提出，要“推動高校加強研究生課程建設，加強不同培養階段課程的整合銜接，提升研究生課程教學質量”[3]。

一、問題的提出

研究生創新思維能力的訓練是研究生培養工作的核心。如何以研究生課程教學改革為依托，激發研究生的創新欲望，培養研究生的創新意識，引導其尋找合理創新路徑，主動發現問題，并積極探究解決方式，最終實現創新思維能力的養成和提升，是目前研究生培養中亟待解決的重要問題。

應用泛函分析是南昌大學應用數學碩士點的主要研究方向之一。“非線性泛函分析”是南昌大學應用數學專業研究生的一門重要專業課，是該專業研究生開展科研工作的重要基礎。本課程現采用的主要教材與參考書目包括：馬丁·謝克特（Martin Schechter）編著的An Introduction to Nonlinear Analysis[4]、埃伯哈德·蔡德勒（Eberhard Zeidler）編著的Nonlinear Functional Analysisand its Applications I：Fixed-Point Theorems[5]、孫經先教授編著的《非線性泛函分析及其應用》[6]和郭大鈞教授編著的《非線性泛函分析》[7]等。

長期以來，南昌大學“非線性泛函分析”課程教學面臨以下突出問題。第一，學生在本科階段習慣教師講授的教學方式，尚不太適應以報告和討論為主的教學方式。第二，部分學生傾向于被動接受書本上的知識，自主思考能力薄弱，不善于挖掘現有理論產生和發展的動因與背景。第三，學生更注重對于知識的學習，對相關理論形成過程中產生的重要研究方法的領悟和運用重視度較低。

通過課程教學實踐，期望解決以上問題，并使學生逐漸適應以自主探索學習為主、教師講授和參與討論為輔的研究生課程教學方式，訓練其嚴謹清晰講解數學知識、準確到位總結歸納的能力。筆者以探究本門課程的教學改革與研究生創新思維能力培養為契機，指導學生了解和掌握相關理論的歷史背景和演化邏輯，梳理知識體系的發展脈絡，把握專業方向的發展態勢，為下一步學習作好準備。同時，將學生從以知識為主要學習對象的局限中解放出來，引導其更多地挖掘知識背后隱藏的重要研究方法，深刻領悟解決不同具體問題的研究手段和技巧。

二、課程改革的具體措施

（一）改革教學方法和模式，使學生逐漸適應報告為主的授課方式

對大多數國內高校而言，本科階段的大部分課程仍遵循傳統教學方式。與其形成反差的是，當學生進入研究生階段，尤其是涉及專業課學習時，教師的講授居次要地位，而學生的報告和與教師的討論則需更多的時間。在這一過程中，學生會產生強烈的不適應感。

如何解決這一問題呢？在課程開始時，可以考慮先以教師講授為主，對本門課程進行一個宏觀的介紹，講授3～4次課，引領學生了解基礎知識，并布置后期要完成的任務（通常是以學生輪流報告，教師參與點評和討論為主）。每輪授課中，教師講授和學生報告具體各占多大比例，應根據學生基礎、接受和領悟能力來定，不能一概而論。

教師要針對每一次課的內容，在學生報告時適時地進行提問，反復進行互動和正向反饋，達到讓學生理解相關理論精髓的目的。教師的作用絕非只是簡單評價講解的好壞，而應起到穿針引線的作用，使學生通過報告真正有所收獲。具體來說，有兩個層次：第一個層次是學生應理解和掌握自己講授的內容，教師可通過提問來檢驗，針對知識點可以連續提問，由淺入深，步步推進。最基本的要求是學生應完善教材或專著上未能詳細闡述的知識點，教師提問細節時學生可能會“掛黑板”，但只有這樣，學生才能印象深刻。對于學生既要適當鼓勵，又要適當施加壓力。第二個層次是學生能在此基礎上進行深度思考，在報告時教師應適時引導和發問，如為什么要這樣引入定義？必要性是什么？合理性在哪里？相關定理條件為何要這樣設定？可否更改？定理的妙處在哪里？只有這樣，才能最大程度地激發學生的好奇心和求知欲，在潛移默化中逐步培養其創新意識和創新精神。

在后續環節中，除教師點評外，引入“合作小組學習”模式，讓選課的研究生在課后互相交流報告經驗，在報告中采用互評的方式，讓他們相互啟發，增強團隊合作意識。引入“問題導向學習”模式，在課程報告后期，可視情況適當讓學生報告1～2篇前沿科研論文，有意識地引導學生針對某些內容提出問題，以“問題”為導向和驅動，帶著問題去補基礎、學工具、找方法、練本領，活學活用，避免學習過多的基礎知識卻不用于研究問題而做無用功。讓學生正確處理好“讀書”與“讀論文”的關系。

學生自主報告的另一個訓練重點是培養學生用簡明、清晰、準確、嚴謹的數學語言來表達數學思想的能力。這不僅需要對所報告內容有較為透徹的理解，還需要對所講的內容進行有效的設計，梳理重點、分清主次，將問題的來龍去脈講清楚。問題從何而來，研究思路是什么，方法有何特別之處和精妙之處，都是需要學生在報告時進行總結的。

在南昌大學理學院的“非線性分析與方程”科研團隊中有眾多教授和副教授為博士生導師或碩士生導師。除了單一教師授課外，也可借助團隊的師資力量，邀請團隊中其他教師共同聽取學生報告，并給予點評和指導。不同教師的具體研究方向和專長有所差異，這樣可最大程度地發揮團隊指導的優勢，讓學生博采眾長，快速成長。此外，還可通過邀請專家學者來校開設講座擴大研究生的視野，促使其盡快進入學術前沿。

（二）提高學生自主探究意識，挖掘數學理論的歷史背景與產生動因

學生在本科階段大多是以閉卷考試的單一考核形式，學生習慣了被動接受，自主思考能力和思辨能力較為薄弱。進入研究生階段后，學生要面臨一定的科研創新工作，研究生專業方向課的學習是實現這一轉換的有利契機。

華羅庚先生曾說：“讀書要由薄到厚，再由厚到薄。”由薄到厚是補足證明、完善細節的過程，由厚到薄是提煉升華、削枝強干的過程，這兩個過程是相輔相成、缺一不可的。要引導學生在徹底消化理解所有理論結果證明細節的基礎上，提煉出所學內容的本質和精髓。

要讓學生思考數學定理和相關結果產生的背景和動因，這需要教師一方面熟悉和了解相關數學理論的歷史和發展，另一方面引導學生理解相關的定義、定理是在研究什么問題時受到驅動而創立的。要引導學生追本溯源，深刻理解這些數學理論并非憑空產生，而是有實際需求的。要體會提出問題者和學科奠基人所處的大背景，才會有比較切實的體會。

“非線性泛函分析”是研究生基礎課程中最重要的一門綜合性課程，以難度大、內容多為特點。受課時限制，本課程主要講述三方面內容：（1）賦范線性空間的微分學;（2）拓撲度理論及相關不動點定理;（3）錐理論與半序方法。比如，教師在介紹拓撲度理論時，要先介紹這一理論的緣起以及早期建立時所利用的代數拓撲方法，再說明如何利用分析學的工具重建這一重要理論。同時，要讓學生知曉拓撲度理論可以導出一系列重要的不動點定理，這些不動點定理又可進一步解決大量非線性方程解的問題。再如，教師在講解錐理論與半序方法部分內容時，要讓學生明白在實際中產生的大量非線性方程都是缺乏連續性或缺乏緊性的。半序方法的好處在于，可以建立僅使用較弱的連續性或較弱的緊性條件（而這些緊性條件很多實際問題中通常是自然滿足的）的定理，以解決更廣泛的問題。

另一方面，介紹一些對泛函分析應用作出杰出貢獻的中國數學家的代表，其中重點介紹田方增和關肇直等人的生平和貢獻。田方增和關肇直都曾在法國留學，他們同是中國泛函分析的開拓者。20世紀50年代中后期，田方增等人為響應國家號召，放棄原有科研計劃，結合數學物理、國防科技數學，開展泛函分析的應用工作，并與關肇直合作共同開辟了中國原子能科學技術領域中“粒子遷移理論的數學問題”的研究，填補了中國在尖端科學技術領域中數學研究工作的一個空白，在中國成功地探索出應用泛函分析的一個重要科研領域[8]。這是理論聯系實際的范例，可以讓學生認識到“實際問題—理論—實際應用”是數學研究的一種重要范式。數學理論不是“無源之水，無本之木”。

（三）引導學生關注研究方法，使知識掌握和方法積累雙管齊下

任何一門課程的學習都涉及到知識和方法兩方面的習得。只關注知識的灌輸，不重視研究方法的滲透，無法讓學生體會前人如何在已有理論上進行創新，當然就更談不上下一步自己進行科研創新了。

“非線性泛函分析”的三個重要研究方法是拓撲度方法、半序方法和變分方法。這三個重要方法各有其優劣，是在研究不同的非線性問題時創立和發展出來的。在學習時，要體會不同方法的特色和亮點，這樣，才能在實際應用時得心應手、游刃有余。這些方法還可以互相結合，形成更強有力的工具。如半序方法與拓撲度方法相結合，稱為半序拓撲方法。利用這一方法，可得到經典的錐拉伸與壓縮不動點定理等許多重要結果。

拓撲度理論的內容體現了“化繁為簡，由簡至繁”地考慮問題的數學思想。為了建立無窮維空間中映射的拓撲度理論，可先考慮建立有限維空間中映射的度理論。要建立有限維空間中的結果，又可通過先建立n維歐氏空間Rn中相關結果來完成，而這又可以藉由先討論R2中的度理論來推廣。歷史上，Brouwer L E于1912年對有限維空間中連續映射建立了度理論，現通常稱之為Brouwer度。此后，Leray J和Schauder J在1934年利用有限維逼近的方法推廣了Brouwer度，建立了Banach空間中全連續場的拓撲度，即現在所謂的Leray-Schauder度，這是拓撲度理論的重要突破，具有里程碑式的意義。

在拓撲度理論相關定理證明過程中，還應讓學生知道在利用拓撲度理論時重點在于如何構造同倫，在構造的過程中，利用的是“逆向思維”的方法。有的定理在講解完之后，還可引導學生考慮可以從什么角度進行推廣。比如，空間是否可以推廣？映射類型是否可以推廣？算子是否可以推廣為隨機算子？在讓學生進行嘗試之后，可以告訴學生已有文獻中有哪些關于這一結果的相關推廣，并推薦一些參考文獻讓學生進一步深入閱讀。這樣，可以讓學生在學習課程的同時，進行初步的科研嘗試，作為后一階段論文撰寫的熱身。

針對傳授事實還是傳授方法這一問題，實際上，事實和方法不見得可以輕松拆分開來。側重于任何一方，都可能影響學習習慣的養成和最終的學習效果。因此，需要指出的是，不能過分強調方法和“批判性思維”，而輕視對知識的傳授[9]。事實上，方法須以知識作為載體。

三、結語

2020年7月，習近平總書記就研究生教育工作作出重要指示，強調研究生教育在培養創新人才、提高創新能力、服務經濟社會發展、推進國家治理體系和治理能力現代化方面具有重要作用。各級黨委和政府要高度重視研究生教育，推動研究生教育適應黨和國家事業發展需要，堅持“四為”方針，瞄準科技前沿和關鍵領域，深入推進學科專業調整，提升導師隊伍水平，完善人才培養體系，加快培養國家亟需的高層次人才，為堅持和發展中國特色社會主義、實現中華民族偉大復興的中國夢作出貢獻[10]。

課程學習是研究生求學期間的主要任務之一，也是日后進行科研的重要基礎。以研究生課程建設和改革為抓手，來實現研究生創新能力的培養是可行的。本文以“非線性泛函分析”課程為例，分析了如何通過改革教學方法、教學模式和教學內容，依托課程強化學生的創新思維意識和創新思維能力。在這一過程中，要適時地對研究生進行引導，鼓勵其進行自主探究。只有這樣，才能從根本上使研究生經過嚴格訓練，通過對知識的深度加工將其內化為自身的創新能力。

參考文獻：

[1]顧明遠，石中英.國家中長期教育改革和發展規劃綱要? ? （2010—2020年）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，? ? 2010：1-476.

[2]江西省人民政府辦公廳.江西省中長期教育改革和發展? ? 規劃綱要（2010—2020年）[R].南昌：江西省人民政府公報，? ? 2010.

[3]江西省人民政府辦公廳.江西省教育事業發展“十三五”? ? 規劃[R].南昌：江西省人民政府公報，2016.

[4]Schechter M.An Introduction to Nonlinear Analysis[M].? ? Cambridge：Cambridge University Press，2004：1-376.

[5]Zeidler，Eberhard.Nonlinear Functional Analysis and its? ? Applications I：Fixed-Point Theorems[M].Berlin：Springer，? ? 1985：1-897.

[6]孫經先.非線性泛函分析及其應用[M].北京：科學出版社，? ? 2008：1-284.

[7]郭大鈞.非線性泛函分析（第三版）[M].北京：高等教育出版? ? 社，2015：1-427.

[8]鄧亮.田方增留法經歷考述[J].內蒙古師范大學學報（自然? ? 科學漢文版），2019（6）.

[9][美]威廉·龐德斯通.知識大遷移：移動時代知識的真正價? ? 值[M].閭佳，譯.杭州：浙江人民出版社，2018：9-11.

[10]胡浩.習近平對研究生教育工作作出重要指示強調 適應? ? ? 黨和國家事業發展需要 培養造就大批德才兼備的高層? ? ? 次人才 李克強對研究生教育工作作出批示[EB/OL].? ? ? （2020-07-29）[2021-02-10].http：//news.china.com.cn/? ? ? 2020-07/29/content_76326487.htm.