基于APOS理論下的概念教學設計探究

黃安錦

[摘? 要] APOS理論關注學生怎么學和怎么幫助學生去學兩個核心問題，讓數學概念知識的生成和發展的過程與學生認知結構的生成過程自然融合，文章就相關理論的認識及教學中的實踐設計進行探索.

[關鍵詞] APOS理論;數學概念;算術平方根

問題的源起

在日常教學中，有些教師容易忽略概念的生成，通過簡單的例子講解直接拋出定義，更重視概念的機械識記和重復的練習鞏固. 學生未曾經歷概念的形成過程，很難理解概念，甚至混淆概念. 概念教學包括了概念的生成、理解、保持和應用四個環節，當前教學中教師更側重于概念的應用，而概念的生成環節往往會被忽略. 在初中概念教學過程中，學生對數學現象的抽象與歸納能力沒有得到發展，容易造成概念記得住，就是用不好的現象. 新課程標準強調要加強學生對基本概念的理解，核心概念貫穿教學，并幫助學生構建基本的知識體系，逐步加深對核心概念的理解，掌握其中蘊含的基本思想，最終發展成為學生終身受用的學科素養.

杜賓斯基等人在建構主義理念基礎上通過實踐研究提出了APOS理論，他們認為概念的形成要重視“學生怎么學習概念”以及“怎樣才能幫助學生去學好概念”，該理論由活動、過程、對象和圖示四階段組成（如圖1），凸顯“學生的主體性和教師的主導性”.

以“算術平方根”為例的教學實踐

1. 活動階段——問題情境的創設

在活動階段中，教師通過問題情境引導學生參與操作，讓學生在操作過程中回顧與新概念學習相關的前知識，觸發學生的認知沖突，讓新概念在實際中顯現和概化，為情境的抽象和概念的生成奠定基礎. 在這個過程中，問題情境的設計一定要注意數量和難度上的雙適度，既要給予學生充足的操作空間，也要找準學生的最近發展區，讓學生“看得見、夠得著”，太難或太泛都不利于學生對概念生成過程的觀察、操作、反思和總結.

（1）學習準備

練習1：請說出20以內所有自然數的平方.

練習2：求出下列各式的值.

課前通過練習幫助學生回顧前面所學的幾個知識點，為本節課教學活動的開展作好鋪墊，這也是學生對后面實際問題進行操作思考的起點.

（2）情境導入，引發認知沖突

情境一：如圖2，請想辦法將下面兩個邊長為1的小正方形拼成一個更大的正方形.

由于學生在前面學習無理數時接觸過此圖，所以好奇心和求知欲瞬間被激活了，很快就投入小組合作與討論中，最終得到以下幾種操作方案（如圖3）：

師：拼出來的這個大正方形的面積是多少？

生1：2.

師：設這個大正方形的邊長為x，那么x應該滿足什么條件？

生2：x2=2.

生3：x一定是正數.

師：那在前面的學習中，你能想辦法求出x的值嗎？

學生陷入沉思，嘗試用已知的知識解決問題未果.

師：上面的問題能否用數學語言來描述？

生4：已知正數x的平方等于2，求x的值.

師：我們帶著這個問題進入今天的學習，認識這個數.

2. 過程階段——探究體驗的過程

過程階段是數學概念生成的重要環節，在此階段中，教師通過活動設計引導學生通過自主探索、小組合作等形式對具體的問題進行實驗和分析，并對學生探索的方向和方法提供適度的指導. 學生親歷數學概念從具體化問題轉化為抽象化的概述，從特殊情況的探索轉化為對一般情況的思考，從文字語言的描述轉化為數學語言符號化的表示，從對新知識的感性認知轉化為理性認知的生成過程，圍繞問題積極思考、嘗試探究、交流反思、歸納總結，最終形成數學概念.

（1）設計問題，引導主動探索

師：算術平方根是什么？它與我們所學過的知識有何聯系？我們能否從現實生活中通過我們已經掌握的數學知識對算術平方根的概念進行概括？應該從什么地方入手去探索這個新的概念？

生5：上面的例子中“一個正數的平方等于2”，我們前面學過平方的運算，能不能從平方運算入手去試試看？

師：好，那我們就從特殊的正方形面積和邊長來看看能否解決上面的問題？

情境二：你能根據某正方形的邊長求出這個正方形的面積嗎？

生6：簡單，邊長×邊長=面積.

師：很好，那請根據已知條件填寫表1. （引導學生填表，并引入新情境）

情境三：為了布置教室，小明想剪出一塊面積為36dm2的正方形彩紙，用于剪紙設計，請問這塊正方形彩紙的邊長應取多少比較合適？

生7：這塊正方形彩紙的邊長應該為6dm.

師：為什么？

生8：因為62=36，所以應該為6dm.

師：很好，那如果小明需要剪出的正方形的面積是4dm2、25dm2、100dm2、dm2呢？

（引導學生填表2）

師：上面兩個表中的運算有什么關系？

生9：表1是已知邊長求面積，表2是已知面積求邊長，它們是互逆的.

師：上面的例子中，已知x2=a，a叫做x的平方，那么x叫做a的什么呢？

很多學生脫口而出：算術平方根.

師：怎樣正確描述算術平方根呢？請從課本中找出相關的概念.

板書課題，展示算術平方根的定義（暫不引出符號表示）.

（2）初步應用，了解概念

師：請同學們相互談論，列出一個數，并嘗試說出這個數的算術平方根. （學生活動）

師：在所有的數中，有個數非常特別，并通過多媒體出示“0”，請問它有算術平方根嗎？如果有，它的算術平方根是多少？

生10：沒有.

生11：有，因為02=0，所以0的算術平方根是0.

其他學生恍然大悟，教師通過多媒體展示“0的算術平方根是0”.

練習1 填空題.

因為52=25，所以5是25的________;

因為（? ）=100，所以____是____的算術平方根.

練習2 求出下列各數的算術平方根.

①4 ②25 ③0.81 ④

教師對例2中“求900的算術平方根”進行示范解答并板演，強調答題規范性.

（3）引入符號，追尋本源.

師：有沒有什么辦法可以讓上面的求某個數的算術平方根的解答過程更加簡潔？

生10：可以像平方一樣用符號來表示算術平方根.

師：很好，用符號來描述一個非負數的算術平方根既簡潔又方便. 歷史上古人曾用不同的符號描述算術平方根，直至17世紀，法國數學家笛卡爾創造了“”，它的出現得到了數學界的公認，一直沿用至今. 一般地，我們把a（a≥0）的算術平方根記為，讀作“根號a”，例如5的算術平方根可寫成，例2中“900的算術平方根是30”可以寫成“=30”.

練習3 求下列各式的值.

3. 對象階段——交流形成的對象

本階段是認識數學概念本質特征的重要環節，也是教師指導學生通過探究并加深對概念理解的環節. 本環節主要由師生共同開展活動完成. 在上一階段得出概念后，教師通過變式練習或探究活動幫助學生完善對概念的理解，從新的角度或其他非本質特征辨析概念，以凸顯新概念的本質特征. 教師在本階段中應注重學生對新概念本質和規律的發現，在教學活動中及時反饋學生出現的錯誤，把握寶貴的可再生知識，引導學生在辨析中發現問題和提出問題，并嘗試通過探索分析問題和解決問題，促使學生對新概念的鞏固并嘗試應用.

在練習3中，教師通過巡視，發現第4小題有部分同學的答案為“= -2”，通過實物投影展示，并提出思考：=-2，大家對這題答案有異議嗎？

很快就有學生搶答：負數沒有算術平方根.

教師緊接著通過多媒體出示問題：“（1）負數有平方根嗎？為什么？（2）一個數如果有算術平方根，它需要滿足什么條件？”教師組織學生小組內討論并得出答案：任何正數都有一個算術平方根，0的算術平方根是0，負數沒有算術平方根. 一個非負數的算術平方根同樣是非負數;當a≥0時，≥0.

練習4 判斷題.

①16的算術平方根是4;

②因為（-3）2=9，所以9的算術平方根是-3;

③5是-25的算術平方根，9的算術平方根是-3;

④100的算術平方根是10，0.1的算術平方根是0.01.

練習5 解答題.

①的算術平方根是多少？

②下列各式是否有意義，為什么？

-

教師組織學生自主練習，并通過抽查提問反饋學生答題情況. 對于學生答題中的錯誤，通過小組幫扶和全班辨析加以解惑，讓學生的錯誤反饋形成再生知識，輻射到其他可能對算術平方根特性不熟悉的學生上. 教師也應根據題目中的特例加以強調，如：“正數的算術平方根是正數，所以即使（-3）2=9，9的算術平方根是3而非-3”“-是指2的算術平方根的相反數，所以該式有意義”“判斷一個根式是否有意義，不要只關心根號里面有沒有負號，而要看清被開方數是否為非負數”等等，并對題目進行變式訓練，讓學生從非本質特性中找到算術平方根的本質，深入對新概念的理解和應用.

練習6 =_________，

=_________，

-=_________.

練習7 若有意義，那么a_____（填取值范圍）.

4. 圖示階段——概括形成的圖示

本階段旨在讓學生從認知結構中產生新概念，幫助學生構建綜合心理圖示，擴展新概念的外延，以促進學生對新知識的掌握和應用. 教師在此階段中，應通過綜合訓練和課堂小結，一方面將學生新學概念與學生已有認知結構聯系起來，對本節課的相關問題進行綜合思考;另一方面通過課堂小結，幫助學生通過簡單的思維導圖或結構圖示鞏固對新概念定義及其本質特征的理解，讓本節課知識得以延續和拓展.

練習8 若x-5的算術平方根是3，那么x=_______.

練習9 計算.

①（-1）2+-

②+（-）

練習10 已知5是a+2+1的算術平方根，那么a=_______.

課堂小結：

（1）通過本節課的學習，大家有何收獲？

（2）表示什么意義？

（3）請根據今天所學內容繪制知識結構圖樣，說說你掌握本節知識的做法.

（出示知識結構圖（圖4），加深學生理解）

通過練習和師生共同小結，學生對算術平方根的概念和意義有了更深刻的理解，也掌握了如何判斷一個有理數是否存在算術平方根及如何去求一個非負數的算術平方根，學生的知識結構得以生成和發展.

結語

杜賓斯基說過：“學生學習數學概念需要進行心理建構，只有在自身已有知識、經驗的基礎上，主動建構新知識的意義，才能達成理解.”APOS理論的提出喚起了對如何開展數學概念學習的新一輪思考，它還指出教師在設計教學活動過程中要關注到學生的心理構建過程，由“教會學生如何做”轉向“教會學生如何學”. APOS理論強調學生在教師的精心設計情境引導下，主動參與學習并通過同伴互助、自主探索等形式掌握新概念的本質特征，讓學生成為課堂真正的“主人”，讓學生的數學核心素養在數學概念的學習中自然養成.