回歸起點　一以貫之

[摘? 要] 數學試題的設計往往會呈現不同數學知識與數學思想方法之間的關聯，從而揭示數學知識的整體性和解題方法的一般性. 在實際數學解題教學過程中，教師要善于引導學生從試題的起點出發，關注試題的整體架構，不斷優化解題思路，促進學生的深層次思考，提升思維品質，培養學生的創造性思維能力.

[關鍵詞] 整體;原點;關聯;一以貫之

試題來源

本題選自2019年武漢市中考數學第23題，其中第（1）問取材于人教版九年級上冊第70頁第7題圖形的變換. 本題第（1）問利用該變換模型設計成一個簡單的三角形全等證明，既注重了核心基礎知識的考查，同時熟悉的幾何圖形又能穩定學生的考試情緒，增強考試信心. 后兩問都緊緊圍繞第一問的基本圖形，在去掉旋轉后的△BCN的基礎上弱化條件（特殊到一般），層層深入，層次分明. 試題注重學生對所學知識的理解，促使學生體會數學知識與方法之間的關聯. 揭示知識的數學實質及其體現的數學思想，幫助學生理清相關知識之間的區別和聯系等[1]，充分體現了試題“源于教材，高于教材”的命題指導思想.

試題呈現

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，=n，M是BC邊上一點，連接AM.

（1）如圖1，若n=1，N是AB延長線上一點，CN與AM垂直. 求證：BM=BN;

（2）過點B作BP⊥AM，P為垂足，連接CP并延長交AB于點Q.

①如圖2，若n=1，求證：=;

②如圖3，若M是BC的中點，直接寫出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示）.

試題評析

本題的第（1）問本質就是將△ABM繞點B順時針旋轉90°得到△BCN，學生理清題意直接利用條件證明△ABM≌△CBN即可.

本題的重點和難點是第（2）問中兩小問的解答. 顯然，第（2）問中兩小問的圖形均去掉了（1）中△ABM繞點B順時針旋轉得到的△BCN，給人的第一印象是前后相互關聯不大，很多學生做第（2）問時就完全不考慮第（1）問這一特殊證明在本題中的作用，直接另起爐灶 “單干”，將一道題拆分為三道題去做. 雖然也有學生能夠有效解答，但極大地增加了思維量，在中考這樣的大型考試及嚴格的時間限制下很多優秀學生沒能順利完成解答. 下面就第（2）問中兩小問（重點是最后一問）的解法及思考進行探討.

評析：本題第（1）問給出一個非常簡單的全等模型，學生也很容易上手，但從第（2）問就沒有了前面的全等模型，結論也變為求線段的比，大部分學生就束手無策了. 而解決這兩問的關鍵是條件“過點B作BP⊥AM”與第（1）問中全等模型之間的關聯. 通過分析發現，第（1）問中的兩個全等三角形中的一組對應邊AM，CN除長度相等外，在位置上還存在著相互垂直的關系，再加上“BP⊥AM”，即CN∥BP，第①問的結論中正好在這組平行線之間，因此只需將第（1）問的模型補齊就能順利解決;第②問求三角函數，看似與前面關聯不大，但仔細比較，可以發現僅僅是弱化了第①問中“n=1”這一條件，回歸起點，延續第①問的基本圖形及思想方法，即可順利完成解答.

評析：第①問在巧妙利用結論中證明“比例線段”中比的分點P，通過作平行線構造“X”型相似圖形的同時，恰好形成“一線三等角”模型，先通過“X”型相似將轉換為，而在“一線三等角”模型中通過△BCD≌△ABM直接轉換線段CD即可;第②問求三角函數，直接利用①中的思路從結論入手，借助M是BC的中點作CF⊥BD于點F，同時也將∠BPQ的對頂角∠CPF放在直角三角形中，再通過三角函數亦可直接求解，也避免了思維的跳躍.

評析：以上僅僅是最后一問的三種不同解答，這三種解答都可以不考慮前兩問中解決問題的思路與方法，僅僅從本題的內部條件進行挖掘，充分利用“中點”這一重要信息. 其中解法3直接利用中點疊加子母三角形轉化相似三角形證明∠BPQ=∠BAC，無須添加輔助線直接解答;解法4、解法5都是借助中點構造中位線的同時很好地將要求的三角函數的角“放在”了直角三角形中，將條件巧妙地“關聯”在一起.

題后反思

數學知識之間存在一定的邏輯順序，試題的設計往往會呈現不同數學知識與數學思想方法之間的關聯，從而揭示數學知識的整體性和解題方法的一般性. 本題從學生常見的數學基本圖形（源自教材）出發，遵循從特殊到一般的數學思想，逐步弱化條件，綜合三角形全等、相似及解直角三角形等核心數學知識. 在實際數學解題教學過程中，教師要善于引導學生從試題的起點出發，關注試題的整體架構，在數學活動中激發學生的學習興趣，不斷優化解題思路，通過優化與類比促進學生的深層次思考，提升思維品質，培養學生的創造性思維能力.

1. 回歸原點，一以貫之

從試題的起點出發，注重解題思維的整體性、邏輯的連貫性，回歸試題原點，在共性求解的整體視角基礎上追求問題的“個性解”，從而快速找到解題最優的路徑[2]. 很多學生之所以不能順利解答后兩問，除自身能力因素外，主要是解題過程中將前后幾問割裂開來，“各自為戰”，極大地增加了數學思維量，以致在短時間內突破的可能性大大降低. 從解法1可以看出：第一問的意義和價值在于體現其“起點”的作用，給考生呈現一種探究式的解題思路（方法），這一思路（方法）在后幾問中往往可以“一以貫之”，使學生在規定時間內順利解答. 因此，在解決幾何綜合題時教師要多引導學生回歸試題原點，整體關聯，從試題的起點探尋問題的突破口.

2. 構建模型，優化組合

《義務教育數學課程標準（2011年版）》針對數學課程設計指出：充分考慮數學本身的特點，體現數學的實質;在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程[1]. 在實際解題中，數學問題往往不是一個單一的幾何模型，而是多個模型的疊加. 我們要耐心觀察，仔細分析，尋找多個模型之間的“交叉點”[3]. 解法1就是在實際背景中直接借助（1）中的旋轉模型“一以貫之”，實現思維的傳承，提高了解題的效率;解法2則將“一線三等角”“子母三角形”等模型優化組合，再通過解直角三角形（相似），同樣能完成證明及解答.

3. 提煉信息，本質關聯

基于核心素養考查的數學命題往往會將各種數學信息通過創設適當的問題情境置于試題之中，教師要引導學生在準確地搜集、整理并提煉出其中的重要信息的過程中抓住這些信息之間的本質聯系，從而尋找解決問題的途徑. 如上面求解最后一問時，僅抓住“中點”這一信息，解法3通過射影定理轉化證明三角形相似，進而證明角相等，直接計算結果;解法4和解法5都是借助“中點”構造中位線轉化求解. 學生在信息提煉的過程中抓住問題的本質特征，準確探尋信息之間的關聯，從中感悟解題思路的整體性和方法的一般性.

結語

在實際數學解題教學過程中，教師要善于引導學生從試題的起點出發，關注試題的整體架構，注重解題思維的整體性、邏輯的連貫性，不斷優化解題思路，促進學生的深層次思考，提升思維品質，培養學生的創造性思維能力.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 曹鳳山. 回歸原點——化解解題頑癥、突破解題教學困境[J]. 中學數學教學參考，2020（29）：1.

[3] 劉光華. 巧“構”幾何模型 妙解倍角問題——一道數學試題的解法再研究[J]. 中學數學教學，2019（4）：39-40.