“理”向抽象讓概念自然生長(zhǎng)

文|羅鳴亮

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，又是數(shù)學(xué)思維的基本形式，而抽象則是形成概念的必要手段。《分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)（一）》是北師大版五年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)的意義》單元的第一課時(shí)。在三年級(jí)下冊(cè)中，學(xué)生就以直觀模型為主，結(jié)合情境和直觀操作，經(jīng)歷了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過程，初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)的意義。本課是在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的，旨在從“整體”、“分?jǐn)?shù)的意義”和“分?jǐn)?shù)表示數(shù)大小的相對(duì)性”三個(gè)方面進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解分?jǐn)?shù)，豐富對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。

下學(xué)校聽課時(shí)，一位教師執(zhí)教本課給筆者留下了深刻印象。教學(xué)緊扣本質(zhì)內(nèi)涵，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)借助“直觀”“想象”與“思辨”三種數(shù)學(xué)語言，詮釋分?jǐn)?shù)意義這一形式的、抽象的概念背后隱含的深刻道理，使無形的抽象思維看得見、道得明、理得清。從而催發(fā)學(xué)生的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性，讓概念學(xué)習(xí)自然生長(zhǎng)。

一、直觀——化隱為顯，讓抽象思維“看”得見

對(duì)于學(xué)生而言，要將“多個(gè)物體”看成整體“1”是很難理解的，與自然數(shù)“1”的確定性相比較，這和學(xué)生原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)是相互矛盾的，但構(gòu)建抽象、靈活的整體“1”是學(xué)生構(gòu)建分?jǐn)?shù)概念過程的主線。所以不管是從分?jǐn)?shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，還是從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)思考，對(duì)分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)都需要再認(rèn)識(shí)整體“1”。要使抽象的整體“1”更容易理解，就要善用、巧用幾何直觀，活化整體“1”的道理，使學(xué)生的抽象思維在“直觀”的數(shù)學(xué)語言中化隱為顯。

圖1

直觀不是教學(xué)的最終目的和認(rèn)識(shí)的最終階段，而是發(fā)展學(xué)生抽象思維能力強(qiáng)而有力的策略。學(xué)生的創(chuàng)作直觀生動(dòng)，折射出的道理卻意味深長(zhǎng)。由此，借形象的“直觀”語言使“抽象”的知識(shí)淺顯化，從而詮釋整體“1”的深刻道理，領(lǐng)悟“直觀”語言獨(dú)有的“化隱為顯”的魅力。

二、想象——化無為有，讓抽象思維“道”得明

想象是思維的一種特殊形式，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種特殊語言。對(duì)于概念學(xué)習(xí)來說，無論是其理性，還是其抽象，都需要與之相適應(yīng)的想象，使概念的本質(zhì)道理摸得著、道得明，從而再現(xiàn)和揭示概念的本源，領(lǐng)悟概念的內(nèi)涵。

圖2

數(shù)學(xué)概念具有較強(qiáng)的抽象性，需要從數(shù)學(xué)的理性、抽象、厚重出發(fā)，引發(fā)學(xué)生的空間想象，將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，主動(dòng)創(chuàng)造，化無為有，使抽象的概念變得生動(dòng)、具體、簡(jiǎn)單，促使學(xué)生依托“想象”的數(shù)學(xué)語言，在分析說理中提高抽象思維能力。

三、思辨——化虛為實(shí)，讓抽象思維“理”得清

在本課教學(xué)中，分?jǐn)?shù)的意義是基于部分與整體的關(guān)系建構(gòu)起來的。整體“1”既可以表示把單個(gè)圖形看作一個(gè)整體，也可以表示由多個(gè)圖形、多組圖形所組成的一個(gè)整體，那么與整體“1”相對(duì)應(yīng)的量是動(dòng)態(tài)的，具有相對(duì)性。這與自然數(shù)“1”表示數(shù)的多少的確定性有著很大的區(qū)別。針對(duì)抽象的相對(duì)性，教學(xué)從兒童的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，返回?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的具象處、形象處進(jìn)行探究，化虛為實(shí)，物化抽象的數(shù)學(xué)概念，使分?jǐn)?shù)意義在思辨中進(jìn)一步深化，體會(huì)知識(shí)應(yīng)有的生命活力。

教學(xué)基于分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)和平均分的認(rèn)知基礎(chǔ)，展開“拿出正方形總數(shù)的”的活動(dòng)，學(xué)生通過思考、操作，每次都能準(zhǔn)確拿出正方形總數(shù)的個(gè)數(shù)，依次拿出8 個(gè)、4 個(gè)、2 個(gè)……但深入分析，不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維此時(shí)只停留在運(yùn)算的層面。為進(jìn)一步深入分?jǐn)?shù)意義的內(nèi)涵，提出問題：“同樣是拿出整體的，拿出的部分量為什么都不一樣？”學(xué)生結(jié)合具體情境，借助前面部分推知整體的經(jīng)驗(yàn)，展開辨析說理：“每次拿出的部分量不一樣，是因?yàn)檎叫蔚恼w量不同?！薄耙粯幽贸稣w量的，正方形總數(shù)一直在變，拿出的部分量也就跟著變?！薄劳小八急妗闭Z言，學(xué)生的思維漸趨清晰，道理逐步明朗。認(rèn)識(shí)到整體與部分的關(guān)系保持不變，同一個(gè)分?jǐn)?shù)，整體量不同，所對(duì)應(yīng)的部分量也就不同。繼而思考：“既然拿出的都不一樣，為什么都能用表示？”引發(fā)學(xué)生的思維層層深入，用思辨的眼光分析問題，以已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，回歸到知識(shí)的源頭處異中求同，理清“只要把正方形的總數(shù)平均分成2 份，拿出的1 份都是正方形總數(shù)的”的道理。從“是什么”走向“為什么”，從感性的淺層走向理性的深層，實(shí)現(xiàn)具象與抽象的相互轉(zhuǎn)化。再次深入其本質(zhì)特征，從相對(duì)量的角度理解分?jǐn)?shù)意義中的部分與整體的關(guān)系，感悟不管整體“1”的數(shù)量是多少，只要我們把它平均分成兩份，這樣的一份都能用來表示。從而進(jìn)一步加深認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)意義的內(nèi)涵，引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力向縱深發(fā)展。

數(shù)學(xué)概念是理性的、抽象的、形式化的，教學(xué)要引領(lǐng)學(xué)生透過形式化的概念呈現(xiàn)，依托直觀、想象、思辨三種數(shù)學(xué)語言，一次次化隱為顯、化無為有、化虛為實(shí)。從而邁過抽象概括過程中的一道道“坎”，深入理性的本質(zhì)，于直觀中“看”見整體“1”的道理，于想象中“道”明分?jǐn)?shù)意義的本質(zhì)，于思辨中“理”清分?jǐn)?shù)意義的內(nèi)涵，使抽象的概念看得見、道得明、理得清。引領(lǐng)學(xué)生在“理”中無縫鏈接具象與抽象，促使學(xué)生全面經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展過程，由此及彼，由表及里，深刻把握概念的內(nèi)涵和本質(zhì)特征，使概念學(xué)習(xí)得以自然生長(zhǎng)，抽象思維逐漸走向深入。