時滯位置反饋對一類雙邊電容型微諧振器復(fù)雜振動的控制

尚慧琳， 劉 海， 董章輝， 劉智群

(上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海 201418)

靜電微諧振器是微機電系統(tǒng)(micro-electro-mechanical system, MEMS)中最常用的元器件之一，廣泛應(yīng)用于傳感器、加速度計、通信和信號處理設(shè)備中[1]。對于這類微器件來說，振動微結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性將對系統(tǒng)的工作性能有直接影響，如微諧振器結(jié)構(gòu)的混沌運動往往導(dǎo)致無規(guī)律的輸出響應(yīng)，得不到預(yù)期的諧振輸出，也容易使振動元件由于疲勞振動而失效[2]；又如微結(jié)構(gòu)振動元件過度振動，還容易導(dǎo)致微結(jié)構(gòu)發(fā)生吸合現(xiàn)象[3]。因此避免微諧振元件的吸合現(xiàn)象和諧振失穩(wěn)行為成為保障微諧振器正常運行的兩個基本問題。也因此，對微諧振器結(jié)構(gòu)的吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象(微結(jié)構(gòu)的初始位移或速度等初始條件的微小擾動導(dǎo)致微結(jié)構(gòu)的靜電吸合)，以及混沌等復(fù)雜動力學(xué)行為的研究成為微諧振器領(lǐng)域研究的熱點。Siewe等通過數(shù)值方法模擬了一類雙極板電容型靜電微機械諧振器振動系統(tǒng)的混沌響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)參數(shù)激勵幅值增大會引起混沌。Dantas等[4]研究了由兩側(cè)靜電電極驅(qū)動的微納米諧振器的混沌動力學(xué)行為，發(fā)現(xiàn)小的黏性阻尼和間隙不對稱性更有利于系統(tǒng)發(fā)生混沌振動。Sabarathinam等[5]基于模擬電子電路框架研究了一類雙邊電容型MEMS諧振器，發(fā)現(xiàn)驅(qū)動電壓的增加易誘發(fā)結(jié)構(gòu)混沌振動。在對微結(jié)構(gòu)的吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象的研究上，Ruzziconi等[6]通過試驗研究發(fā)現(xiàn)單邊平行板電容型微諧振器存在吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象；Alsaleem等[7]結(jié)合試驗和數(shù)值模擬研究了一類靜電微諧振器動態(tài)吸合現(xiàn)象，并基于安全域思想，通過微結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的安全域侵蝕現(xiàn)象(即安全域邊界分形，對應(yīng)初始條件微小變化導(dǎo)致過度振動乃至系統(tǒng)崩潰[8-9])，詮釋交流電壓幅值的改變所導(dǎo)致的微結(jié)構(gòu)吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象；Prasanth等[10]基于對非均勻橫截面梁式微諧振器系統(tǒng)的定性分析，發(fā)現(xiàn)非線性效應(yīng)對梁結(jié)構(gòu)的不均勻性高度敏感：在大彈性撓度下靜電力極易引起微諧振器的吸合不穩(wěn)定；Ramini等[11]結(jié)合理論方法和試驗驗證研究了MEMS拱在交流電壓激勵接近第一和第三共振頻率發(fā)生的吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象及其機制。

為保障微諧振器的正常工作，應(yīng)對其吸合不穩(wěn)定和混沌等復(fù)雜動力學(xué)行為實施有效控制。然而，對于微機電系統(tǒng)來說，由于微諧振器件本身尺寸微小，在結(jié)構(gòu)上直接加載主動控制明顯容易造成結(jié)構(gòu)局部發(fā)生形變等不良影響，可行性較低。因此多數(shù)的控制是在驅(qū)動電路上施加。對微諧振器復(fù)雜動力學(xué)的主動控制引起了廣泛地關(guān)注，其中控制混沌方面，控制方法及其機理研究較多[12-14]。Haghighi等研究了帶有靜電力的微機械諧振器的混沌動力學(xué)，并提出了一種魯棒自適應(yīng)模糊控制算法來控制混沌運動。Tusset等分析了一類靜電驅(qū)動的雙邊電容型微諧振器的混沌動力學(xué)行為，并通過基于Lyapunov-Floquet變換的狀態(tài)反饋控制技術(shù)將其控制到所需周期性軌道。對吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象的控制研究主要集中在試驗仿真和數(shù)值模擬方面，如Alsaleem等[15]提出在一類單邊平行板電容式微加速度計的驅(qū)動直流偏置電壓上施加時滯位移反饋和時滯速度反饋來控制系統(tǒng)的吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象，并得到了良好的控制效果；其中時滯反饋控制最早由Pyragas[16]提出用以控制振動系統(tǒng)的混沌行為，并取得了良好的控制效果；后來得到推廣應(yīng)用，成為控制混沌等復(fù)雜動力學(xué)行為的良好的主動控制方法[17]。然而，對于微結(jié)構(gòu)吸合不穩(wěn)定的控制機理尚不夠明確，相關(guān)研究報道較少，仍有待進一步開展。

為此，本文以一類典型雙邊電容型微諧振器為研究對象，提出通過施加在直流偏置電壓上的單通道時滯位移反饋來抑制微結(jié)構(gòu)的混沌運動和吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象，并基于全局分岔理論研究控制的機理。

1 動力學(xué)模型和無擾動系統(tǒng)

考慮一類典型的靜電雙邊電容型微諧振器，其簡化結(jié)構(gòu),如圖1所示[18]，上下兩極板為定極板，中間極板本身是靜電驅(qū)動兩端固支梁結(jié)構(gòu)的動極板，簡化為中間極板中段黑色矩形所示的等效質(zhì)量塊。考慮振動結(jié)構(gòu)的線性剛度、線性阻尼、非線性剛度和極板間的非線性靜電力，并忽略平行板電容的邊緣效應(yīng)，Haghighi等和Mestrom 等建立的動力學(xué)模型為

圖1 時滯位移反饋控制靜電微諧振器系統(tǒng)動力學(xué)模型

(1)

(2)

對系統(tǒng)式(2)引入以下無量綱化變量

(3)

得到無量綱系統(tǒng)

(4)

由于式(2)中阻尼系數(shù)、交流電壓幅值與直流偏置電壓之比以及反饋增益均為小量，因此可引入小參數(shù)ε(0<ε?遠遠小于1)對式(4)重新進行參數(shù)標(biāo)度，即

(5)

則有

(6)

當(dāng)時滯量τ=0或增益系數(shù)g=0時，時滯反饋項為零，反饋控制式(6)退化為無控制系統(tǒng)；此外，參數(shù)α只與結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)有關(guān)，而與所施加的驅(qū)動電壓無關(guān)，參數(shù)則是直流偏置電壓Vb的函數(shù)。

當(dāng)ε=0時，系統(tǒng)式(6)退化為無擾動系統(tǒng)

(7)

式(7)為Hamilton系統(tǒng)，其Hamilton量和勢能函數(shù)分別為

(8)

(9)

由此可知，系統(tǒng)有無勢阱，以及勢阱的形態(tài)、具體位置以及平衡點個數(shù)，均取決于參數(shù)α和β。當(dāng)α=12和β=0.338時，該系統(tǒng)式(7)存在5個平衡點，其中S1(xs,0)和S2(-xs,0)為鞍點，C1(xc,0)、C2(-xc,0)為中心，具有三勢阱、且同時存在同宿和異宿軌道，如圖2所示。由于本文聚焦于同異宿軌道共存情況下，系統(tǒng)參數(shù)引起的同異宿分岔行為及其機制，以及對應(yīng)的時滯位移反饋控制機理，因此仍按尚慧琳等研究中給定的系統(tǒng)參數(shù)取值，具體如表1所示。

圖2 α=12和β=0.338時式(7)的相軌線

表1 系統(tǒng)式(2)物理參數(shù)取值

2 同宿分岔行為及其控制機制

當(dāng)式(1)發(fā)生同宿分岔時，非常容易誘發(fā)混沌現(xiàn)象。本章重點研究同宿分岔引起的混沌運動及其時滯位移反饋控制機制。為此，考慮圖2中的一對同宿軌道，其最右側(cè)邊緣點T1(xe,0)滿足

(10)

φ(-∞)=0,φ(∞)=π

(11)

構(gòu)造同宿軌道

xh(φ)=a(1-cosφ)+bsinφ

(12)

則對于無擾動系統(tǒng)滿足

(13)

得到同宿軌道的精確解析表達式

xh(φ)=xesinφ,

(14)

(15)

(16)

保留式(6)中ε一次方項，將其他含有ε的項當(dāng)作攝動項，則式(6)成為

(17)

對于施加時滯位移反饋的微諧振器系統(tǒng)式(6)，可以將Melnikov函數(shù)法推行至?xí)r滯受控系統(tǒng)從而獲得受控系統(tǒng)的同宿分岔必要條件。為此，時滯反饋須為攝動項，即以時滯反饋控制項不會引起平衡點穩(wěn)定性的切換為前提，則時滯反饋不會引起系統(tǒng)平衡點的定性改變。其中對于系統(tǒng)式(6)的線性化系統(tǒng)平衡點O(0,0)是穩(wěn)定的焦點，不會發(fā)生穩(wěn)定性切換。當(dāng)τ=0時，對于非零平衡點(±xc,0)是穩(wěn)定的，τ≠0時為考察(±xc,0)鄰域的穩(wěn)定性，設(shè)

x=xc+εu+O(ε2),u=O(1)

(18)

(19)

(20)

設(shè)λ=iv，代入式(20)分離實虛部，消去正余弦函數(shù)項得到

(21)

(22)

則式(21)有兩個不相等的正根ω+和ω-，其中ω+>ω-；根據(jù)局部分岔理論，系統(tǒng)式(4)發(fā)生Hopf分岔的時滯臨界值為

(23)

M(t0)=-μI1±2βγI2cos[ωT0(φ)]+I3sin[ωT0(φ)]+8βτgI4

(24)

其中

F(φj,ηj)和E(φj,ηj)分別為第一類和第二類橢圓積分,j=2,3。

當(dāng)

(25)

時，Melnikov函數(shù)存在簡單零點，這是系統(tǒng)發(fā)生同宿分岔的必要條件。將參數(shù)還原為原系統(tǒng)參數(shù)，則得到了受控系統(tǒng)(6)的同宿分岔條件，即

(26)

顯然，式(26)中時滯量τ=0時即為無控制系統(tǒng)的同宿分岔條件。在本文給定參數(shù)情況下，I1和I4表達式中的被積函數(shù)在(0,π/2)上的積分值顯然大于0，即有I1>0和I4>0；因此，根據(jù)式(26)，正的反饋增益系數(shù)下，時滯量在一定范圍內(nèi)單調(diào)遞增(不超過平衡點穩(wěn)定性切換臨界時滯)，則時滯位移反饋能夠提高系統(tǒng)式(6)的同宿分岔的交流電壓門檻值，其中在表1系統(tǒng)參數(shù)取值下，無控制的原微諧振器振動系統(tǒng)發(fā)生同宿分岔的交流電壓臨界幅值為0.152 V。給定增益系數(shù)g=0.18，同時選取相對較小的時滯量，即從均勻增大到0.25，數(shù)值模擬得到的引起微結(jié)構(gòu)混沌振動的交流電壓臨界幅值和理論預(yù)測的同宿分岔交流電壓閾值對比如圖3所示，二者比較吻合，這說明時滯位移反饋能夠有效抑制系統(tǒng)發(fā)生的同宿分岔，從而為控制由同宿分岔引起的混沌現(xiàn)象提供依據(jù)。

圖3 g=0.18時交流電壓同宿分岔門檻值隨τ的變化

圖4 當(dāng)g=0.18和ω=0.5時，系統(tǒng)式(4)響應(yīng)隨交流電壓幅值變化

圖5 當(dāng)VAC=0.17 V,ω=0.5和g=0.18時，不同時滯下系統(tǒng)(4)的動力學(xué)行為

3 異宿分岔行為及其控制機制

時滯位移反饋微諧振器振動系統(tǒng)式(2)同時還存在著異宿軌道。而異宿軌道的破裂同樣破壞系統(tǒng)的動完整性。根據(jù)尚慧琳等和Wang等的研究，在無控制系統(tǒng)中，微結(jié)構(gòu)的吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象可歸因于系統(tǒng)發(fā)生異宿分岔，這是有別于第2章混沌現(xiàn)象的另一種復(fù)雜動力學(xué)行為。本章在此基礎(chǔ)上集中討論系統(tǒng)的異宿分岔行為和機制，以及時滯位移反饋控制該現(xiàn)象的機理。

與同宿軌道一樣，本系統(tǒng)的異宿軌道也無法直接表達成時間T的顯函數(shù)。為了得到異宿軌道的精確解析形式，進而在此基礎(chǔ)上討論異宿分岔條件，與上節(jié)類似，引入中間變量，假設(shè)

x(φ)=±xscosφ

(27)

根據(jù)式(11)和式(13)得到異宿軌道的精確解析表達

xHetero(φ)=±xscosφ,

(28)

(29)

同樣，可將Melnikov函數(shù)法推行至?xí)r滯控制系統(tǒng)來獲取受控系統(tǒng)發(fā)生異宿分岔的必要條件，其前提是原線性化系統(tǒng)仍不會因時滯項的出現(xiàn)發(fā)生平衡點穩(wěn)定性的切換。為此，考察平衡點(0,0)鄰域的穩(wěn)定性，設(shè)

x=0+εu+O(ε2),u=O(1)

(30)

(31)

由式(31)可知，時滯反饋項的出現(xiàn)不會引起線性化系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性發(fā)生切換。因此時滯量可作為擾動項進行二階Taylor展開，其相應(yīng)Melnikov函數(shù)為

(32)

其中

根據(jù)Melnikov函數(shù)存在簡單零點得到時滯位移反饋控制下交流電壓幅值的門檻值為

(33)

由于根據(jù)J4表達式中被積函數(shù)在積分區(qū)間均大于零，顯然有J4>0，因此，由式(33)可知，在正的反饋增益系數(shù)下交流電壓的門檻值會得到提高。

給定時滯增益系數(shù)g=0.18，引起異宿分岔的驅(qū)動交流電壓臨界幅值隨時滯量的變化的理論預(yù)測如圖6中直線所示，而對無量綱化時滯反饋控制系統(tǒng)式(4)進行數(shù)值模擬，得到的不同時滯量下微結(jié)構(gòu)發(fā)生吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象的臨界交流電壓幅值如圖6中離散的點所示。在無時滯反饋控制情況下，系統(tǒng)發(fā)生異宿分岔的交流電壓幅值門檻值理論預(yù)測為0.251 V，這與圖6中數(shù)值結(jié)果相一致。隨著時滯量的增大，在較小的交流電壓幅值下(即滿足VAC/Vb≤0.1時)，數(shù)值和理論結(jié)果完全吻合。繼續(xù)增大時滯量，當(dāng)VAC/Vb>0時，數(shù)值和解析結(jié)果開始出現(xiàn)少量偏差，這主要是因為式(33)中的解析結(jié)果是基于式(5)將VAC/Vb設(shè)定為小參數(shù)的假設(shè)得到；盡管如此，交流電壓臨界幅值仍然隨時滯量增大，與理論分析定性結(jié)果一致。式(33)和圖6中數(shù)值與理論結(jié)果的對比為時滯位移反饋抑制異宿軌道破裂，進而抑制異宿分岔引起微結(jié)構(gòu)吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象提供了理論依據(jù)。此外，根據(jù)圖6，當(dāng)τ=0時，同宿分岔交流電壓幅值0.152 V小于交流電壓異宿分岔門檻值0.251 V，因此無控制系統(tǒng)(即τ=0時)并不發(fā)生吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象；再對比第2章同電壓無時滯系統(tǒng)的混沌動力學(xué)行為(見圖5(a)、圖5(b)和圖5(c)的相圖和Poincáre截面和譜分析)，這說明在本系統(tǒng)中混沌運動與吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象由于成因不同(前者歸因于同宿分岔，后者源于異宿分岔)，并不同步發(fā)生。

圖6 g=0.18時交流電壓異宿分岔門檻值隨τ的變化

圖7 當(dāng)g=0.18時，不同的交流電壓幅值下系統(tǒng)式(4)安全域隨時滯量的演變

4 結(jié) 論

本文以一類雙邊電容型微諧振器振動系統(tǒng)為研究對象，具體選取同異宿軌道共存的情況，對系統(tǒng)施加時滯位移反饋來抑制系統(tǒng)的混沌和吸合不穩(wěn)定等復(fù)雜動力學(xué)行為，并研究其控制機理。主要得到以下結(jié)論：

(1) 本系統(tǒng)中，混沌和吸合不穩(wěn)定這兩類初值敏感性現(xiàn)象并不同時發(fā)生，歸因于兩類不同的全局分岔：隨著交流電壓幅值的增大，同宿分岔和異宿分岔相繼被誘發(fā)，先后引起微結(jié)構(gòu)的混沌振動和吸合不穩(wěn)定。

(2)當(dāng)反饋增益系數(shù)大于零時，隨著時滯量的增大，時滯位移反饋控制不僅能夠抑制微結(jié)構(gòu)混沌振動，還能夠有效地抑制微結(jié)構(gòu)的吸合不穩(wěn)定;其控制機理可以理解為通過改變單控制參數(shù)(即時滯量)來提高系統(tǒng)發(fā)生同宿和異宿分岔的交流電壓門檻值。

上述結(jié)論為揭示非線性系統(tǒng)中混沌現(xiàn)象和安全域分形這兩類典型的全局失穩(wěn)行為的機制及其控制機理研究提供一定的理論依據(jù)；并在保障諧振器振動系統(tǒng)的動完整性和設(shè)計研制更加精密的靜電驅(qū)動微器件方面具有潛在的應(yīng)用價值。本文為了聚焦剛度和靜電力非線性引起的微諧振器復(fù)雜振動，對雙邊電容型微諧振器，基于一定的理想化假設(shè)，采用了集總參數(shù)型簡化模型。在后續(xù)研究中，將對兩端固支微諧振梁的不同位置的縱向振動，考慮尺寸效應(yīng)、邊界條件、振動模態(tài)和剛度非線性等因素，建立更實際的微諧振梁動態(tài)方程。