例析數(shù)列問(wèn)題中函數(shù)思想方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用

張 平

(廣東省珠海市實(shí)驗(yàn)中學(xué))

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,也是高考必考的知識(shí)點(diǎn).以數(shù)列知識(shí)為背景或載體,通過(guò)數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和相關(guān)問(wèn)題考查學(xué)生對(duì)數(shù)列知識(shí)和方法的掌握程度.相關(guān)數(shù)列問(wèn)題主要以求數(shù)列的項(xiàng)或比較項(xiàng)的大小、求數(shù)列不等式中參數(shù)的范圍、求數(shù)列相關(guān)的最值、數(shù)列不等式的證明等形式出現(xiàn),解題方法各不相同.下面,筆者結(jié)合具體的數(shù)列問(wèn)題談?wù)労瘮?shù)思想方法在研究和解決數(shù)列相關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用.

1 利用函數(shù)解析式求解

本題常規(guī)方法是利用ap＋aq＝ap＋q對(duì)任意的p,q∈N*恒成立的特性,通過(guò)賦值p＝1或q＝1將之轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求解,或通過(guò)反復(fù)迭代求解.本題通過(guò)對(duì)條件ap＋aq＝ap＋q的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行挖掘,結(jié)合特殊函數(shù)及其性質(zhì)構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),然后利用函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解.其他常用的形式如下,已知apaq＝ap＋q(p,q∈N*)可設(shè)an＝an(n∈N*),已知apq＝ap＋aq(p,q∈N*)可設(shè)an＝logan(a＞0,a≠1,n∈N*)等.

2 利用函數(shù)單調(diào)性求解

3 利用函數(shù)不等式求解

例5 (2018年浙江卷10理)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3),若a1＞1,則( ).

A.a1＜a3,a2＜a4B.a1＞a3,a2＜a4

C.a1＜a3,a2＞a4D.a1＞a3,a2＞a4

易知當(dāng)x＞0時(shí),lnx≤x－1恒成立,由a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3),得a1＋a2＋a3＋a4≤a1＋a2＋a3－1,從而a4≤－1,又a1＞1,可知公比q＜0.

若q≤－1,則a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1[1＋q(1＋q)]≥a1＞1,則ln(a1＋a2＋a3)＞0,但a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)(1＋q2)≤0,與已知矛盾;從而－1＜q＜0,此時(shí)a1－a3＝a1(1－q2)＞0,a2－a4＝a1q(1－q2)＜0,即a1＞a3,a2＜a4,故選B.

根據(jù)a1＞1 及選項(xiàng)知求解本題的關(guān)鍵是要借助a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)確定等比數(shù)列公比q的范圍,再利用通項(xiàng)公式比較項(xiàng)與項(xiàng)的大小關(guān)系,最終確定答案.但由條件a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)得到公比q的范圍并不是一件簡(jiǎn)單的事,因此利用lnx≤x－1(x＞0)這一結(jié)論得到公比q的大致范圍,并通過(guò)分類討論確定公比q滿足－1＜q＜0,由此得出答案.另外本題還可結(jié)合選項(xiàng)直接對(duì)公比q的范圍進(jìn)行分類(q＜－1,－1＜q＜0,0＜q＜1,q＞1)求解,也可利用函數(shù)不等式ex≥x＋1求解.

4 數(shù)列不等式的證明

數(shù)列是特殊的函數(shù),在求解數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題時(shí),若能根據(jù)已知條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,借助函數(shù)的方法與策略求解,可以拓寬解決數(shù)列問(wèn)題的途徑與手段,同時(shí),還能提高知識(shí)的綜合應(yīng)用能力與解題能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).