狹義相對論時空效應的教學研究

李慧生，姚林紅，高燕琴，薛銳

（中北大學 理學院，山西 太原 030051）

狹義相對論的時空特性是大學物理中的重點內容.由于日常生活所能接觸到的都是遠低于光速的運動物體，所以初學者對于狹義相對論所揭示的時空特性往往既感到神奇又不甚理解.因此，關于狹義相對論特性的教學研究也一直備受關注[1-6].在解決相關問題時也常常忽略時間延緩和長度收縮這2 個公式背后的應用條件，而得到錯誤的結論.這里構造典型例題，對之求解和分析有助于學生掌握應用時間延緩和長度收縮公式解決相關問題需要注意的條件，同時也可以讓學生理解洛倫茲時空變換規律是狹義相對論時間延緩和長度收縮等時空效應的根源.

1 例題分析與求解

例1一靜止長度為l0的火箭以恒定的速度u相對于地面向右運動（見圖1），從火箭頭部發出一光信號，問在地面上觀測光信號從火箭頭部到達尾部所需要的時間.

圖1 例1 配圖

解法1欲求地面上觀察事件需要的時間先求火箭上觀察需要的時間，根據光速不變，把火箭設為s′，地面設為s系，在火箭上測得的時間為，再根據時間延緩公式[7]38地面上測得的時間為

解法2根據長度收縮公式[7]39，地面上的人測得的火箭長度為，再根據光速不變地面上的人測得的光信號從船頭到船尾的速度為c，在光信號飛向船尾的同時飛船也在飛行，地面上測得飛船飛行的速度為u，這是一個相遇問題（后面對此有詳細的解釋），因此地面上的觀察者測得的時間為

方法1 和方法2 分別利用時間延緩和長度收縮公式計算，但是卻得到了不同的結果.這說明其中至少有一種方法是不正確的.對這個問題稍加分析，在火箭上測得的光信號從頭部到達尾部的時間，和火箭參考系下的火箭長度l0都是沒有問題的.在教學中發現有很多學生認為式（2）是錯誤的，這些學生認為式（2）中由洛倫茲長度縮效應可得地面上的觀察者測得的飛船長度為，但是除以的速度c+u明顯大于光速，由于光速不變原理，物體的速度不可能大于光速，所以認為式（2）是錯的.那么到底哪個是正確的呢？

其實欲求地面上測得的時間Δt，完全可以利用洛倫茲變換式來求，分別用表示在飛船參考系觀測到光信號從船頭發出和到達船尾2件事的時間和地點，用（x1，t1），（x2，t2）表示在地面參考系觀測到光信號從船頭發出和到達船尾2件事的時間和地點.利用洛倫茲變換公式有

式（3）（4）相減得

對比式（1）（2）（6）的結果可以發現，式（2）的結果與式（6）的結果相同.由于利用洛倫茲變換解決問題具有普適性，因此式（2）利用長度收縮的計算是正確的，而式（1）利用時間延緩計算是錯誤的.

2 結果分析

假設Δt時間后光信號到達船尾（見圖2），由于在tΔ 時間內光和飛船相向運動，在地面看來飛船船速為u，光信號速度為c，這是一個相遇問題，因此式（2）分母中自然要出現光速加船速c+u，這與光速不變并不矛盾.

圖2 光與飛船船尾相遇示意圖

3 結論

同樣的分析由洛倫茲變換式可以得到

由于對于相對觀察者運動的物體只有在Δt′=0時，測得的長度才是物體長度，也就是說運動物體長度Δx′的測量，必須確保在Δt′=0的情況下進行.而相應的定義相對靜止的情況下測得的長度為固有長度，即式（7）中的Δx為固有長度l0，式（7）就轉化為長度收縮公式

4 結語

通過一個典型問題的多種求解和分析，指出時間延緩公式和長度收縮公式都是洛倫茲時空變換式在特定情況下的結論.相對于洛倫茲變換式的普適性，時間延緩公式和長度收縮公式在使用時有一定的條件，抓住固有時、固有長度是利用它們解決問題的關鍵.同時，指出固有時的嚴格表述是同一地點發生的2 件事的時間間隔.另一種表述：相對靜止的時鐘測得的時間只是一種近似表示，在某些極端情況下并不成立.