串并聯法在計算非均勻介質電容器中的應用及注意事項

孫松陽，孫秀平

(長春理工大學理學院，吉林 長春 130022)

0 引言

計算電容器時，除了定義式之外，串并聯法是常用方法。當電容器導體板之間出現非均勻介質時，學生們往往會憑直覺來判斷串聯還是并聯，即使做對了也不清楚原理，在于缺乏判斷的依據。許多文獻中對此問題也沒有詳述[1-3]。本文從趙凱華的《電磁學》例題[1]出發，詳細推導出串聯公式和并聯公式，然后推導出非均勻介質下串聯和并聯的計算公式，并應用到一個例子中，有助于計算更復雜結構的電容器。

1 一道習題引出的問題：串聯還是并聯？

《電磁學》第二章第三節中習題2.3-13 如圖1（a）所示：一平行板電容器兩極板的面積都是S，相距為d，在其間平行地插入厚度為t、相對介電常數為ε的均勻介質，其面積為S/2，求它的電容。學生在計算電容時，出現了兩種情況：一是圖1（a）的方式，把左邊部分看作C1和C2的串聯，與右邊的C3并聯，結果是：

圖1 串并聯電容器示意圖

另一種是圖1（b）的方式，先把下邊部分看作C1和C2的并聯，再和上邊的C3串聯，結果是：

顯然，這兩種思路得到的結果并不相同，問題出在哪里呢？

2 電容器串并聯的條件和公式推導

在此給出電荷的分布情況和串并聯公式的詳細過程。如圖2（a），電容器C1、C2……Cn用導線連接起來，Ci的右極板與Ci+1 的左極板連接，C1的左極板及Cn的右極板連接到電路中。以C1和C2為例，利用導體的性質和高斯定理分析一下電荷分布情況。C1的左極板接到電路中，電量為Q，Q分布在C1的內側，由于靜電感應，C1的右極板和C2的左極板及其連線組成導體，C1的右極板和C2的左極板感應電荷分別為q1和q2，電荷分布在導體表面，q1和q2分布在對應極板的外側，極板上的電荷分布在圖2（a）中的粗線表示的面上，且q1+q2=0。如圖2a 中的閉合虛線所示，高斯面的上下面與電場線平行，左右面在導體中，通過它的電通量為0，根據高斯定理，q1+Q=0。所以q1=-Q，q2=Q。以此類推，每個電容器的左右極板電荷都是Q和-Q，且電荷分布在電容器的內側。根據電壓是電場的積分，整個電容器的電壓是U=U1+U2+…，其中Ci的電壓Ui=Q/Ci，根據U=Q/C=∑Q/Ci，得到總電容1/C=∑1/Ci，即串聯公式。可見，電容器串聯的前提是電容器串接處為等勢面。除了C1及Cn的極板之外，可以把圖2（a）中的由導線連接的兩個極板都合在一起，變成非常薄的導體板，如該圖2（b）所示，甚至可以把這些薄導體板去掉，并不影響電場分布與電容的大小。因此，在某個電容器電勢相同的地方可以插入任意薄導體板，其他導體板構成電容器，便于辨別出串聯的存在。

圖2 串并聯簡化圖

再來看一下并聯情況。如圖2（b）所示，電容器C1、C2……Cn，它們的上下極板分別連于同一根導線，形成一個總電容。所有電容器的電壓都相同，設上極板帶電荷量分別為Q1、Q2…，下極板帶有等量負電荷，總電量為Q=Q1+Q2+…，每個電容器滿足Qi=CiU，則總電容為C=Q/U=∑Qi/U=∑Ci，即并聯公式。同樣，我們也可以把上、下邊的極板組合在一起，分別構成兩個大的極板，并聯使電容器的極板面積變大。

3 分析習題中的串并聯問題

回到開篇的習題,圖1a 中左邊S/2 的上下部分都是均勻電場，分界面是等勢面，可以在此處插入薄導體，構成兩個電容器C1和C2，滿足串聯的條件，由于左邊串聯后的電容器與右邊S/2 電容器的極板并接，并接出電勢相同滿足并聯條件，所以圖1a 的先串聯后并聯的方式是正確的，結果與定義法一致。我們分析圖1b 的方式，由于圖1b 中C1和C2的電場不同，兩者高度一樣，C1和C2下邊電勢相等，上邊電勢不等，不滿足并聯條件，無法并接起來，如果在C1和C2的上邊插入薄導體板則會改變原來的電場和電容，所以圖1b 的方法不正確，結果也與定義法不同。如果圖1a 中不存在介質，兩種方法都成立，結果一致。

4 利用串并聯計算非均勻介質電容器的電容

我們以平行板電容器為例，推導出非均勻電介質情況下的電容公式。如圖3（a）所示，平行板電容器極板長a、寬b，間距為d，面積S=ab。建立平面坐標系，設相對介電常數ε是x，y的函數。任取柱形體積元，截面積為dxdy，體積元非常小，其內的電場均勻，可以作為平行板電容器處理，因平行板電容器的公式是在均勻電場下得到的。體積元的元電容為

圖3 非均勻介質電容器的串并聯

我們采用兩種方法處理。其一是沿著圖3（a）中的豎直虛線積分，滿足串聯條件，得到dCx，沿著x方向的電容dCx滿足并聯條件，利用并聯公式，得到電容

其二是沿著圖3（a）中的水平虛線積分，該虛線處并不一定電勢相等，我們仍然用并聯公式推導，得到dCy，沿著y 方向的電容dCy也不一定滿足串聯條件，仍用串聯公式推導得到

方法一在任何情況下都適用，方法二只有在等勢面與x軸平行時才能成立。

我們將平行板電容器中間的左上和右下部分填充兩種電介質，如圖3（b）、3（c）所示，以此為例驗證我們以上推導的公式。相對介電常數ε的分布函數為

我們先采用方一法計算電容器，如圖3（b）所示，根據公式（3）、（4）、（5）得到

我們再采用方法二計算電容器，如圖3c 所示，根據公式（3）、（6）、（7）得到

這說明該方法二只有在等勢面與x軸平行時才適用，可以參考文獻[3]的應用。

5 小結

本文指出串聯需要保證串接的相鄰電容器界面處為等勢面，等勢面處插入薄導體板作為輔助便于分析問題，并聯需要保證并接處為等勢面。我們的研究為串并聯法處理電容器時提供了規則，也有助于非均勻介質電容器的計算。