構造全等妙解紛呈　相似變換錦上添花

羅靜　何貽勇

[摘? 要] 在重慶中考試題中，幾何證明綜合題主要考查了在基本幾何圖形變換（平移、旋轉、軸對稱）背景下，構造全等證明線段、角的數量關系. 學生通常需要在熟悉基本幾何圖形及輔助線添加的基礎上，將幾何綜合題目條件分解為基本幾何模型、基本幾何問題的條件，將之轉化為若干個基本幾何圖形或者可與基本圖形、方法、模型類比的簡單問題，從而使問題得到解決. 初中幾何證明主要利用全等解決問題，而全等是特殊的相似，其相似比為1∶1，即大部分全等的幾何綜合問題可以結合幾何問題背景，借助相似模型解決.

[關鍵詞] 全等;相似;構造;模型

新課標要求教師在教學中鼓勵學生自主探索，引導學生主動參與觀察、實驗、猜測、驗證、推理和交流等教學活動，從而使學生形成對數學知識的理解和有效的學習策略.學生通過自主觀察幾何圖形，探索相似（全等）的判定條件，讓思維在解題課堂教學中得到發展，能更好地體現出模型思維的優越性.下面筆者結合一道中考中典型的幾何證明問題的探究，與同仁交流分享.

問題分析

本題圖形是由兩個等邊三角形共頂點旋轉所得圖形，圖形的特征為“共頂點、等頂角、雙等腰、異手連”，即為含有共點等角定比手拉手模型，涉及中點、全等、相似的考查，當然由于圖形的特殊性，也可以看成是共點補角定比頭頂頭模型或者共點補角定比腳蹬腳模型.不同學情的學生對問題的理解不同、分析不同、思路不同、很容易造成“解法眾多”而“眾法難尋”的局面. 通常來看，學生思路多樣，但理不清解題思路痕跡，找不到最優解題方法，很容易導致解題過程中大費周折，解題效率不高，沒有好的解題準確度和速度.為了整體提升學生思維發展的深度和廣度，明確思維發展方向，筆者對這道題的解法進行了梳理與對照研究.

解法探究

1. 構造全等，繡妙解之“錦”

視角1：直接構造中位線——全等變換

通過以上兩種視角，從題干里的“中點”這個“題眼”作為切入點找到突破口，給出了相對應的兩種方法和思路，即利用中點發現“中位線”促進全等三角形的構造，產生了一個等邊△GMF，解決了線段間的數量和位置關系問題.本題中的圖形是中點模型、相似模型、旋轉全等模型等的重疊，每一個條件的關聯都是聯想點，也都是聯想思維的觸角，比如：分別取AC，AB的中點，連線構造“斜中半”+中位線+等角;分別取AC，AB，AD的中點，再連線構造腳蹬腳模型;分別取AB，AE的中點，利用倍長中線法構造腳蹬腳模型;利用一線三直角法構造腳蹬腳模型;構造腳蹬腳和手拉手組合模型等. 由于每個條件的幾何位置的對稱性，導致了在方法和思維上都存在思考痕跡的對稱性，而其數學本質都是構造全等三角形.

2. 相似變換，添錦上之“花”

視角3：線段倍分關系——相似變換

解：如圖4，取AD中點H，連接FH，GH.

視角3中相似變換的構造也可以與中位線、斜中半、倍長中線等組合起來，共同發揮作用，也就是利用幾何圖形的整體圖形觀構造相似，共同概括中間的煩瑣推理證明，其本質就是利用相似直接證明結論，其解題效率可謂是錦上添花. 幾何綜合證明題有兩大特點，一是難，即幾何圖形較復雜，綜合性強;二是多，即考查知識點較多，且方法多. 常用方法有兩個，一是從不同角度尋找已知與結論之間的關聯，分析問題的解決思路，比如：已知中點或結論中線段的倍數關系，找中點的相關知識點;二是從模型角度解決問題，根據背景圖形的特點尋找與之匹配的基本幾何模型，本題中常見的模型有手拉手模型、腳蹬腳模型等.

問題變式

1. 減弱條件，考慮一個等腰三角形的情形

將其中一個等邊三角形減弱成一個等腰三角形，使得幾何圖形一般化，但是結論仍然成立. 解決這樣的探究問題，只需要根據特殊圖形的研究痕跡繼續再研究即可，這里的痕跡即尋找思路的套路、添加輔助線的思考過程、書面表達所用的數學符號語言、所有方法的對照選擇等都幾乎一樣.

如圖5，△ABC是等邊三角形，△BDE是頂角為120°的等腰三角形，BD=DE，連接CD，AE. 若點F是AE的中點，連接CF，DF，求證：CD=2DF.

解：如圖6，取BE中點H，連接DH，FH.

因為FH是△ABE的中位線，即FH∥AB，且FH=AB，所以FH=BC. 又因為BD=DE，所以DH⊥BE.

在Rt△BDE中，∠DBE=30°，即DH=BD.

又∠DHF=90°+∠BHF=90°+180°-∠ABE=270°-∠ABE，

∠CBD=360°-90°-∠ABE=270°-∠ABE，即△DHF∽△DBC，故DF=CD.

2. 類比條件，考慮兩個等腰直角三角形的情形

將兩個等邊三角形變為兩個等腰直角三角形，結論仍然成立.

如圖7，在△ABC和△ADE中，∠AED=∠BAC=90°，AB=AC，AE=DE，當A，C，D不在同一直線上時，連接CD，BD，F為CD的中點，連接EF，求證：EF=BD.

探究同類型問題時，也只需要根據特殊圖形的研究痕跡繼續再研究即可，這里的痕跡即尋找思路的套路、添加輔助線的思考過程、書面表達所用的數學符號語言、所有方法的對照選擇等也都還是幾乎一樣. 比如：如圖8所示，利用中點條件倍長中線，構造手拉手模型，取BC中點M，連接MF，倍長MF至點N，連接DN，AM，EM，EN.易證△MCF≌△NDF（SAS），有CM=DN，在Rt△ABC中，由“斜中半定理”得AM=CM，所以AM=DN. 易證明MF=BD=MN，四邊形BMND為平行四邊形. 如圖9，延長BC交DE于點Q，延長ND，由∠AMQ=∠AEQ=90°得∠EAM+∠EQM=180°，且∠EQM+∠BQD=180°，所以∠EAM=∠BQD. 又因為∠EDN=∠BQD，所以∠EDN=∠EAM，即△EAM≌△EDN（SAS）. 所以∠AEM=∠DEN，△MEN為等腰直角三角形. 所以EF=MN，MF=EF=BD. 當然，也可以利用中點構造中位線. 如圖10，構造手拉手中位線，倍長DE至點K，連接CK，AK，即EF為△CDK的中位線，有EF=CK. 由AE=KE=DE得△ADK為直角三角形，∠ADK=45°，故△ADK為等腰直角三角形. 所以∠KAC=∠DAB，AD=AK，易判斷△AKC≌△ADB（SAS），于是有CK=BD，即EF=BD. 綜上闡述了各種方法，下面利用結論=構造相似的方法更加直接、簡捷.

解：如圖11，由“三線合一”+“斜中半定理”可知，取AD的中點H，連接EH，HF，即HF為△ACD的中位線，HF=AC，而在Rt△ADE中，由“斜中半定理”得HE=AD. 又∠BAD=∠EHF=90°+∠CAD，△EHF∽△DAB，故EF=BD.

解題反思

全等和相似是平面幾何中研究幾何形的兩種重要方法，全等形是相似比為1∶1的特殊相似形，相似形則是全等形的推廣. 因而學習相似形要隨時與全等形做比較，明確它們之間的聯系與區別;相似形的討論又是以全等形的相關定理為基礎的. 通過對以上構造全等及相似變換進行對比發現：相似變換輔助線更簡單;相似變換過程更簡捷;相似變換思路更清晰;利用四點共圓尋找相似條件能提高解題的速度，再舉一個例子來說明.

如圖12，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是AB外一動點，連接AD，把AD繞點A逆時針旋轉90°，得到AE，連接CE，DE. BC與DE交于點F，且AB⊥BD. 若點H，G分別為線段CF，AE的中點，連接HG，求證：HG=BF. 如圖13所示，取AC中點M，連接GM，MH，AF，易證△EAC≌△DAB（SAS），接下來依次證F，D，B，A和E，C，F，A四點共圓，易證△GMH∽△BDF，即 HG=BF.

解幾何證明題的一般思路方法有：一是從“已知”和“基本事實”入手，由因索果，通過推理論證得出結論;二是從“結論”入手，執果求因，通過分析，不斷地尋求結論成立的條件，一直追溯到題目中的“已知”和“基本事實”;三是從“已知”“基本事實”“結論”入手，通過分析尋找它們之間邏輯關系的“橋”，使整個邏輯思維清晰地流淌在思考過程中. 在平時解題教學中，教師應從條件、結論的加強和減弱來變式教學，讓學生進入深度學習的狀態，進而研究透一類題. 構造全等和相似變換時，添加輔助線為相似創造條件時，要教清楚“為什么添加輔助線”“怎樣添加輔助線”這兩個問題. 相似所得到等角、等邊以及線段的比例關系往往可以繼續運用到邊角數量關系的證明中，從而為證明下一次的相似或進行相關的計算服務. 通常作平行線、垂線、中線、延長線、構造圓等來尋找相似條件.

在解題教學備課中，教師要善于拆分由基本幾何圖形組合而成的綜合圖，即分解題目的解題模塊，再從解題模塊中尋找幾何構成元素之間豐富的數量關系和位置關系. 在平時的課堂教學中，教師應明確“相似三角形的條件特征觀察，多樣的思路證法選擇”是教學中的難點，應注重平行定理（母定理）、母子型相似、一線三等角型相似、四點共圓型相似等模型的歸納學習，還應著力培養學生發現或構造基本幾何圖形并運用它解決問題的能力.