借助信息技術，突出概念生成

曹茂宏　從品

[摘? 要] 對數函數是高中要學習的第二個重要的基本初等函數，教與學的主要內容是引導學生學習這一新的基本初等函數，并類比指數函數的學習經驗，鞏固研究函數的一般方法.信息技術教學輔助具有高效、直觀等優點，本節課在對數函數的教學設計中借助GGB的優勢，突出對數函數概念的生成，提升學生對數學概念的理解，幫助學生發展數學學科核心素養.

[關鍵詞] 對數函數;GGB;類比

《普通高中數學課程標準（2017年版，2020年修訂》在教學建議中明確提到：“重視信息技術運用，實現信息技術與數學課程的深度融合.”[1]信息技術的廣泛應用正在對數學教育產生深刻影響.GeoGebra（下文簡稱“GGB”）是一款“長于展示教與學對象的動態的數學軟件”，其可以更直觀地展示數學教學內容，更有效地傳遞數學教學信息，從而提升學生的想象力，積累學生在探究過程中的活動經驗，進而輔助實現數學教學目標，解決教與學的重難點.

函數是高中數學的重要內容，高中函數要求學生會用集合與對應的數學語言刻畫函數，對于新入學的高一學生而言，很難在短時間內接受并理解函數知識（尤其是對數函數），學生缺乏一定的經驗基礎和函數知識的高度抽象是其主要原因，同時也造成了教師教學困難.筆者在對數函數的教學實踐中，重視信息技術的教學輔助，嘗試引入GGB，形象直觀地展示函數圖像和幾何圖形運動變化的過程，在提升學生對對數函數的理解上頗有成效，期望為信息技術與函數教學的整合起到拋磚引玉的作用.

教學內容解析

文章引用的教材是《普通高中課程標準實驗教科書·數學（必修1）》（蘇教2020年版），教學內容為“6.3 對數函數”. 對數函數是高中繼研究指數函數后要研究的第二個基本初等函數.學習基本初等函數，一方面可以加深對函數概念的理解，強化研究函數的一般方法;另一方面，基本初等函數是常見且重要的函數模型，是學習其他函數的基礎，與生活實踐、科學研究也有著密切的聯系. 在學習對數函數之前學生已經學習了函數概念、函數的單調性和奇偶性等性質，嘗試探究了指數函數的圖像和性質，了解了研究函數性質的一般方法，理解了對數概念以及對數運算，這些都構成了學生的認知基礎. 教學中，一方面利用研究指數函數所獲得的經驗，引導學生按照研究函數的一般方法來類比研究對數函數，進一步強化研究函數的一般方法;另一方面，加強與指數函數的聯系，在知識的聯系中學習新知識，幫助他們形成知識結構、發展數學思維、提高認知能力.

對數函數概念的建立、圖像的繪畫以及基本性質的了解，屬于較抽象的概念性知識，有較大的理解難度. 而GGB能夠準確生動地將對數與指數的抽象聯系以直觀形象的方式呈現在學生面前，可以激發學生的學習興趣，幫助學生更深刻地理解學習內容. GGB的動態變化，能使學生產生良好的圖感，促進學生通過直觀感受更深刻地理解概念形成的動態過程.

學情分析

（1）知識儲備：①較扎實地掌握了函數概念、函數的單調性和奇偶性等性質;②理解了指數函數的概念、圖像及性質;③學習過對數概念、對數運算.

（2）能力與方法儲備：經歷過指數函數的研究，了解研究函數的一般方法與步驟，且有一定的直觀想象能力和數學抽象能力，能夠遷移到對數函數的研究上.學習過指數、對數的關系，會利用二者的聯系類比研究對數函數.

教學目標設置

目標1：①通過具體的實例了解對數函數概念;②能用描點法畫出具體的對數函數的圖像，通過觀察圖像歸納對數函數的性質.

目標2：在對數函數概念構建和對數函數性質歸納的過程中，提高學生的數學觀察能力和數學表達能力，發展學生的數學抽象、直觀想象以及邏輯推理等核心素養.

目標3：通過類比體會數學各個內容之間的聯系，嘗試從已有知識出發探索新知識，感受探索并獲得新知識的成就.

教學重點和難點

（1）教學重點：建立對數函數概念，畫出對數函數的圖像，探究對數函數的性質.

（2）教學難點：利用對數函數與指數函數的關系，類比指數函數的研究方法，研究對數函數的性質.

教學問題診斷

數學問題的設置和情境引入中，旨在讓學生根據指數函數的學習流程來研究對數函數，即“列表—描點—畫圖”，強調研究函數的一般方法.但是學生可能會直接利用指數函數的圖像關于直線y=x的對稱圖像來研究對數函數. 教師需要反復詢問研究指數函數的方法，從而類比研究對數函數，最后需要引導學生體會研究函數的一般方法.

教學媒體設計

本節課的媒體設計：為了形象生動地闡述概念，教師使用的是GGB軟件;為了提高課堂教學效率，及時方便展示學生繪圖，教師使用的是希沃授課助手軟件.

教學過程設計

1. 創設情境，類比遷移

引例1：某細胞分裂過程中，1個細胞分裂成2個，2個細胞分裂成4個，4個細胞分裂成8個……則細胞的個數y與分裂次數x的函數關系為y=2x（x∈N*）.

引例2：一種放射性物質，經過的時間x（年）與物質殘留量的關系為y=0.84x（x∈N*）.

問題1：上面情境是我們學習指數函數時的例子. 反之，引例1中如果已知細胞個數y，如何確定分裂的次數x呢？引例2中如果給定物質殘留量y，如何求時間x（年）？即如何用y表示x呢？

問題2：這兩個引例中，x是關于y的函數嗎？

預先設定：“知y求x”屬于逆問題，學生可以利用已經學過的對數的概念和運算從算式角度表示x，但從函數定義角度判斷“x是否是關于y的函數”有一定的難度.

設計意圖：借用學習指數函數原有且熟悉的情境，可以將學生迅速帶入新知課堂. 從具體到抽象，借助于具體的案例（算式）讓學生進一步體會指數、對數之間的內在聯系，“知y求x”與之前“知x求y”產生了認知沖突. 二者既有關聯又有沖突，可以激發學生學習對數函數的好奇心與興趣.

高一學生缺乏一定的經驗基礎和抽象概括能力，若讓學生直接從函數的代數定義上辨析問題，會存在一定的難度，故而筆者嘗試借助于GGB軟件，從形的角度展示并辨析函數的對應關系，再回到嚴格的代數定義上，期望能幫助學生從數、形兩個角度理解對數函數概念，兼顧直觀與嚴謹.

2.動態演示，生成概念

問題3：一般地，若y=ax（a>0，且a≠1），那么能用y表示x嗎？能否說x是關于y的函數呢？

預先設定：問題3較抽象，學生從指數與對數的關系及函數定義的角度來辨析該問題有較大難度，所以嘗試引導學生借助于指數函數的圖像來分析問題.

通過GGB軟件作出指數函數y=ax（a>0，且a≠1）的圖像，在y軸正半軸上任取一點D，過點D作y軸的垂線，與指數函數y=ax（a>0，且a≠1）的圖像相交于點P，過點P作垂線交x軸于點C（如圖1所示）. 由作圖過程可以看到，對y軸正半軸上的任意一點D（任意的y），在x軸上都有唯一的點C（唯一的x）與之對應，符合函數的代數定義. 此步引導學生自主發現，嘗試從形上點的對應過渡到數上點的對應，加深對函數概念的理解，生成對數函數概念.

設計意圖：傳統教學一般從代數的角度直接闡述“對任意的y，都有唯一的x與之對應”，較抽象、晦澀，造成學生理解困難.而站在已有的指數函數的基礎上，借助于GGB軟件進行圖像展示，使得學生能更直觀地理解函數的對應關系，幫助學生從數、形兩個角度理解函數的定義. 更重要的是，利用GGB軟件中圖形的動態演示功能，可以讓學生認識到，當a變化時，圖像上點的對應關系依然滿足函數的定義，推動學生認知從感性走向理性，從表面、模糊的認識走向事物本質聯系的理解，從特殊的認識走向一般的歸納.

設計意圖：傳統教學中，通常通過繪畫的幾幅靜態圖像感受底數的變化對對數函數圖像的影響，有較大的難度，且很難體會變化的趨勢. 借助于GGB軟件的動態圖像優勢，特別是跟蹤功能，能讓學生直觀地感受到對數函數的底數是如何影響對數函數圖像的，加深對對數函數的圖像和性質的理解. 以GGB軟件為平臺創設靈動的數學活動情境，為學生理解數學構建條件，由數據可視化啟發學生數學思考，促進學生走向數學深處和思維高處.

4. 鞏固與運用

例：試比較下列各題中兩個值的大小.

（1）log23.4與log28.5;

（2）log0.31.8與log0.32.7;

（3）loga5與loga6.

5. 回顧總結，體會感悟

（1）這節課我們主要學習了哪些知識？

（2）學習和研究新函數的內容和一般方法是什么？

教學反思

1. 數學教學必須重視概念教學

數學教學必須重視提出概念的必要性和概念發生、發展的過程，要讓學生參與其中，嘗試探索并發現概念，概括概念的定義，讓學生體會概念的生成過程，有利于深化學生對概念的理解.利用問題“若y=ax（a>0，且a≠1），那么能用y表示x嗎？能否說x是關于y的函數呢？”讓學生借助于指數函數理解對數函數，這是指數函數概念的應用過程. 既然x=logay（a>0，a≠1）滿足x是關于y的函數，那么新的函數y=logax（a>0，a≠1）就生成了. 由舊知到新知，應從簡單到綜合地組織內容，更應循序漸進地滲透和引入概念[2].

2. 設計恰當的數學情境、問題和活動利于數學教學

筆者充分挖掘教材，結合以往學生學習對數函數的困難，直接利用學習指數函數的情境，設計恰當、準確的問題，讓學生結合GGB軟件參與數學活動，從而達到學習對數函數的目的. 數學課堂的教學情境是教師為了使學生更好地理解抽象的數學知識、發展數學思維能力借助于教學內容的背景材料及知識本身的可塑性而創設. 它對調動學生的求知欲望，引發探究動機，促進知識的保持和遷移都有好的作用[3].

3. GGB軟件的可視化、動態優勢有利于數學概念教學

對數函數的教學過程是比較適合使用信息技術的，因為對數函數y=logax（a>0，a≠1）的圖像會隨著a的變化而變化，如果僅僅依靠學生畫圖、憑借若干特殊例子，不利于歸納出一般的結論，所以此時如果加入信息技術，可以幫助學生清晰明了地看到對數函數不同的圖像. 教學過程中筆者使用的是GGB軟件，其強大的動畫功能可以加深學生對對數函數圖像的認識和理解. GGB軟件借助于概念的直觀背景，對抽象概念進行可視化表征，用豐富的樣例使概念獲得“原型”支持，形成概念的“模式直觀”，從而加深數學概念的深刻理解[4].

4. 技術融合是開展深度教學的必然選擇

深度教學首先體現的是知識內容的呈現要觸及數學的本質，同時注重知識之間橫向或縱向的聯系;深度教學其次要激發學生的數學學習熱情，讓學生從數學學習過程中獲得樸素而廣泛、深厚而靈動的數學思想，其中有4個環節，包括聯系的觀點，問題引領，交流和互動，努力幫助學生學會學習[5]. 這樣的深度教學很難被傳統的“一支筆一塊黑板一張嘴”的教學手段承載，于是運用現代化技術手段，把現代化技術作為學生學習和解決數學問題的強有力的工具便成了數學深度教學的必然選擇.

5. 數、形靈活結合，兼顧直觀與準確，兼顧技術與思考

華羅庚曾對數形結合有過精辟的論述：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.”數抽象而形式化，形具體而形象化，數與形對應的思維是分析思維與視覺化思維，這兩種思維在數學中都是必需的. 在教學中，筆者注重信息技術的使用，讓直觀的形幫助學生理解數學，但不能讓圖形代替學生數學思考，更多還是要讓學生回歸形式化的數. 在發達的信息時代，更不能讓信息技術完全取代學生的思維，比如學生的繪圖能力不可偏廢，必要時需要學生自己去繪圖.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版，2020年修訂）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]? 章建躍，陶維林. 注重學生思維參與和感悟的函數概念教學[J]. 數學通報，2009，48（06）：19-24+30.

[3]? 溫建紅，涂榮豹. 對數學教學中有效運用信息技術的思考[J]. 數學教育學報，2008，17（01）：91-94.

[4]? 張志勇. 高中數學可視化教學：原則、途徑與策略——基于GeoGebra平臺[J]. 數學通報，2018，57（07）：21-24+28.

[5]? 鄭毓信. “數學深度教學”的理論與實踐[J]. 數學教育學報，2019，28（05）：24-32.

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