洞悉旋轉本質　巧構模型破題

沈岳夫

[摘? 要] 旋轉問題是中考數(shù)學的重點題型，以其為基礎命制的綜合題一般會以壓軸題的形式出現(xiàn)，此類問題具有圖形復雜、形式多樣、綜合性強等特點. 因此，對此類問題進行剖析和方法總結就顯得格外重要. 文章以兩類旋轉綜合題為例展開探索，借助“旋轉”本質，通過合理的構圖，化無序為有序、化隱為顯，與讀者交流.

[關鍵詞] 旋轉問題;挖掘模型;中考試題

綜觀2020年各地的中考試卷，有兩類旋轉型的中考題引起筆者的注意，這些試題雖然以熟悉的幾何圖形為背景，但思維含量高、難度大，涉及的知識點較多，涉及的知識面廣，成為整卷的拉分題. 那么如何化解，如何識別隱藏的模型，如何化陌生為熟悉等，筆者特以兩類有代表性的中考試題為例，對其進行分類剖析，望能對教學有所啟迪和幫助.

全等旋轉藏等腰，等角定弦圓相助

例1 （2020年湖北十堰24題）如圖1，已知△ABC≌△EBD，∠ACB=∠EDB=90°，點D在AB上，連接CD并延長交AE于點F.

（1）猜想：線段AF與EF的數(shù)量關系為______;

（2）探究：若將圖1的△EBD繞點B順時針方向旋轉，當∠CBE小于180°時，得到圖2，連接CD并延長交AE于點F，則（1）中的結論是否還成立？若成立，請證明;若不成立，請說明理由;

（3）拓展：圖1中，過點E作EG⊥CB，垂足為點G. 當∠ABC的大小發(fā)生變化，其他條件不變時，若∠EBG=∠BAE，BC=6，直接寫出AB的長.

解析 （1）答案應為：AF=EF.

（2）AF=EF仍然成立，理由如下：

1. 輔“直”解法

思路1：如圖3，分別過點A，E作AM⊥CF，EN⊥CF，垂足分別為M，N. 由旋轉可知AC=DE，BC=BD，所以∠BCD=∠BDC，于是∠ACD=∠EDN. 接著證明△AMC≌△END，可得AM=EN，進而再證△AMF≌△ENF，所以AF=EF.

思路2：如圖4，延長DF到G，并使FG=DC，連接GE.由旋轉可知AC=DE，BC=BD，所以∠BCD=∠BDC，于是∠ACD=∠EDG. 接著證明△ACF≌△EDG，于是AF=EG，進而由∠DGE=∠CFA=∠EFG得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF.

2. 輔“曲”解法

思路3：如圖5，由旋轉可知BC=BD，BA=BE，且∠CBD=∠ABE，可得∠BCD=∠BAE. 連接BF，則B，C，A，F(xiàn)“四點共圓”，由于∠ACB=90°，所以AB是直徑. 進而可知∠AFB=90°，所以AF=EF.

（3）AB的長為12或6（-1）. 分兩種情況討論：

當AC>BC，如圖6，由旋轉可知BA=BE，所以∠BEA=∠BAE=∠EBG. 于是可證四邊形AEGC為矩形，進一步可證∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，所以AB=2BC=12.

當BC>AC，如圖7，由旋轉可知BA=BE，所以∠BEA=∠BAE=∠EBG. 于是可證△BAE∽△HBE，進一步可證∠AHC=∠ABC=∠EBD=36°，于是△HBE是黃金三角形，點A是黃金分割點，所以==，即=. 所以AB=6（-1）.

解題反思 證明兩條線段相等，最常用的方法是證明線段所在的三角形全等. 如本題第（1）（2）兩小題，根據(jù)旋轉的性質得到AC=DE，∠ACD=∠EDF，所以以此為切口展開聯(lián)想，比如圖3是基于AC=DE，∠ACB=∠EDB=90°構造三角形全等，圖4是基于AC=DE，∠ACD=∠EDF構造三角形全等，圖5是基于∠BCD=∠BAE構造“輔助圓”等，其中圖5的構造（輔“曲”解法）是另辟蹊徑，簡單明了，對解題起到事半功倍的效果;第（3）小題是以思維為經絡，以運算為骨骼進行了一次有機的結合，需要學生領悟已搭建起的橋梁，借此問順勢而為，可通過分類構造出圖6（矩形）、圖7（黃金等腰三角形）的特殊圖形，進而類比探求.

類題鞏固 （2019年福建莆田24題）如圖8，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，將△ABC繞點A逆時針旋轉，得到△ADE，旋轉角為α（0°<α<90°），連接BD，設BD的延長線交CE于點F.

（1）如圖9，當α=45°時，求證：CF=EF;

（2）在旋轉過程中，

①問（1）中的結論是否仍然成立？證明你的結論;

②連接CD，當△CDF為等腰直角三角形時，求tan的值.

解法提示 第2問中的第①小問比例1更特殊，是典型的等腰直角三角形的旋轉問題，應充分利用45°角的“特殊功能”，借助平行線、全等三角形、等腰三角形、圓等圖形的諸多性質，添加不同的輔助線助力解題，因而可仿照例1提供的方法解決問題;第②小問，可秉承相關思路和解法，抓住∠BFC=∠BAC=45°（用“輔曲解法”推知）的這一隱含信息，勾畫出∠CDF=90°或∠FCD=90°的相關圖形，進而分類探求出tan=或.

相似旋轉伴中點，巧借中點來破解

例2 （2020年遼寧葫蘆島25題）在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC=∠BEC=90°，BC<CD，將△BEC繞點C逆時針旋轉，連接AB，點O為線段AB的中點，連接DO，EO.

（1）如圖10，當點B旋轉到CD邊上時，請直接寫出線段DO與EO的位置關系和數(shù)量關系;

（2）如圖11，當點B旋轉到AC邊上時，（1）中的結論是否成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由;

（3）若BC=4，CD=2，在△BEC繞點C逆時針旋轉的過程中，當∠ACB=60°時，請直接寫出線段OD的長.

解析 （1）答案應為： DO⊥EO，DO=EO.

（2）由第（1）問的特殊性、直觀性，要悟出解題的真諦，找準“中點”的生長點，如等腰三角形遇中點——三線合一;直角三角形遇中點——斜中線定理;中點遇中點——中位線定理;中線倍長法等，就此題而言，當我們看到圖12時（P是AB的中點），你會怎么處理？

我們是不是不由自主地想要讓它變成圖13（構造DP=CP，使P為CD的中點）或圖14（構造CD=BC，使C為BD的中點）？當解題的思路理清了，解答第（1）（2）兩問的方法就明了了.

思路1：如圖15，延長EO到點M，使OM=OE，連接AM，DM，DE，由題意可證△OAM≌△OBE，進一步可得∠MAD=90°=∠ECD，然后可證△DAM≌△DCE，于是∠MDE=90°，即可證明DO⊥EO，DO=EO成立.

思路2：如圖16，延長EB交AD于點F，于是可證四邊形CEFD為矩形，進而可證△OFD≌△OBE，即可證明DO⊥EO，DO=EO成立.

思路3：如圖17，過點B作BF∥AD，與DO的延長線交于點F，連接EF，DE，則△OAD≌△OBF，進而可證△EBF≌△ECD，即可證明DO⊥EO，DO=EO成立.

（3）OD的長為2或2. 分兩種情況討論：

當CB與CD在AC的同側時，如圖18，延長AD到點G，使DG=AD，連接BG，GC，則OD是△ABG的中位線.過點B作BF⊥CG，垂足為點F.由題意知∠BCF=30°，而GC=4，于是進一步可得BG=BC=4，所以OD=BG=2.

當CB與CD在AC的異側時，如圖19，延長AD到點G，使DG=AD，連接BG，GC，則OD是△ABG的中位線. 過點B作BF⊥CG，垂足為點F. 由題意知∠BCF=30°，而GC=4，于是進一步可得BG=4，所以OD=BG=2.

解題反思 此題立足于中點的暢想進行施策構圖，如圖15基于構造中心對稱三角形全等來證明，圖16基于斜中線定理的角度思考問題，圖17基于∠DAO=∠OBF=45°，進而構造“手拉手”三角形全等來解決問題，因而善于捕捉信息、抽象和歸類建模是解決問題的關鍵;第（3）小題峰回路轉，難度增大，需要將解題過程中得到的方法、策略和思想進行內化，這就需要考生有較強的轉化能力、良好的構圖意識.由此可見，通過輔助線的添加激活已知條件，揭示問題本質，體會到數(shù)的精準、形的靈動，解法多樣，精彩紛呈.真所謂“腦中有中點，心中有模型”，解法自然來.

類題鞏固 （2019年遼寧·沈陽卷）思維啟迪：

（1）如圖20，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小亮想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長，聰明的小亮想出一個辦法：先在地上取一個可以直接到達B點的點C，連接BC，取BC的中點P（點P可以直接到達A點），利用工具過點C作CD∥AB交AP的延長線于點D，此時測得CD=200米，那么A，B間的距離是__________米.

思維探索：

（2）在△ABC和△ADE中，AC=BC，AE=DE，且AE<AC，∠ACB=∠AED=90°，將△ADE繞點A順時針方向旋轉，把點E在AC邊上時△ADE的位置作為起始位置（此時點B和點D位于AC的兩側），設旋轉角為α，連接BD，點P是線段BD的中點，連接PC，PE.

①如圖21，當△ADE在起始位置時，猜想：PC與PE的數(shù)量關系和位置關系分別是__________;

②如圖22，當α=90°時，點D落在AB邊上，請判斷PC與PE的數(shù)量關系和位置關系，并證明你的結論;

③當α=150°時，若BC=3，DE=1，請直接寫出PC2的值.

解法提示 對于第（2）小題的①②問可分別構造出圖23、圖24，具體過程留給讀者思考.

③如圖25，作BF∥DE，交EP延長線于點F，連接CE，CF，過E點作EH⊥AC，交CA的延長線于點H.由②可得△FBP≌△EDP，而在五邊形ACBDE中，易求得∠CBP+∠PDE=210°，進而求得∠CBF=150°=∠CAE，于是證得△FCE是等腰直角三角形. 在Rt△AHE中，∠EAH=30°，AE=DE=1，則HE=，AH=，于是CH=3+，則EC2=CH2+HE2=10+3，所以PC2=EC2=. 由此看出，這種“補形”策略，是通過對題目的深入分析，或聯(lián)想，或轉化，挖掘知識模塊蘊含的思想方法，是一種經驗的“噴薄”. 讓人不禁感嘆，幾何構造之神奇，探索無止境.

綜上，通過對上述旋轉型中考試題的研究，筆者得到了一些啟發(fā)：當遇到一個難題，我們應該努力從已知條件中尋找通往未知的橋梁（輔助線、方法技巧），針對問題進行巧妙而準確的構圖. 通過構圖可以找到解決數(shù)學問題的多種途徑，搭建培養(yǎng)創(chuàng)新思維的絢麗舞臺，認清各條件之間的聯(lián)結紐帶，呈現(xiàn)簡明、形象的解題過程. 因此，在幾何教學中，教師一方面要引導學生總結與歸納典型問題的分析思路、解題方法及模型建構，幫助學生整理并形成相應的解題策略;另一方面也要鼓勵學生開展解后反思，使學生在解題中做到“思”之有形，“做”之有圖，“解”之有道，不斷提煉、積累解題方法，將所學的知識和方法內化吸收，從而真正提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng).