“圓錐曲線的統一定義”的教學思考

[摘 ?要] 筆者于2020年12月1日至12月4日參加了全國第十屆高中青年數學教師課例展示活動，課題是“圓錐曲線的統一定義”. 教學中，筆者淡化特殊技巧，回歸通性通法，圍繞數學本質，設計梯度問題，引發深度思考，引導學生探究. 最后，給出了筆者自己的一些教學思考.

[關鍵詞] 圓錐曲線;統一定義;深度

中國教育學會中學數學教學專業委員會于2020年12月1日至12月4日在福建省廈門市舉辦了全國第十屆高中青年數學教師課例展示活動，筆者代表安徽省參賽，課題是“圓錐曲線的統一定義”，本節課得到了在場的專家評委與觀摩教師的較高評價.

教學設計

1. 復習回顧 鋪墊新知

師：同學們，我們現在已經學習了三種圓錐曲線，你還記得是怎樣繪制它們的嗎？我們一起來重溫一下.

師生活動：教師動態演示三種圓錐曲線的繪制過程，而后請學生回答三種圓錐曲線的定義（第一定義），提醒學生注意限制條件.

設計意圖：一方面，動態演示三種圓錐曲線的繪制過程，讓學生親身體會定義中各要素之間的關系，這樣學生就有了對有關定義的直觀感受，解題時回憶再現圓錐曲線的概念就變得輕而易舉了. 這種在理解的基礎上記住的定義印象更深刻，記憶保持得更持久. 另一方面，為下一步拋物線、橢圓、雙曲線的標準方程的推導做好鋪墊.

2. 回歸教材 二次開發

（1）引導探究.

師：我們來回顧一下圓錐曲線標準方程的推導過程，以拋物線為例：首先建立平面直角坐標系，設動點M（x，y），由拋物線的定義得到MF=d（課件演示），然后將各點的坐標代入上式，得到等式=x--，化簡得y2=2px（教師板書），加上限制條件p>0.

師生活動：總結求動點軌跡方程的一般步驟：建—設—限—代—化. 建：建立平面直角坐標系;設：設立動點坐標;限：限制條件;代：代入等量關系式;化：化簡.

設計意圖：了解求曲線軌跡（方程）的一般步驟，掌握通性通法，同時為后面的問題探究進一步做好鋪墊.

（2）自主探究.

師：請大家仔細閱讀教材中橢圓標準方程的推導過程（課件展示教材內容），此推導過程出現了一個式子a2-cx=a，與拋物線標準方程的推導過程出現的一個式子=x--很相似，能否將其變形成類似的結構呢？下面我們來探究一下這兩個等式的關聯.

對等式a2-cx=a進行變形：兩邊同時除以a，得=a-x①，對①式繼續變形得=-x，即=②.

師：若作直線l：x=，式②有什么幾何意義呢？

設計意圖：利用等式結構的相似性，引導學生觀察，等式=1和等式=的左邊都是動點到一定點的距離和到一定直線的距離之比，而兩個等式的右邊均是其離心率，這樣引發學生深度思考：這是巧合嗎？兩次變形的過程給了學生直觀感受——在進行解析幾何學習時要注意數形結合，認識到式子的幾何意義，這對學生在解析幾何中解題意識的培養有著重要的作用.

（3）自發探究.

師：類比上述的推導過程，在雙曲線中是否也會有類似的結論呢？（課件展示教材內容）根據等式，你是否也能得到與上述等式（=1和=）相同結構的表達式？請嘗試一下.

設計意圖：在前面兩個問題研究的基礎上，激發學生自發探究雙曲線類似規律的結構式=，讓學生自己觀察得出：等式的左邊仍是動點到一定點的距離和到一定直線的距離之比，而等式的右邊是離心率，原來這一切都不是巧合.引導學生發現這一規律，從而歸納總結出圓錐曲線的統一定義，體驗到成功的喜悅.同時，讓學生自發地寫出化簡過程，以此培養學生的數學運算、邏輯推理等核心素養.

3. 抽象概括 形成概念

師生總結，形成概念：

（1）文字語言.

平面上到一定點F的距離和到一定直線l的距離之比為一個常數e的點的軌跡是圓錐曲線.其中定點F在定直線l外，此時點F是焦點，l是相應的準線，e是離心率（e>1時，軌跡是雙曲線;e=1時，軌跡是拋物線;0<e<1時，軌跡是橢圓）.

（2）符號語言.

設動點為M，符號表示為=e，也可以表示為MF=ed.當動點M的軌跡是橢圓時，其焦點為（c，0），相應的準線是x=;焦點為（-c，0），相應的準線是x=-;焦點為（0，c），相應的準線是y=;焦點為（0，-c），相應的準線是y= -. 雙曲線的情況類似，這里不再贅述.

設計意圖：通過對三種圓錐曲線標準方程推導過程中的一個等式變形，首先讓學生意識到，在進行復習時，要回歸教材，敢于探究課本表象下隱含的東西.同時，讓學生經歷上述探究活動的過程，教會學生研究問題的一般思路與方法，有助于進一步加深學生對概念的深度理解，更為重要的是，能夠培養他們在實踐中發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力. 這種以知識為載體、以探究為主線、以能力為目標的高中數學課堂教學正是我們目前應該追求的.

4. 辨析概念 例題互動

學生板書，教師點評.

設計意圖：以方程判斷曲線類型時，最常見的方法就是直接法和定義法. 直接法思路清晰，但計算較麻煩，學生通過對比，發現利用定義法解題計算量較小，初步體驗定義法的便利性. 通過例題的變式訓練，培養學生的發散思維，增強思維的靈活性，由此提升思維能力，使學生獲得知識、方法、思維上的最大收益.

例2 橢圓E：+=1的左、右焦點分別是F，F，過點F的直線l交橢圓E于A，B兩點，其中點A在x軸的下方，且滿足=2，則直線l的方程為______.

教師展示學生的解答過程，師生互評.

設計意圖：研究解析幾何問題的基本方法之一是坐標法，計算量一般較大. 事實上，在解決此類問題的過程中，如果抓不住問題的本質，就會導致計算量過多. 對于例2，部分學生可能會使用韋達定理進行解決，這樣處理的計算量較大. 此時教師應適時提醒學生，可以“小題小做”，從形的角度去思考問題，而后逐步引導學生利用圓錐曲線的統一定義解決問題，學生可以從中體會到這樣做能得到簡化運算、事半功倍的效果，進一步激發學生從“數”與“形”兩個維度去思考問題的意識.

5. 提煉心得 布置作業

師：請你從知識、方法、數學思想等方面談談本節課有哪些收獲.

學生回答，教師點評.

師：事實上，處理圓錐曲線的很多問題時，可以從“數”與“形”兩個角度去思考問題，要重視定義的靈活運用，抓住定義的結構特征，有時可以收到簡化運算、事半功倍的效果，這與“雙新”背景下所倡導的回歸教材、回歸概念、回歸通性通法相吻合.

作業：已知點F是橢圓E：+=1上的左焦點，點P是橢圓E上一動點，點A（-2，2），求PA+PF的最小值. 你能編制一道與雙曲線有關的類似問題嗎？

設計意圖：培養學生自我總結、反思的習慣，同時作業中讓學生主動參與編制試題，激發其參與教學的興趣，進一步加深學生對圓錐曲線統一定義的理解.

教學思考

1. 動態生成，促進學生的深度理解

圓錐曲線的應用比較復雜，涉及數形結合、函數與方程、分類討論、等價轉化等多種數學思想方法. 圓錐曲線的復習往往始于其定義，教學觀察發現，多數學生對此內容的學習困境是：抓不住圓錐曲線的結構特征，或者因忽視定義中關鍵條件的檢驗而出現錯誤.實際教學中，教師迫于教學進度的緊張，對圓錐曲線定義的復習，一般是依次呈現定義的文字語言、符號語言、圖形語言，再給出幾道有針對性的例題，所用課時非常有限.這樣的教學安排會導致學生對定義的理解只是停留在表面，缺乏對其內涵的深度挖掘，由此引起學生死記硬背、機械訓練，最終導致“記不住或記不準確”的現象產生，進而影響到后續知識點的落實. 針對這一現象，本堂課的伊始，筆者動態演示了三種圓錐曲線的繪制過程，讓學生親身體會定義中各要素之間的關系，解題時回憶再現圓錐曲線的概念就變得輕而易舉了;而且實踐證明，這種在理解基礎上記住的定義印象更深刻，記憶保持得更持久.

2. 挖掘教材，深度剖析數學知識的發現過程

在平時的復習中，無論是教師還是學生，普遍存在的一種問題就是把教材束之高閣，不理不問. 事實上，很多試題恰恰是以教材中的素材為背景編制的，這就更加需要學生回歸教材，對其中蘊含的知識與方法進行系統化梳理和歸納，深度理解知識點的內涵，對前后知識進行縱向和橫向的比較，加強各知識點之間的聯系，從而形成一個完整的知識體系，這也與大單元教學思想相契合.實際上，圓錐曲線的兩種定義是等價的，只不過它們是從不同的角度刻畫了圓錐曲線的內涵與外延，分別確定了圓錐曲線的本質特征. 這兩種定義不僅是推導標準方程的依據之一，也是研究圓錐曲線幾何性質、解決相關問題的重要抓手. 因此，筆者在本節課中回歸教材，帶領學生復習了三種圓錐曲線標準方程的推導過程，一方面復習求解動點軌跡方程的一般步驟，另一方面以此作為鋪墊，研究推導過程中的等量關系，通過“問題串”指引學生確定變形的方向，引導學生發現等式中存在相同的結構特征，總結出相應的規律，順勢引出圓錐曲線的統一定義，從而建立起了兩種定義的聯系，加強了各部分知識的連貫性，使之渾然一體.

3. 運用定義，深入挖掘數學思想

華羅庚教授說過，“數缺形時少直觀，形少數時難入微”. 通過“以形助數”或“以數助形”，將抽象思維與形象思維相結合，有時可使復雜問題簡單化.在教師深度教學的過程中，要依據學情，深入挖掘教材中隱含的數學思想，再將挖掘出的數學思想逐步滲透到相應的教學內容之中，以便學生能更好地理解數學知識，有效地提升數學素養.在解析幾何的教學中，筆者認為不僅要指導學生學會數形結合的解題方法，更要培養學生養成數形結合的思維習慣. 由于人類對事物的認知呈螺旋上升的趨勢，因此，在本節課中筆者對圓錐曲線定義例題的安排是循序漸進的，呈現順序由易到難，而且配有一定的變式訓練，希望學生能夠“做一題得一法”“會一類通一片”，以達到掌握數學思想、提高學習興趣、增強學習信心的目的.

4. 問題引領，開展有深度的探究活動

目前以自主、合作、探究為主的教學方式已成為課堂教學中一道亮麗的“景致”，學生開展自主探究，以問題為載體、以探究為方式，在此過程中，教師要充分發揮學生的自主性和能動性，讓學生經歷感悟、體驗、反思和矯正的過程，從而實現學生提高自主能力的目標. 課堂教學中，教師可以以問題為導向，但是問題不宜過小過密，要留給學生一些思維的空間和時間，可以在大問題中設立導向性明確的子問題，使學生的思維具有連貫性. 在教學過程中，教師要及時捕捉課堂信息，調控教學方向，扮演好組織者、引導者、合作者等不同的角色. 只有這樣，學生才會在“欲罷不能”的參與狀態中，主動探索新知、主動實踐操作、主動嘗試創新. 在教學實踐中，筆者十分注重創設有效的問題情境，循循善誘，由淺入深，教學活動總是基于問題引導學生積極開展合作式學習、體驗式學習和建構式學習，改變學生固有的思維方式，跳出思維定式. 筆者認為更重要的是要教會學生如何去發現問題，提升其探究問題的能力，促進學生的理性思維逐漸走向成熟. 本節課中筆者通過引導探究、主動探究、自發探究等三步逐步引導學生發現圓錐曲線的統一定義，通過例題探究，讓學生掌握如何抓住圓錐曲線定義的結構特征去解決相關問題的基本思路，筆者在作業中嘗試讓學生參與試題的編制，進一步讓學生深度理解概念，提高學生的教學參與度，激發其對學習的興趣和主動性[1].

參考文獻：

[1] ?羅風云，張曉陽. 明確問題指向 緊扣探究主題——“平面與平面垂直的判定定理”的觀課思考與實踐改進[J]. 中國數學教育，2017（10）：27-29.