課程思政融入線性代數課程教學的實踐

張四保

（喀什大學 數學與統計學院，新疆 喀什 844006）

線性代數作為代數學的一個分支，是高等學校非數學專業理工科、經管類等各專業一門必修的專業基礎理論課.它主要研究有限維線性空間與線性變換等相關的基本理論，以矩陣為基礎，以行列式和矩陣的運算為工具，以向量組的線性相關性和線性方程組的理論為核心，著重解決了方陣可對角化和化二次型為標準型的理論與方法問題.通過本課程的開設，使學生掌握線性代數的基本概念、基本理論與基本方法，以培養學生的抽象思維能力、邏輯推理與判斷能力、空間想象能力和數學語言及符號的表達能力，提高學生綜合運用所學的基本概念、基本理論、基本方法分析問題和解決問題的能力，并逐步培養學生科學創新、嚴謹求實的作風.

課程思政，即將思想政治教育元素，包括思想政治教育的理論知識、價值理念以及精神追求等融入到各門課程中去，潛移默化地對學生的思想意識、行為舉止產生影響[1].

2020 年5 月教育部發布的《高等學校課程思政建設指導綱要》明確指出，要把思想政治教育貫穿人才培養體系，全面推進高校課程思政建設，發揮好每門課程的育人作用，提高高校人才培養質量.在2021年2 月初教育部高等教育司印發的《教育部高等教育司2021 年工作要點》中，將全面加強高校課程思政建設列為2021 年工作要點，并明確要求要緊緊抓住教師隊伍“主力軍”、課程建設“主戰場”、課堂教學“主渠道”，健全完善所有高校、所有教師、所有課程育人網絡，使各類課程與思政課程同向同行，構建全員、全程、全方位育人大格局.如何高效地把思政元素貫穿于各個學科的課堂教學中，是一項創新與開創性的工作，也是在高校課堂中實施課程思政的困難所在[2].

全面推行課程思政建設是新時代高校思想政治工作的重要舉措[3].在課程思政教育理念下，如何在課程教學中融入課程思政教育是一個值得教育工作者必須思考并在實踐教學中嚴格落實的問題.本文就如何發掘線性代數課程的思政元素提出一些想法，以期對相關教育工作者有所啟發與幫助.

1 基于特定的數字意義發掘思政元素

在課程課堂教育教學過程中，教師可以從一些特定的數字出發，巧妙地引入“民族團結”、“校史、校風”等思政元素，幫助青年大學生樹立全國各民族大團結、愛校護校等思想意識[4].

校史是高等院校校園文化建設的一項十分重要的內容，具有重要的育人作用.從學校發展進程中一些具有特定歷史意義的時間年份數字出發，深入挖掘課程思政內容.以喀什大學為例，在學習分塊矩陣時，任課教師可構建類似的矩陣，在給學生講解矩陣分塊的同時，利用數字進行課程思政教育.按照行分塊，矩陣A可分成6 個子塊，每個子塊都可構成一個四位數的數字，從而由這6 個數字引入校史、民族團結、校風等思政元素.

喀什大學辦學始于1962 年，校名為喀什師范?？茖W校，是當時新疆維吾爾自治區5 所高等院校中唯一的高等師范院校，在新疆特別是南疆社會穩定、基礎教育和經濟社會發展等方面發揮了十分重要的作用.學校在1978 年升為本科院校，更名為喀什師范學院.在1994 年和2009 年兩次被國務院授予“全國民族團結進步模范集體”光榮稱號.學校在2015 年更名為喀什大學，2016 年被列為全國100 所轉型發展試點高校之一.充分發揮課堂教學的引領作用，通過這些有關學校發展各階段重要事件等思政元素的引入，培養學生作為喀什大學學子的自豪感與榮譽感，同時強化青年大學生民族團結意識，在日常的學習、生活中時刻踐行民族團結，自覺地轉化為他們的情感認同和行為習慣.

2 基于HPM 視角發掘思政元素

數學史對增強數學文化的滲透，弘揚優秀傳統文化，感悟數學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和人文素養等都有著十分重要的現實意義和深遠的歷史意義[5].HPM 是研究數學史與數學教育關系的國際教育組織[6]，它始于1972 年召開的第二屆國際數學教育大會上成立的International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，簡稱之為HPM.HPM 其功能在于通過數學史尋找數學教育的規律和經驗，把數學知識的歷史形態加工整理成教師和學生能夠方便使用的教育形態，使數學史為生動活潑的數學教學服務.數學史是人類在數學研究與探索道路上奮進的歷史，不僅包含著許多令人鼓舞、令人奮進、引人自豪的史料，也包含著許多重要的數學思想及方法[7].

2.1 基于知識點的相關史料發掘思政元素

在講解線性方程組時，向學生介紹我國在方程組方面的巨大成就，如2020 年4 月被列入《教育部基礎教育課程教材發展中心中小學生閱讀指導目錄（2020 年版）》初中段的《九章算術》《孫子算經》《數書九章》《方程論》（清代數學家梅文鼎著）等所涉及到方程組的內容，使學生感受我國勞動人民的偉大成就與智慧，以增強其民族自豪感與自信心，堅定文化自信，正如清代數學家梅文鼎向堪稱數學大全的《數度衍》的作者方中通所說“方子精西學，愚病西儒排西算，著《方程論》，謂雖利氏無以難”，其大概意思是：我國古代在線性方程組的研究成果是西方數學界難以比擬的，我們完全沒有必要在歐美學者面前妄自菲薄.

在線性方程組的研究方面，我國較歐洲至少早了1 500 多年.在大約成書于公元一世紀的我國古代數學巨著《九章算術》第八章方程組中，記載這樣的問題：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗.問上、中、下禾實一秉各幾何”[8-9]，對這一問題，在《九章算術》中給出了算籌圖.

對于該問題，如果用現在的數學語言來表示就是三元一次線性方程組，式中：x，y，z分別表示上禾、中禾、下禾各一秉的實的數量；而所給出的算籌圖就是現行教材中的增廣矩陣.在《九章算術》采用分離系數的方法來表示線性方程組，這就相當于現行教材中的矩陣；解線性方程組所采用的是直除法，這與現行教材中的矩陣初等變換的原理一致.這是世界上對一次線性方程組的解法最早、最完整的刻畫，而在西方，直到17 世紀德國數學家萊布尼茲才提出完整的求解線性方程組的法則.作為一部世界數學名著，《九章算術》早在隋唐時期即已傳入朝鮮、日本，它已被譯成日、俄、德、法等多種文字版本.

2.2 基于數學家的研究成果及歷程發掘思政元素

在數學漫長的發展演變進程中，數學家所創造積累的光輝成就以及他們孜孜不倦地追求真理所表現的種種感人事跡和精神品質[10]，不僅展示了數學家開拓創新、追求真理的科學精神，也展現了數學家忠誠愛國、獻身事業的高尚情懷[11]，這為大學生的精神文化塑造提供了良好的思政素材.

線性代數是一門高度抽象的數學課程.在學習的過程中，對某些具有一定計算量且繁瑣的內容，如高階行列式的計算、行數與列數較高時矩陣的乘法、多個未知數多個方程的線性方程組的求解、利用正交變換化二次型為標準形（或規范形）以及求一正交矩陣P，使P-1AP=Λ（A是一實對稱方陣）為對角陣等，學生往往會產生畏難情緒，在一定程度上對課程學習失去興趣與信心.在教學過程適時地引入我國老一輩數學家的軼事，使學生學習我國老一輩在逆境中潛心學習、忘我鉆研的精神，提高學習數學的興趣，以幫助學生逐步端正學習態度.

1742 年，德國數學家哥德巴赫提出數學界的著名猜想：任一大于2 的偶數都可寫成2個素數之和，簡稱1+1.我國數學家陳景潤院士在高中階段，遇到了令他終生難忘的沈元老師.沈元見陳景潤能夠快速地解答“韓信點兵”問題，就鼓勵他去摘取皇冠上的明珠——哥德巴赫猜想.為此陳景潤立誓：長大無論成敗如何，都要不惜一切地去努力.為了使自己夢想成真，陳景潤不管是酷暑還是嚴冬，在那不足6 m2的斗室里，廢寢忘食，潛心鉆研，光是計算、推理用的演算紙就足足裝了幾麻袋.終于在1973 年《中國科學》期刊上發表了“1+2”詳細證明，引起世界巨大轟動，這一結果被公認是對哥德巴赫猜想研究的重大貢獻，是篩法理論的光輝頂點，國際數學界將這一重要成果稱為“陳氏定理”，至今仍在哥德巴赫猜想研究中保持世界領先水平.陳景潤的事跡在1978 年以后被廣為傳頌，對尊重知識、尊重人才風氣的形成起到了重要作用，也讓一大批青年學子深受鼓舞，堅定了科學報國的決心.2018 年12 月18 日，在慶祝改革開放40 周年大會上，陳景潤被黨中央、國務院授予改革先鋒稱號，頒授改革先鋒獎章，并獲評為激勵青年勇攀科學高峰的典范[12].

3 基于自然科學方法論發掘思政元素

自然科學方法論是培養學生科學素質的有效指導理論.在教育教學過程中，自然科學方法論在指導學生學習科學知識以及培養學生科學精神等方面都有著積極的指導作用.在課堂教學過程中，教師應緊密結合課程知識點，運用科學方法論深入挖掘課程內容的思政元素，積極培養學生的科學素養.

案例n階行列式的定義.

先介紹二階行列式和三階行列式的構造.

二階行列式的構造為

由式（1）可以看出，二階行列式的結構特點為：（1）二階行列式為2=2!項的代數和，每一項都是2個位于不同行不同列的元素的乘積，若把每一項2 個元素的行標按自然排列，除不考慮符號外每一項都可以寫成a1p1a2p2的形式，其中列標排列p1p2是1 與2 這2個數的一個排列，這樣的排列共2 項.（2）由于每一項的行標排列都是自然排列，每一項所帶的符號與行標排列無關，現只需考慮列標排列.項a11a22列標排列12 的逆序數為0，是一個偶排列，項a11a22帶“+”號；項a12a21列標排列21 的逆序數為1，是一個奇排列，項a12a21帶“-”號.

三階行列式的的構造為

由式（2）可以看出，三階行列式的結構特點為：（1）三階行列式為6=3!項的代數和，每一項都是3個位于不同行不同列的元素的乘積，若把每一項3 個元素的行標按自然排列，除不考慮符號外每一項都可以寫成a1p1a2p2a3p3的形式，其中列標排列p1p2p3是1，2，3 這3個數的一個排列，這樣的排列共6=3!項.（2）由于每一項的行列排列都是自然排列，每一項所帶的符號與行標排列無關，現只需考慮列標排列.項a11a22a33，a12a23a31，a13a21a32的列標排列分別為123，231，312，它們的逆序數分別是0，2，2，都是偶排列，則項a11a22a33，a12a23a31，a13a21a32帶“+”號；項a11a23a32，a12a21a33，a13a22a31的列標排列分別為132，213，321，它們的逆序數分別是1，1，3，都是奇排列，則項a11a23a32，a12a21a33，a13a22a31帶“-”號.

通過對二階行列式、三階行列式構造的分析，總結類推給出n階行列式的定義.

n階行列式等于所有位于不同行不同列的n個元素乘積的代數和，每一項都可以寫成(-1 )τa1p1a2p2…anpn的形式，即

式中：列標排列p1p2…pn是1，2，…,n這n個數的一個排列，共有n!項；τ是列標排列p1p2…pn的逆序數.

對于以上的教學內容，在教學的過程中，教師可以提出2個問題讓學生思考，以提高學生分析問題與解決問題的能力，培養其科學探索精神.

問題1在n階行列式的定義（3）中，在考慮每一項所帶的符號是“+”還是“-”時，是將每一項元素的行標按自然排列來進行考慮的.如果將每一項元素的列標按自然排列，那么項所帶的符號該如何確定.試對二階行列式和三階行列式進行考慮，類推給出每一項元素的列標按自然排列時n階行列式的定義或者表達式.

問題2在n階行列式的定義（3）中，在考慮每一項所帶的符號是“+”還是“-”時，是將每一項的元素行標按自然排列來考慮，同樣也可以根據問題1 先將每一項的元素列標按自然排列來考慮.如果每一項元素的行標排列與列標排列都不是自然排列，那么項所帶的符號該如何確定.試對二階行列式和三階行列式進行考慮，類推給出每一項元素的行標排列與列標排列都不是自然排列時n階行列式的定義或者表達式.

通過案例的教學安排，用自然科學方法論有意識地培養學生充分利用循序漸進的方式與方法認識問題、分析問題的能力，幫助學生牢固樹立起從點滴做起，積跬步以致千里的理念[13]，用科學嚴謹的方法分析問題和解決問題，提升自身的科學素養.

4 結語

線性代數課程的開設班級為理學、工學、管理、經濟學等學科一年級本科生[14].而剛入校的學生相對來說年齡較小、思想活躍，易于接受與理解新思想，因而在線性代數課堂上講好課程思政具有很重要的意義，對學生的世界觀、人生觀、價值觀等的培養具有重要作用.本文針對線性代數課程中融入課程思政問題，從特定的數字意義、HPM 視角、自然科學方法論這3 個方面，闡述發掘課程思政元素相關做法.教學實踐表明，這些措施有助于將傳授知識技能與培育理想信念相結合，構建全課程育人格局，達到了立德樹人的育人目標.