凸四邊形的若干翻折問題

賴霖 徐新植 黃悅軍

摘 要：凸四邊形翻折前后邊與角之間有怎樣的內(nèi)在聯(lián)系，文章以例題形式進(jìn)行探討.

關(guān)鍵詞：凸四形;翻折問題;邊角關(guān)系

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）05-0044-02

收稿日期：2021-11-15

作者簡介：賴霖，男，在校學(xué)生.

徐新植，男，在校學(xué)生.

黃悅軍，男，碩士，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

將一個凸四邊形進(jìn)行翻折，翻折前后四邊形邊長形成的夾角與所翻折的內(nèi)角之間有何關(guān)系，筆者在老師的指導(dǎo)下進(jìn)行了有關(guān)研究，并得到如下結(jié)論.

結(jié)論1 如圖1所示，將四邊形ABCD沿著直線EF翻折，點A的對應(yīng)點為A′，且點A′在∠A的內(nèi)部，那么有2∠A=∠DEA′+∠BFA′.

證 由圖1可知，∠DEA′=180°-2∠A′EF，∠BFA′=180°-2∠A′FE，因此∠A′EF=90°-12∠DEA′，∠A′FE=90°-12∠BFA′.

又因為∠A′EF+∠A′FE+∠A′=180°，

從而90°-12∠DEA′+90°-12∠BFA′+∠A′=180°，

故2∠A′=∠DEA′+∠BFA′，又因為∠A′=∠A，

所以2∠A=∠DEA′+∠BFA′.

結(jié)論2 若將四邊形ABCD沿著直線EF翻折，點A的對應(yīng)點為A′，且點A′落在∠A的外部，那么有2A=BFA′-DEA′.

證 ①由圖2可知，∠DEA′=180°-2∠DEF，∠BFA′=180°-2∠A′FE，因此∠DEF=90°-

12∠DEA′，∠A′FE=90°-12∠BFA′.

又因為∠A′EF+∠A′FE+∠A′=180°，

即∠DEA′+∠DEF+∠A′FE+∠A′=180°，

故∠DEA′+90°-12∠DEA′+=90°-12∠BFA′+∠A′=180°.

所以2∠A′=∠DEA′-∠BA′F，又因為∠A′=∠A，

所以2∠A=∠DEA′-∠BFA′.

②點A′落在∠A的外部且如圖3所示，由圖2情況，同理可得

2∠A=∠BFA′-∠DEA.

從而有2A=BFA′-DEA′.

若翻折凸四邊形的兩個角，我們有以下結(jié)論.

結(jié)論3 如圖4，若將四邊形ABCD沿著直線EF翻折，點A的對應(yīng)點為A′，點B的對應(yīng)點為B′，DA與CB的延長線相交與點O，且點A′和點B′均落在∠O的內(nèi)部，那么2（∠A+∠B）-（∠A′ED+∠B′FC）=360°.

證 如圖4所示，∠A′ED=180°-2∠A′EF，∠B′FC=180°-2∠B′FE，從而有∠A′EF=90°-12∠A′ED，∠B′FE=90°-12∠B′FC.

又因為∠A′EF+∠B′FE+∠A′+∠B′=360°，

故90°-12∠A′ED+90°-12∠B′FC+∠A′+∠B′=360°，

即2（∠A′+∠B′）-（∠A′ED+∠B′FC）=360°.

又因為∠A′=∠A， ∠B′=∠B，

從而有2（∠A+∠B）-（∠A′ED+∠B′FC）=360°.

結(jié)論4 如圖5，若將四邊形ABCD沿著直線EF翻折，點A的對應(yīng)點為A′，點B的對應(yīng)點為B′，DA與CB的延長線相交與點O，點A′落在∠O的外部，點B′落在∠O的內(nèi)部，那么2（∠A+∠B）+（∠A′ED-∠B′FC）=360°.

證 如圖5所示，∠A′ED=180°-2∠DEF，∠B′FC=180°-2∠B′FE，從而有∠DEF=90°-12∠A′ED，∠B′FE=90°-12∠B′FC.

又因為∠A′EF+∠B′FE+∠A′+∠B′=360°，

即∠A′ED+∠DEF+∠B′FE+∠A′+∠B′=360°，

故∠A′ED+90°-12∠A′ED+90°-12∠B′FC+∠A′+∠B′=360°，

即2（∠A′+∠B′）+（∠A′ED-∠B′FC）=360°.

又因為∠A′=∠A， ∠B′=∠B，

從而有2（∠A+∠B）+（∠A′ED-∠B′FC）=360°.

類似結(jié)論4的證明 ，我們可得結(jié)論5.

結(jié)論5 如圖6，若將四邊形ABCD沿著直線EF翻折，點A的對應(yīng)點為A′，點B的對應(yīng)點為B′，DA與CB的延長線相交與點O，點A′落在∠O的內(nèi)部，點B′落在∠O的外部，那么2（∠A+∠B）+（∠B′FC-∠A′ED）=360°.

結(jié)論6 如圖7，若將四邊形ABCD沿著直線EF翻折，點A的對應(yīng)點為A′，點B的對應(yīng)點為B′，AD與BC的延長線相交與點O，點A′和點B′均落在∠O的外部，那么2（∠A+∠B）+（∠A′ED+∠B′FC）=360°.

證 如圖7所示，∠A′ED=180°-2∠DEF，∠B′FC=180°-2∠CFE，從而有∠DEF=90°-

12∠A′ED，∠CFE=90°-12∠B′FC.

又因為∠A′EF+∠B′FE+∠A′+∠B′=360°，

即∠A′ED+∠DEF+∠B′FC+∠CFE+∠A′+∠B′=360°，

故∠A′ED+90°-12∠A′ED+∠B′FC+90°-12∠B′FC+∠A′+∠B′=360°，

即2（∠A′+∠B′）+（∠A′ED+∠B′FC）=360°.

又因為∠A′=∠A， ∠B′=∠B，

從而有2（∠A+∠B）+（∠A′ED+∠B′FC）=360°.

關(guān)于其他多邊形有關(guān)翻折問題，留給感興趣的讀者進(jìn)行研究.

參考文獻(xiàn)：

[1] 張俊峰.平行四邊形的翻折問題[J].初中生世界，2020（18）：51-52.

[2] 羅峻，段利芳.以翻折為輔助線的平幾問題解析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2019（05）：30-36.

[責(zé)任編輯：李 璟]