低起點，小步子，多活動

陳拾英

[摘 ?要] 數學課程標準將數學建模作為核心素養的要求之一，數學建模思想使學生能夠運用數學知識獨立解決生活實際問題，體現了學生綜合能力的提高. 教學中要通過創設平臺，引導學生獨立思考，主動探究，逐漸滲透數學建模思想，不斷提升他們的數學核心素養.

[關鍵詞] 數學建模;核心素養;思維能力

數學建模是學生學習數學知識需要掌握的一項重要能力，是提升數學素養的重要內容. 培養學生的數學建模思想需要在教學中創設有利于學生積極思考和參與活動的環境，引導學生通過自主學習、合作探究，建構知識體系，通過觀察、操作、分析和思考解決問題，學會運用數學眼光去打量世界和解決問題，從中體會數學之精髓. 作為課堂有效教學的重要載體，我們仍然能發現在一些沒有注重培養數學建模思想的課堂，教師習慣“一言堂”，不敢也不愿放手讓學生去思考和實踐，學生難以體會知識的發生過程，不能體會和理解數學思想，這不利于學生提升數學學科核心素養. 筆者以“圓周角定理”的教學為例，探討如何培養學生的數學建模思想.

背景問題

如圖1所示，圓Ο中有兩個圓周角∠ACB和∠ADB，請分別測量這兩個圓周角的度數，并比較它們之間的大小，再將點C的位置在圓周上進行移動，這時圓周角的度數發生了什么變化？你能發現其中的規律嗎？測量出所對的圓心角∠AOB的度數后，你又有什么發現呢？

設計意圖 ?圓周角定理的教學中，要培養學生的數學建模思想，首先通過學生的動手實踐直觀感受其中的變化，然后對實驗進行分析和研究，最后通過猜想其中存在的規律，培養學生動手實踐、觀察分析和猜測推理的能力.

建立模型

1. 模型猜想

通過對例題的分析，引導學生猜想出模型：相同的弧所對的圓周角的度數是相等的，這條弧所對的圓心角的度數是圓周角的兩倍.

2. 驗證猜想

問題1：“相同的弧所對的圓周角的度數相等”和“相同的弧所對的圓心角的度數是圓周角的兩倍”這兩個問題，你選擇先證明哪一個？請說明理由.

（學生經過討論，爭論不休，各執己見.）

生1：我選擇先證明“相同的弧所對的圓周角的度數相等”，因為這里只要證明相等關系. 我覺得比證明兩倍的數量關系更容易.

生2：這個理由太牽強了，應該先證明“相同的弧所對的圓心角的度數是圓周角的兩倍”，因為點C在圓周上的位置會發生變化，并得到多個圓周角，但是無論怎樣變化，只有一個圓心角，容易證明. 如果“相同的弧所對的圓心角的度數是圓周角的兩倍”，那么自然可以得到“相同的弧所對的圓周角的度數相等”的結論.

師：誰的理由更具有說服力？

（大家紛紛同意生2的說法更加準確有理. ）

設計意圖 ?通過問題1的設置首先讓學生能用辨析思維去進行判斷，在比較分析的過程中學生不僅解決了主要矛盾，理解了題意，而且發展了思維的批判性.

問題2：從圓心與圓周角的位置關系角度出發，由點C在圓周上位置的變化可以得到多個圓周角，那么可以分成幾種情況呢？

生3：可以是圓心在圓周角的一邊上.

生4：我覺得圓心可以在圓周角的里面.

生5：圓心也可以在圓周角的外面.

師：還有其他情況嗎？……是的，一共有三種情況.

設計意圖 ?通過問題2的設置引導學生經過觀察思考、分析歸納得出圓心與圓周角的幾種位置關系，培養學生在遇到復雜問題時采用分類歸納的思想，通過設置不同層次的問題來破解疑難.

問題3：這三種情況，你選擇先證明哪一種？說一說你的理由.

（學生有些無從下手，討論了一會兒，陷入了沉默. ）

師：看來同學們有些困難，沒關系. 當這種可能情況很多但又無從證明時，一般來說，我們會先突破最特殊的一種情況. 請同學們看一看這三種情況中，哪一種情況最特殊？

生4：應該是“圓心在圓周角的一邊上”是最特殊的，因為這時圓的直徑是AC.

師：很好，所以我們先由這個特殊的位置開始證明.

設計意圖 ?問題3的設置意在向學生滲透推理思想，從特殊到一般，這是在驗證數學結論中經常用到的一種方法. 通過問題導向，學生在思考的過程中體會到由特殊到一般的推理思想的廣泛用途，增強了學生的推理能力.

問題4：如圖2所示，當圓心在圓周角的一條邊AC上，怎樣證明∠ACB的度數是∠AOB的一半時？

學生思考討論，展示解題思路.

生5：我是這樣想的，證明∠ACB的度數是∠AOB的一半，其實反過來也就是證明∠AOB的度數是∠ACB的2倍，這樣好像更容易.

師：非常好，不管接下來的思路怎么樣，但是生5給了我們一個很好的示范，也就是采用轉化思想，換一個角度使問題“柳暗花明”了.

設計意圖 ?問題4的設置作用在于滲透轉化思想，幾何問題中常常需要通過轉化類比和等量轉換實現問題的突破，因此轉化思想的滲透顯得尤為重要.

問題5：如圖3所示，當圓心O在圓周角∠ACB的里面時，可以證明∠ACB的度數是∠AOB的一半嗎？

生6：老師，通過問題4的解決，我覺得問題5就比較容易了. 因為圓心在圓周角的一條邊上時，可以證明“相同的弧所對的圓心角的度數是圓周角度數的兩倍”，那么我們就可以過圓周角的頂點C作一條直徑CD，通過轉化思想，把圓心O在圓周角里面的情況轉化為圓心在圓周角的一條邊上來進行證明.

師：是的，看來你已經把剛才的轉化思想活學活用了，很厲害.

問題6：如圖4所示，當圓心O在圓周角∠ACB的外面時，如何證明∠ACB的度數是∠AOB的一半？

生7：這道題和問題5一樣，同樣進行轉化，過圓周角的頂點C作一條直徑CD，把圓心在圓周角外部的情況也轉化為圓心在圓周角的一邊上進行證明，非常簡單.

師：是的，情況類似，我們就不再贅述了.

設計意圖 ?在本例中，教師通過問題串的形式引領學生進行了猜想驗證，設置同類問題不同情況的目的是向學生逐漸滲透數學的轉化和化歸思想. 學生在一次次打磨和討論中，逐漸體會到猜想、驗證的方法和類比、轉化的思想，提升了論證能力和解題能力.

3. 建立模型

（1）通過剛才的驗證，師生共同已經分析了圓心與圓周角的三種位置關系：圓心在圓周的一邊上，圓心分別在圓周角的內部和外部. 在這三種情況下，相同的弧所對的圓心角的度數都是圓周角度數的兩倍，因此相同的弧所對的圓周角相等.

（2）在此基礎上，再次提出問題，在同樣的圓或者相等的圓中，假若兩條弧相等，那么它們所對的圓心角有什么樣的關系呢？同樣，在同樣的圓或者相等的圓中，假若兩條弧相等，那么它們所對的圓周角有什么樣的關系呢？

（3）由此可以證明圓周角定理：同樣的圓或者相等的圓中，同樣的弧或相等的弧所對的圓心角是圓周角的兩倍.

模型應用

例題1 ?一個半圓所對的圓周角是多少度？說一說你的理由.

例題2 ?假若圓周角是直角，它所對的弦一定是直徑嗎？說一說你的理由.

例題3 ?如圖5，圓O上有A，B，C三點，若∠BAC是60°，則∠BOC是多少度？如果∠AOB是直角，那么∠ACB是多少度？

例題4 ?如圖6，在圓O中，弦AB和CD相交于點E，∠BAC是40°，∠AED是75°，那么∠ABD是多少度？

例題5 ?如圖7，點A，B，C，D在圓O內，∠ADC和∠BDC都是60°，請判斷△ABC的形狀，并說明你的理由.

模型應用的前面兩道題主要考查圓周角定理的推論應用. 后面三道題是在數學建模的基礎上，學生能根據已知條件應用轉化與化歸思想，進一步構建“相同的弧所對的圓周角和圓心角度數的關系”模型.

本課教學設計中，利用數學建模思想探究圓周角定理的過程采用了從低到高、層層遞進的策略. 教師通過豐富的活動引導學生在思考、猜想和驗證中交流數學學習的經驗，提升他們運用知識的能力，促使他們掌握數學方法，體會數學思想. 在教學中，教師要堅持從學生的角度出發，以學生的發展為起點，在學生的自主活動中，不斷發展創新思維，構建數學建模思想，提升他們的實踐能力和數學學科核心素養.

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