回歸起點(diǎn)　一以貫之

[摘? 要] 數(shù)學(xué)試題的設(shè)計(jì)往往會呈現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法之間的關(guān)聯(lián)，從而揭示數(shù)學(xué)知識的整體性和解題方法的一般性. 在實(shí)際數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從試題的起點(diǎn)出發(fā)，關(guān)注試題的整體架構(gòu)，不斷優(yōu)化解題思路，促進(jìn)學(xué)生的深層次思考，提升思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.

[關(guān)鍵詞] 整體;原點(diǎn);關(guān)聯(lián);一以貫之

試題來源

本題選自2019年武漢市中考數(shù)學(xué)第23題，其中第（1）問取材于人教版九年級上冊第70頁第7題圖形的變換. 本題第（1）問利用該變換模型設(shè)計(jì)成一個(gè)簡單的三角形全等證明，既注重了核心基礎(chǔ)知識的考查，同時(shí)熟悉的幾何圖形又能穩(wěn)定學(xué)生的考試情緒，增強(qiáng)考試信心. 后兩問都緊緊圍繞第一問的基本圖形，在去掉旋轉(zhuǎn)后的△BCN的基礎(chǔ)上弱化條件（特殊到一般），層層深入，層次分明. 試題注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解，促使學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識與方法之間的關(guān)聯(lián). 揭示知識的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)及其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生理清相關(guān)知識之間的區(qū)別和聯(lián)系等[1]，充分體現(xiàn)了試題“源于教材，高于教材”的命題指導(dǎo)思想.

試題呈現(xiàn)

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，=n，M是BC邊上一點(diǎn)，連接AM.

（1）如圖1，若n=1，N是AB延長線上一點(diǎn)，CN與AM垂直. 求證：BM=BN;

（2）過點(diǎn)B作BP⊥AM，P為垂足，連接CP并延長交AB于點(diǎn)Q.

①如圖2，若n=1，求證：=;

②如圖3，若M是BC的中點(diǎn)，直接寫出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示）.

試題評析

本題的第（1）問本質(zhì)就是將△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCN，學(xué)生理清題意直接利用條件證明△ABM≌△CBN即可.

本題的重點(diǎn)和難點(diǎn)是第（2）問中兩小問的解答. 顯然，第（2）問中兩小問的圖形均去掉了（1）中△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的△BCN，給人的第一印象是前后相互關(guān)聯(lián)不大，很多學(xué)生做第（2）問時(shí)就完全不考慮第（1）問這一特殊證明在本題中的作用，直接另起爐灶 “單干”，將一道題拆分為三道題去做. 雖然也有學(xué)生能夠有效解答，但極大地增加了思維量，在中考這樣的大型考試及嚴(yán)格的時(shí)間限制下很多優(yōu)秀學(xué)生沒能順利完成解答. 下面就第（2）問中兩小問（重點(diǎn)是最后一問）的解法及思考進(jìn)行探討.

評析：本題第（1）問給出一個(gè)非常簡單的全等模型，學(xué)生也很容易上手，但從第（2）問就沒有了前面的全等模型，結(jié)論也變?yōu)榍缶€段的比，大部分學(xué)生就束手無策了. 而解決這兩問的關(guān)鍵是條件“過點(diǎn)B作BP⊥AM”與第（1）問中全等模型之間的關(guān)聯(lián). 通過分析發(fā)現(xiàn)，第（1）問中的兩個(gè)全等三角形中的一組對應(yīng)邊AM，CN除長度相等外，在位置上還存在著相互垂直的關(guān)系，再加上“BP⊥AM”，即CN∥BP，第①問的結(jié)論中正好在這組平行線之間，因此只需將第（1）問的模型補(bǔ)齊就能順利解決;第②問求三角函數(shù)，看似與前面關(guān)聯(lián)不大，但仔細(xì)比較，可以發(fā)現(xiàn)僅僅是弱化了第①問中“n=1”這一條件，回歸起點(diǎn)，延續(xù)第①問的基本圖形及思想方法，即可順利完成解答.

評析：第①問在巧妙利用結(jié)論中證明“比例線段”中比的分點(diǎn)P，通過作平行線構(gòu)造“X”型相似圖形的同時(shí)，恰好形成“一線三等角”模型，先通過“X”型相似將轉(zhuǎn)換為，而在“一線三等角”模型中通過△BCD≌△ABM直接轉(zhuǎn)換線段CD即可;第②問求三角函數(shù)，直接利用①中的思路從結(jié)論入手，借助M是BC的中點(diǎn)作CF⊥BD于點(diǎn)F，同時(shí)也將∠BPQ的對頂角∠CPF放在直角三角形中，再通過三角函數(shù)亦可直接求解，也避免了思維的跳躍.

評析：以上僅僅是最后一問的三種不同解答，這三種解答都可以不考慮前兩問中解決問題的思路與方法，僅僅從本題的內(nèi)部條件進(jìn)行挖掘，充分利用“中點(diǎn)”這一重要信息. 其中解法3直接利用中點(diǎn)疊加子母三角形轉(zhuǎn)化相似三角形證明∠BPQ=∠BAC，無須添加輔助線直接解答;解法4、解法5都是借助中點(diǎn)構(gòu)造中位線的同時(shí)很好地將要求的三角函數(shù)的角“放在”了直角三角形中，將條件巧妙地“關(guān)聯(lián)”在一起.

題后反思

數(shù)學(xué)知識之間存在一定的邏輯順序，試題的設(shè)計(jì)往往會呈現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法之間的關(guān)聯(lián)，從而揭示數(shù)學(xué)知識的整體性和解題方法的一般性. 本題從學(xué)生常見的數(shù)學(xué)基本圖形（源自教材）出發(fā)，遵循從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，逐步弱化條件，綜合三角形全等、相似及解直角三角形等核心數(shù)學(xué)知識. 在實(shí)際數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從試題的起點(diǎn)出發(fā)，關(guān)注試題的整體架構(gòu)，在數(shù)學(xué)活動中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，不斷優(yōu)化解題思路，通過優(yōu)化與類比促進(jìn)學(xué)生的深層次思考，提升思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.

1. 回歸原點(diǎn)，一以貫之

從試題的起點(diǎn)出發(fā)，注重解題思維的整體性、邏輯的連貫性，回歸試題原點(diǎn)，在共性求解的整體視角基礎(chǔ)上追求問題的“個(gè)性解”，從而快速找到解題最優(yōu)的路徑[2]. 很多學(xué)生之所以不能順利解答后兩問，除自身能力因素外，主要是解題過程中將前后幾問割裂開來，“各自為戰(zhàn)”，極大地增加了數(shù)學(xué)思維量，以致在短時(shí)間內(nèi)突破的可能性大大降低. 從解法1可以看出：第一問的意義和價(jià)值在于體現(xiàn)其“起點(diǎn)”的作用，給考生呈現(xiàn)一種探究式的解題思路（方法），這一思路（方法）在后幾問中往往可以“一以貫之”，使學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)順利解答. 因此，在解決幾何綜合題時(shí)教師要多引導(dǎo)學(xué)生回歸試題原點(diǎn)，整體關(guān)聯(lián)，從試題的起點(diǎn)探尋問題的突破口.

2. 構(gòu)建模型，優(yōu)化組合

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》針對數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)指出：充分考慮數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì);在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程[1]. 在實(shí)際解題中，數(shù)學(xué)問題往往不是一個(gè)單一的幾何模型，而是多個(gè)模型的疊加. 我們要耐心觀察，仔細(xì)分析，尋找多個(gè)模型之間的“交叉點(diǎn)”[3]. 解法1就是在實(shí)際背景中直接借助（1）中的旋轉(zhuǎn)模型“一以貫之”，實(shí)現(xiàn)思維的傳承，提高了解題的效率;解法2則將“一線三等角”“子母三角形”等模型優(yōu)化組合，再通過解直角三角形（相似），同樣能完成證明及解答.

3. 提煉信息，本質(zhì)關(guān)聯(lián)

基于核心素養(yǎng)考查的數(shù)學(xué)命題往往會將各種數(shù)學(xué)信息通過創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境置于試題之中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在準(zhǔn)確地搜集、整理并提煉出其中的重要信息的過程中抓住這些信息之間的本質(zhì)聯(lián)系，從而尋找解決問題的途徑. 如上面求解最后一問時(shí)，僅抓住“中點(diǎn)”這一信息，解法3通過射影定理轉(zhuǎn)化證明三角形相似，進(jìn)而證明角相等，直接計(jì)算結(jié)果;解法4和解法5都是借助“中點(diǎn)”構(gòu)造中位線轉(zhuǎn)化求解. 學(xué)生在信息提煉的過程中抓住問題的本質(zhì)特征，準(zhǔn)確探尋信息之間的關(guān)聯(lián)，從中感悟解題思路的整體性和方法的一般性.

結(jié)語

在實(shí)際數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從試題的起點(diǎn)出發(fā)，關(guān)注試題的整體架構(gòu)，注重解題思維的整體性、邏輯的連貫性，不斷優(yōu)化解題思路，促進(jìn)學(xué)生的深層次思考，提升思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 曹鳳山. 回歸原點(diǎn)——化解解題頑癥、突破解題教學(xué)困境[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（29）：1.

[3] 劉光華. 巧“構(gòu)”幾何模型 妙解倍角問題——一道數(shù)學(xué)試題的解法再研究[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2019（4）：39-40.