初中幾何證明題復習題型設置初探

張秋菊

[摘 要]在初中幾何證明復習課中設置“一題多解”題型、開放性題型、變式題型，既能激發學生的復習興趣，充分調動學生的學習積極性，又能促使學生扎實掌握基礎知識，提高分析問題和解決問題的能力，進而提高初中幾何證明復習的有效性。

[關鍵詞]初中;幾何證明題;題型

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）02-0029-03

傳統的初中幾何復習課中，教師大多是先讓學生回顧梳理已學知識，然后再讓學生進行習題練習。這樣的復習課不但枯燥乏味，而且學生興趣不大，教學效率也不高。對此，教師在引導學生復習知識點的同時還應引導學生找到數學本質，總結歸納出解題的一般思路，進而逐步培養學生觀察、比較、分析、綜合和概括的能力。初中幾何證明復習課中，復習題型的設置是關鍵。下面筆者結合教學實踐，介紹三類初中幾何證明題的復習題型。

一、“一題多解”題型

在初中幾何證明復習中設置“一題多解”題型，不僅能讓學生牢固掌握和運用所學知識，還能讓學生通過分析比較多種解法，找到解題的最佳途徑和方法，培養學生的創造性思維。

[例1]如圖1，已知[AB=DC]，[AC=DB]，試說明：[∠1=∠2]。

解法一：

在[△ABC]和[△DCB]中，

[AB=DC，AC=DB，BC=CB（公共邊），]

∴[△ABC≌△DCB（SSS）]，

∴ [∠A=∠D]，

在[△AOB]和[△DOC]中，

[∠A=∠D，∠AOB=∠DOC（對頂角相等），AB=DC，]

∴ [△AOB≌△DOC（AAS）]，∴ [∠1=∠2]。

解法二：

在[△ABC]和[△DCB]中，

[AB=DC，AC=DB，BC=CB（公共邊），]

∴△[ABC≌△DCB（SSS）]，

∴[∠A=∠D]，

∵[∠1+∠A+∠AOB=180°]，[∠2+∠D+∠DOC=180°]，

又∵[∠AOB=∠DOC]（對頂角相等），∴[∠1=∠2]。

解法三：

在[△ABC]和[△DCB]中，

[AB=DC，AC=DB，BC=CB（公共邊），]

∴[△ABC≌△DCB（SSS）]，

∴[∠ABC=∠DCB]，[∠DBC=∠ACB]，

∴[∠ABC-∠DBC =∠DCB -∠ACB]，

即[∠1=∠2]。

解法四：

連接[AD]，

在[△ABD]和[△DCA]中，

[AB=DC，DB=AC，AD=DA（公共邊），]

∴[△ABD≌△DCA（SSS）]，∴[∠1=∠2]。

此例可在復習三角形全等時設置。從學生獨立完成到教師展示評價，多種解法應運而生，而從這些解法中，學生牢固掌握了三角形全等的判定和性質。通過比較分析，顯然解法四是最簡單的。

[例2]如圖2，在平行四邊形[ABCD]中，[BE=DF]，求證：四邊形[AECF]是平行四邊形。

解法一：∵四邊形[ABCD]是平行四邊形，

∴ [AB∥CD]， [AB=CD]，

又∵[ BE=DF]，∴[AB-BE=CD-DF]，

即[AE=CF]，又[AE∥CF]，

∴四邊形[AECF]是平行四邊形。

解法二：∵四邊形[ABCD]是平行四邊形，

∴[AB=CD]，[BC=AD]，[∠B=∠D]，

又∵[BE=DF]，∴[AB-BE=CD-DF]，

即[AE=CF]，

在[△BCE]和[△DAF]中，

[BE=DF，∠B=∠D，BC=AD，]

∴[△BCE≌△DAF（SAS）]，∴[CE=AF]，

∴四邊形[AECF]是平行四邊形。

解法三：∵四邊形[ABCD]是平行四邊形，

∴[AB∥CD]， [BC=AD]，[∠B=∠D]，

在[△BCE]和[△DAF]中，

[BE=DF，∠B=∠D，BC=AD，]

∴[△BCE≌△DAF（SAS）]，∴[∠BEC=∠DFA]，

∵[AB∥CD]，∴[∠BEC=∠ECF]，

∴[∠DFA=∠ECF]，∴[CE∥AF]，

又∵[AE∥CF]，∴四邊形[AECF]是平行四邊形。

解法四：∵四邊形[ABCD]是平行四邊形，

∴[BC=AD]，[∠BAD=∠DCB]，

在[△BCE]和[△DAF]中，

[BE=DF，∠B=∠D，BC=AD，]

∴[△BCE≌△DAF（SAS）]，

∴[∠BEC=∠DFA]，[∠BCE=∠DAF]，

∴[180°-∠BEC =180°-∠DFA]，[∠BAD-∠DAF=∠DCB -∠BCE]，

∴[∠AEC=∠AFC]，[∠EAF=∠ECF]，

∴四邊形[AECF]是平行四邊形。

此例可在復習平行四邊形的判定時設置。關于平行四邊形的證明通常有5種判定方法：①兩組對邊分別平行;②兩組對邊分別相等;③一組對邊平行且相等;④兩條對角線互相平分;⑤兩組對角分別相等。此例用了4種判定來證明，這大大提高了復習的效率。通過解法優化比較，發現解法一是最簡便的。

二、開放性題型

開放性題型可為每個學生提供更多交流與合作的機會，學生通過積極主動的思考和交流，培養了發散性思維，提高了數學學科核心素養。開放性題型在初中幾何證明中的優勢尤為突出。

[例3]如圖3，要使[△EDB≌△EAC]，[△AOB≌△DOC]，需添加的兩個條件是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，并說明理由。

分析：因為圖中隱含公共角和對頂角，所以不管添加的條件是先使[△EDB]與[△EAC]全等，還是先使[△AOB]與[△DOC]全等，都是添一角一邊或是兩邊。不過要注意在添兩邊時必須是夾公共角或對頂角的兩邊。

此題一出，學生就進行了激烈的討論，通過討論發現此題可添的條件不下10種。例如：①[AE=DE]，[BE=CE];②[AE=DE]，[∠B=∠C];③ [AC=BD]，[∠B=∠C];④[AE=DE]，[∠EAC=∠EDB];⑤ [BE=CE]，[∠B=∠C];⑥[OA=OD]，[OB=OC];⑦[OA=OD]，[∠B=∠C];⑧[OB=OC]，[∠B=∠C];⑨[OB=OC]，[∠BAC=∠CDB];⑩[AB=CD]，[∠B=∠C];等等。這樣，學生根據自己的體驗，用自己的思維方式，自主去探索，去發現有關的數學知識，既調動了學生的學習積極性和主動性，又使學生對判定定理印象深刻，大大提高了復習效率。

三、變式題型

在初中幾何證明復習課中設置變式題型，可以引導學生多方面、多角度、多途徑地思考問題，讓學生多合作探討、多交流爭論，從而有效培養學生的創造性思維。

[例4]如圖4，已知[OA=OD]，[AC=BD]。試說明：[∠B=∠C]。

分析：由已知[OA=OD]，[AC=BD]，根據等式的基本性質得到[OB=OC]。因為[∠AOB]與[∠DOC]是對頂角，所以[∠AOB]與[∠DOC]相等，可得[△AOB≌△DOC]。再由全等三角形的對應角相等得[∠B=∠C]。

解：∵[OA=OD]，[AC=BD]，

∴[BD-OD=AC-OA]，

即[OB=OC]，

在[△AOB]和[△DOC]中，

[OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，]

∴[△AOB≌△DOC（SAS）]，

∴[∠B=∠C]。

變式1：如圖5，已知[AC=BD]，[OA=OD]，試說明[∠ABC=∠DCB]。

解：∵[OA=OD]，[AC=BD]，

∴[BD-OD=AC-OA]，

即[OB=OC]，

∴[∠DBC=∠ACB]，

在[△ABC]和[△DCB]中，

[AC=BD，∠ACB=∠DBC，BC=CB，]

∴[△ABC≌△DCB（SAS）]，

∴[∠ABC=∠DCB]。

變式2：如圖6，[BE=CE]，[AB=DC]，請你在圖中找出所有全等三角形，并說明理由。

解：[△EDB≌△EAC]，

[△AOB≌△DOC]。

理由：∵[BE=CE]，[AB=DC]，∴[BE-AB=CE-DC]，

即[EA=ED]，

在[△EDB]和[△EAC]中，

[BE=CE，∠E=∠E，ED=EA，]

∴[△EDB≌△EAC（SAS）]，∴[∠B=∠C]，

在[△AOB]和[△DOC]中，

[∠B=∠C，∠AOB=∠DOC，AB=DC，]

∴[△AOB≌△DOC（AAS）]。

變式3：如圖7，[EO]平分[∠BEC]，[CA⊥BE]于點[A]，[BD⊥CE] 于點[D]。求證：[OB=OC]。

解：∵[EO]平分[∠BEC]，[CA⊥BE]，[BD⊥CE]，

∴[OA=OD]，

∵[CA⊥BE]，[BD⊥CE]，

∴[∠OAB=∠ODC=90°]，

在[△AOB]和[△DOC]中，[∠OAB=∠ODC]，

[∠AOB=∠DOC]，[OA=OD]，

∴[△AOB≌△DOC（ASA）]，∴[OB=OC]。

此例可在專題復習判定三角形全等時設置。此例從原題到變式是由全等基本圖形通過添邊或角來變化的，學生可以直觀感知圖形之間的關系，并且對常考的重點模型進行詳細分析，加深對全等基本模型的理解，掌握全等三角形的證明方法，培養幾何直觀能力、推理能力、思維能力和概括歸納能力。

[例5]如圖8，在平行四邊形[ABCD]中，對角線[AC]與[BD]相交于點[O]，點[E]，[F]分別是[OA]和[OC]的中點。求證：四邊形[BFDE]是平行四邊形。

解：∵四邊形[ABCD]是平行四邊形，

∴[OA=OC]，[OB=OD]，

∵點[E]，[F]分別是[OA]和[OC]的中點，

∴[OE=12OA]，[OF=12OC]，即[OE=OF]，

∴四邊形[BFDE]是平行四邊形。

變式題：如圖9，點[E]，[F]是平行四邊形[ABCD]對角線[AC]上的兩個點，且[AE=CF]。求證：四邊形[BFDE]是平行四邊形。

解：連接[BD]，交[AC]于點[O]，

∵四邊形[ABCD]是平行四邊形，

∴[OA=OC]，[OB=OD]，

又∵[AE=CF]，∴[OA-AE=OC-CF]，即[OE=OF]，

∴四邊形[BFDE]是平行四邊形。

變式題與原題相比，部分條件變而需要求證的內容沒變，通過這樣的變式可幫助學生將所學的知識舉一反三、融會貫通。

總之，在幾何證明復習課中設置上述題型，既能夠激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性和主動性，促使學生更加扎實地掌握基礎知識，提高學生分析問題和解決問題的能力，同時又給學生創造了更多的展示機會，提高了初中幾何證明復習的有效性。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

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[5]? 陳朝旭.初中數學常見開放題的類型與策略[J].考試周刊，2010（29）：83-84.

（責任編輯 黃春香）

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