在天平推理中深化小學(xué)生數(shù)學(xué)化水平

文|王張妮

浙教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》教材主編張?zhí)煨⒗蠋熝邪l(fā)了“天平中的推理”系列題目，目前正由團隊做成微課——《張?zhí)煨⑿W(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練題析》（簡稱“一題一課”），力圖把深刻的教育思想演化為踏實、有效的思維訓(xùn)練。在制作微課的過程中，我們深入體驗和思考，有許多心得和體會。下面以一個天平推理問題為例，詳細分析小學(xué)生在解決這個問題的過程中，數(shù)學(xué)化水平逐漸深化的過程，以期給廣大教師帶去更多代數(shù)教學(xué)的啟發(fā)。

原題如圖1 所示：呈現(xiàn)了三架天平，第一架天平中，2 輛玩具車的質(zhì)量等于1 只玩具熊貓的質(zhì)量；第二架天平中，2 堆積木的質(zhì)量等于1 只玩具熊貓的質(zhì)量；第三架天平中，1 堆小球和1 堆積木的質(zhì)量之和等于1 只玩具熊貓的質(zhì)量。要求：1 輛玩具車的質(zhì)量等于幾塊積木的質(zhì)量，1 塊積木的質(zhì)量等于幾個小球的質(zhì)量，1 只玩具熊貓的質(zhì)量等于幾個小球的質(zhì)量。

圖1 原題選自《跟張爺爺學(xué)數(shù)學(xué)2A》

制作成微課時，我們參照弗賴登塔爾數(shù)學(xué)化層次的幾個定義，同時根據(jù)題型自身的特征，做了一些優(yōu)化和延伸。具體可分析為：

第一層次，情境層次。這一層次的活動主要是從背景信息中找出有關(guān)條件，思考怎樣解決問題。針對本題，我們首先更為關(guān)注的是學(xué)生對天平中各個元素之間關(guān)系的理解和表達，不管是單架天平中“元素與元素”之間的關(guān)系，還是多架天平中“天平與天平”之間的關(guān)系，都需要學(xué)生經(jīng)過觀察、分析和處理。這雖然是一個非常直觀的層次，我們?nèi)匀唤o予學(xué)生充裕的時間去尋找天平中的線索，梳理圖像信息，并引導(dǎo)他們用自己的言語盡可能準(zhǔn)確地表達出來，外化他們的思維。確認(rèn)學(xué)生能夠關(guān)注到每兩架天平之間可以替換，或者說傳遞相等。

第二層次，指涉層次，指利用具體的數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)式子去代表特定的數(shù)學(xué)對象，且必須指涉問題所衍生的情境。簡言之，就是用數(shù)學(xué)的模型或語言去表達情境。需要強調(diào)，這里的數(shù)學(xué)化層次更多指用數(shù)學(xué)語言去描摹所看到的情境，即對數(shù)學(xué)符號的理解和表達，與上一層次原始情境的解讀是不一樣的。本題，我們在做微課的時候會一點點將日常語言演化為數(shù)學(xué)式子的表達，等式與情境結(jié)合，在情境中推演，用數(shù)學(xué)等式記錄，在學(xué)生心中建立兩者的聯(lián)系，使得數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用越來越自然、嫻熟。

圖2 用數(shù)學(xué)語言描述天平的平衡狀態(tài)

第三層次，普遍層次，指使用具有普遍意義的數(shù)學(xué)模型去分析蘊含的關(guān)系。這時模型的建立不再依賴背景環(huán)境，而是單純地從數(shù)量關(guān)系中討論數(shù)學(xué)關(guān)系。對本題，學(xué)生不需要時時回到天平情境，而可以直接對符號進行運算。低段學(xué)生經(jīng)過前兩個層次后，逐漸過渡到第三個層次，是我們尤為期待的。當(dāng)然，前兩個過程是漫長的，允許出錯和適當(dāng)?shù)雇恕Ｖ挥星皟蓚€層次逐漸牢固，第三個層次甚至過渡到第四個層次才更有深度和更為順利。天平推理的最終歸宿是代數(shù)思維的建立和推理能力的增強。學(xué)生最終將不需要依賴天平圖像，僅通過等式就能觀察出結(jié)構(gòu)，分析出關(guān)系，作出更廣泛和靈活的推理。

圖3 進行一般化的數(shù)學(xué)推理

第四個層次，形式層次，這個層次允許學(xué)生進行思維、反思及欣賞活動。這是因為數(shù)學(xué)對象已經(jīng)在數(shù)學(xué)范疇內(nèi)用規(guī)范化的步驟和符號進行表述和操作的緣故。天平推理系列題目的教學(xué)目標(biāo)不在于總結(jié)出一個公式、一套算法，但處在形式層次的學(xué)生可以時時返回到任何一個環(huán)節(jié)進行思維方法的反思、欣賞和創(chuàng)造。學(xué)生在推理過程中不再對符號、等式這樣抽象的內(nèi)容感到心理壓力。相反的，在任何一個環(huán)節(jié)中，所有形式化的內(nèi)容和情境本身一樣清晰明朗，甚至更加簡練和概括，帶來思維的自信和樂趣。

有的學(xué)生在進行天平的兩兩比較后發(fā)現(xiàn)還有另一種方法：三架天平比較。并且在后續(xù)的計算中，也會不斷地從已知等式中抽取想要的結(jié)果，而不是按部就班全部重新算一遍。更具體來說：例如，綜合三幅圖像，建立2 輛小車的質(zhì)量=2 堆積木的質(zhì)量=1 堆小球和1 堆積木的質(zhì)量和后，可以立刻從連等式中知道1 堆積木的質(zhì)量=1 堆小球的質(zhì)量，從而優(yōu)化連等式為：2 輛小車的質(zhì)量=2 堆積木的質(zhì)量=2 堆小球的質(zhì)量；最后對整個等式進行折半處理，得到1 輛小車的質(zhì)量=1 堆積木的質(zhì)量=1 堆小球的質(zhì)量，牢牢地把握“量變，關(guān)系不變”。

圖4 在形式化的基礎(chǔ)上進行評價、反思活動

總之，任務(wù)的運用是為了更好地達成學(xué)習(xí)目標(biāo)。天平是很好的發(fā)展代數(shù)思維的工具，天平推理時可有效訓(xùn)練小學(xué)生的數(shù)學(xué)化水平。像這樣利用好每一道題，并在系列題目中有所側(cè)重，反復(fù)推進，對學(xué)生思維的發(fā)展多有裨益。