運用磁懸浮小球改進PID 控制特性教學方法

陳琳琳，任元，王麗芬，劉政良

（航天工程大學 宇航科學與技術系，北京 101416）

PID 控制特性是學生學習自動控制原理課程必須掌握的一個基本控制規律，也是控制類專業學生必須掌握的知識.傳統PID 控制特性的教學方法通過概念講解加上理論推導為主[1-4]，學生對PID 控制特性的理解較為膚淺，不能和實際工程應用結合起來，無法徹底掌握PID 控制特性在控制系統中的作用.

在磁懸浮小球控制系統“穩”“快”“準”控制的需求牽引下，本文首先建立磁懸浮小球的重力控制系統數學模型；然后，基于時域分析和頻域分析等手段，分析PID 控制器的參數變化對磁懸浮小球重力控制系統性能的影響，實現對磁懸浮小球的重力控制.該教學模式能夠引導學生以工程需求為牽引，引導學生伴問題而思考，化抽象為具體，調動學生對學習理論知識的興趣，提升學生從物理問題-數學問題-科學問題-工程實踐的分析問題和解決問題的能力.

1 磁懸浮小球控制原理

磁懸浮小球處于線圈繞組產生的磁場中，磁懸浮小球控制系統主要由鐵芯、線圈、位置傳感器、放大器、數字控制器和控制對象小球組成[5].當電磁鐵上的線圈繞組通電時，小球靠近某個線圈時，會受到線圈產生磁力的吸引力；同時磁懸浮小球也會受到重力的影響，通過設計PID 控制器，將磁懸浮小球穩定在中心位置，且不出現振蕩.

在磁懸浮小球系統中，調節電流，使小球的位置z始終保持在平衡位置.忽略小球受到的其它干擾力，小球在系統中只受電磁吸力和自身重力.小球在豎直方向的動力學方程描述為

式中：m為磁懸浮小球的質量，單位：kg；g為重力加速度，單位：m/s2；z為磁極到小球的氣隙，單位：m；i為電磁鐵繞組中的瞬時電流，單位：A；F（i,z）為電磁吸力，單位：N.經過拉普拉斯變換，根據式（1）推導出電磁鐵線圈的傳遞函數G0（s）為

如果式（2）中的ki=1,m=1,kh=0.02，則電磁鐵線圈的數學模型簡化為

式中：Ks為氣隙與電壓的關系系數，單位：V/mm；Ka為功率放大器的增益.

2 P 控制

比例控制器的傳遞函數為[8-9]

式中：KP為比例系數；e（t）為誤差信號（輸入信號）；uP（t）為輸出信號.根據式（1）～（4），推導出磁懸浮小球重力方向控制系統的閉環傳遞函數Φ（s）為

根據式（6），從磁懸浮小球重力方向控制系統閉環特征根得出結論：當KP＞0.02時磁懸浮小球處于臨界穩定狀態；KP＜0.02時磁懸浮小球位置是發散的，即磁懸浮小球處于不穩定狀態.式（6）可以進一步化簡為

式中：ωn為振蕩頻率.根據式（7），當系統的輸入為單位階躍函數時，二階系統的單位階躍響應（c t） 為

當式（8）中KP分別取50 和0.1 時，系統穩態響應（c t）分別為

根據式（9）～（10），系統穩態響應的Matlab[10]仿真曲線見圖1，當KP=0.1時，磁懸浮小球位置處于穩定狀態，隨著KP增大，磁懸浮小球振蕩頻率增大，但其振蕩幅值減小；當KP=50時，磁懸浮小球處于振蕩狀態，同時系統超調也增加.

圖1 KP 分別取50 和0.1 時系統單位階躍響應曲線

3 PD 控制

為了解決P 控制下的磁懸浮小球系統的超調和振蕩，需要加入微分控制.PD 控制的微分方程為[8-9]

式中：KD為微分系數；uPD（t）為輸出信號.在磁懸浮小球控制系統的比例控制基礎上增加微分控制，保持比例系數KP=0.3不變的情況，微分系數分別取KD=8，KD=50，系統穩態響應的仿真曲線見圖2.

圖2 KD 參數不同時系統單位階躍響應曲線

從圖2 中可以看出，微分參數增大，微分作用越強，輸出響應的超調減小，調節時間縮短，但是上升時間和峰值時間增加，即系統的動態響應速度變慢.如果從頻域方面分析，系統的截止頻率增加和穩態裕度均增加，而穩定裕度增加，超調量、調節時間減小，與時域分析結果一致.

磁懸浮小球的位置穩態誤差為

在PD 控制下，系統誤差與比例控制器的系數有關，且系統穩態誤差無法消除.

4 PID 控制

為了解決PD 控制下系統穩態誤差無法消除的問題，需要引入積分控制.PID 控制的微分函數為[8-9]

式中：KI為積分系數；uPID（t）為輸出信號.磁懸浮小球控制系統在PD 控制基礎上引入積分控制后，小球位置的穩態誤差為

引入積分環節后，可以完全消除系統穩態誤差，使小球穩定在平衡位置.在比例系數KP和微分系數KD不變的情況下，積分系數分別取KI=0.01，KI=2時，仿真曲線見圖3.當KI太小時，穩態誤差消除比較慢，隨著KI增大，積分作用加強，穩態誤差消除加快；但當KI太大時，系統的超調量增大，振蕩加劇，穩定性下降.

圖3 KI 參數不同時系統單位階躍響應曲線

5 結語

本文基于磁懸浮小球控制系統“穩”“快”“準”控制的需求，首次將磁懸浮小球重力控制問題貫穿于PID 控制特性的課堂教學中，將物理問題轉化為數學問題，分析PID 控制器的參數變化對系統性能的影響，實現對磁懸浮小球的重力控制.該教學模式能夠引導學生以工程需求為牽引，化抽象為具體，調動學生學習積極性，開拓學生的創新性思維，提升學生利用PID 特性分析用于工程實踐解決具體問題的能力.