一道幾何題的小思考

倪建

[摘? 要] 解題能力是數學教師的一項必備的專業能力，但由于一些原因，很多教師卻忽略了. 通過對一些有難度的習題的練習及閱讀期刊，可以保持甚至提高教師的解題能力，有助于教師評定更高一級的職稱.

[關鍵詞] 幾何題;解題能力;閱讀

解題能力是數學教師的一項必備的專業能力. 對思維能力要求較高的問題進行探究思考，有助于教師解題能力和專業素養的提升. 教師的解題能力很重要，它直接影響了教師的解題教學，最終影響學生的數學學習. 最近同事參加高級職稱筆試后問了筆者一道試題，有一定的難度，現對問題進行深入思考.

問題呈現

如圖1，已知菱形ABCD的邊長為a，P為對角線AC上的一個動點，∠BAD=30°，求PA+PB+PD的最小值.

問題解法探究

解法1：數形結合，建立坐標系，將幾何問題轉化為代數問題. 如圖2，設OP=x，設f（x）=PA+PB+PD，則f（x）=acos15°-x+2，則f′（x）= -1+，令f′（x）=0，所以x=asin15°時，fmin（x）=acos15°+asin15°=2asin（15°+30°）=a.

分析：題目中的條件30°并不好用，所以想著簡單一些，直接建立坐標系，將PA，PB，PD用未知量表示出來，轉化為函數的最值問題. 此方法應用了一些高中的數學知識（求導，三角函數），雖然解決了問題，但總感覺“違規”，筆者想著肯定有更初等的方法.

解法2：利用菱形的軸對稱性，得PB=PD，進而將問題轉化為PA+2PB，即PA+PB. 聯想將軍飲馬問題，利用30°這個特殊角和之間的關系可以給出下列解法. 如圖3，作∠PAE=30°，PF⊥AE，則PF=PA，所以PA+PB=PF+PB. 當B，P，F三點共線時，（PF+PB）min=BG，因為∠BAE=45°，所以BG=AB=a. 所以PA+PB+PD=PA+2PB=2BG=a.

分析：利用菱形的軸對稱性，將問題轉化為λPA+PB，巧妙地應用了30°，解決了問題，有“運氣”的成分. 筆者查閱了相關文章[1]，知道了這是個經典模型，關于直線的胡不歸問題，關于圓的阿氏圓問題，最終都是轉化為兩點之間線段最短的問題. 文中還提到了費馬點，三角形內部一點到三個頂點距離之和最小問題，可通過將某一個三角形旋轉60°，將三條線段和最小的問題轉化為兩點之間線段最短的問題.

解法3：要想出現三角形，連接BD即可，隨著點P在線段AC上自上而下運動，PA一直在增大，PB，PD先減小后增大，所以滿足題意的點P在△ABD內部，要求PA+PB+PD的最小值，其實就是△ABD的費馬點問題. 由費馬點的結論可知，當∠APB=∠APD=∠BPD=120°時，PA+PB+PD值最小. 如圖4，∠BPO=60°，所以PO=asin15°，問題轉化為解法1，（PA+PB+PD）min=a.

感悟

1. 數學教師通常都很忙碌，如日常教學、批改作業、找學生訂正作業，輔差. 同時還有很多數學教師當班主任，那就更忙了. 他們往往忽視了自己專業上的發展，很少去解難題、寫文章、做課題. 他們是學校發展的主力軍，在專業上停滯不前著實可惜. 這位同事最終沒有評上高級職稱，挺令人惋惜的，所以教師們要關注自己的專業發展，多解難題，如中考壓軸題，以提高解題能力. 除了解題，還要研究解題教學，研究怎樣講授習題，使學生更容易理解.

2. 讀專業的數學雜志有助于教師更快地提高專業素養，閉門造車斷不可取. 筆者給出解法2屬于靈光乍現，殊不知此類問題已有前人總結，即胡不歸問題. 雜志上的文章都是精品，有優秀的數學同仁對教學經驗的總結，也有極好的數學解題思想方法. 筆者也是因為查閱雜志才了解了胡不歸問題、費馬點問題，開卷有益. “要給學生一滴水，老師就需要有一碗水.”教師要多閱讀、多反思，逐漸提升自身數學素養，并最終服務于日常教學，提升課堂教學的效果. 與此同時，教師也就減少了課下輔導學生的時間，用這些時間從事專業發展，形成良性循環.

參考文獻：

[1] 周楊. 線段最值問題的難點突破[J].初中數學教與學，2020（19）：22-25.