湘教版與人教A版高中數學建模內容比較研究

吳文斌 王潔 張炳意

【摘要】文章采用內容分析法和比較法，分析比較了湘教版和人教A版高中數學建模內容的異同，發現湘教版注重函數模型的綜合應用，數學建模專題注重建模活動的逐次開展，人教A版注重函數模型的直接應用，數學建模專題注重建模活動的整體開展；湘教版側重選擇與學生聯系密切的生活問題情境，人教A版側重選擇與數學聯系密切的科學問題情境；湘教版注重陳述句與開放式相結合的問題表述形式，人教A版注重疑問句與封閉式相結合的形式；湘教版重視自主發現問題和選擇數學模型解決問題，人教A版注重分析問題和應用已給模型解決問題。基于此，對湘教版建模內容提出整體把握數學建模活動的不同側重點，統整資源，選擇適合數學建模活動的情境與問題，整體設計突出數學建模活動的層次性，注重數學建模過程的完整性與活動性的使用建議。

【關鍵詞】湘教版；人教A版；數學建模；框架；分析建議

【中圖分類號】G633.6【文獻標志碼】A【文章編號】1004—0463（2022）05—0066—06

《普通高中數學課程標準》（2017年版）指出，數學建模能力是六大核心素養之一，并提倡教師要將數學建模活動與數學探究活動確定為高中數學課程內容的一條主線。依據《普通高中數學課程標準》（2017年版）編寫的高中數學教科書已經投入使用，數學建模內容的體例結構、編寫特色等是數學教師關注的問題，因此，有必要深入比較研究數學建模內容，為一線教師解讀建模內容、整合建模資源、開展建模教學提供參考。

選取2019年湖南教育出版社出版的普通高中數學必修教科書（簡稱湘教版）和人民教育出版社出版的普通高中數學必修教科書（簡稱人教 A版）為研究文本，以兩版教科書中數學建模內容為研究對象。

課程標準將數學建模素養定義為“對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養”，數學建模過程主要包括“在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型。”理解數學建模要把握三大要義，一是解決現實問題；二是將現實問題通過數學抽象轉化為數學問題；三是要經歷完整的建模過程。基于已有研究的分析框架，依據課程標準提出的概念框架，將數學建模內容分析框架確定為：內容分布、情境類型、問題表述、建模過程。

（一）內容分布

為了便于研究，只選取顯性形式呈現的建模內容進行分析，也就是教科書中帶有明顯的“模型”或“建模”文字表述的章節，從數學建模內容的呈現位置、建模問題數量、建議課時和頁數四個指標進行統計，其中建模問題是指教科書中符合數學建模要求的現實問題，這些問題通常以案例、例題、練習、習題、閱讀的形式呈現。內容分布情況如表1所示。

由表1可知，兩版教科書都在必修第一冊函數主題部分設置了“函數模型應用”，但在內容呈現位置、課時方面均有差異。湘教版“函數模型應用”分布在第4、5章，有9頁內容，共包含18個建模問題，計劃3課時。其中“4.5.2形形色色的函數模型”先給出了數學建模的定義和數學建模的四個步驟，然后通過實例，讓學生學會選擇合適的函數模型刻畫現實問題的變化規律；“4.5.5節三角函數模型的簡單應用”，選用簡諧振動（單擺）和勻速圓周運動兩個實例說明三角函數模型在實際問題中的應用。人教A版“函數模型應用”分布在第3、4、5章，有19頁內容，共包含48個建模問題，計劃6課時。其中“3.4函數的應用（一）”通過一些實例學習一次函數、二次函數、冪函數模型解決實際問題的過程和方法；“4.5.3函數模型的應用”結合四個實例，學習運用模型思想選擇恰當的函數模型刻畫不同的變化規律；5.6節學習利用三角函數知識刻畫“勻速圓周運動的數學模型”，“5.7節三角函數的應用”選用簡諧振動（彈簧振子）和交變電流兩個具體實例，說明三角函數模型的簡單應用。

兩版教科書都設置了“數學建模專題”，但在內容呈現位置、建模問題數量方面均有差異。湘教版“數學建模專題”安排在必修第二冊中，獨立成章，包括5小節內容，有23頁共19個建模問題，計劃6課時。5節內容主要包括數學模型及其作用、數學建模活動的基本過程、建立數學模型解決現實問題的全過程等。人教A版“數學建模專題”安排在必修第一冊中，沒有獨立設章，有5頁內容含5個建模問題，計劃3課時。內容以函數建模實例展現了構建數學模型解決實際問題的過程，給出了數學建模活動指導。

由以上梳理可知，湘教版與人教A版均在函數主題中設置了“函數模型應用”滲透建模思想，單獨設置了“數學建模專題”開展數學建模活動。兩版教科書在內容編排上各有特點，在“函數模型應用”上，湘教版注重滲透數學建模過程，強調函數模型的綜合應用；人教A版注重滲透數學建模思想，強調函數模型的直接應用。在“數學建模專題”上，湘教版注重數學建模活動的逐次開展，內容編排系統完整、案例豐富；人教A版注重數學建模活動的整體開展，內容編排緊湊、選題豐富。

（二）情境類型

“情境類型”是指教科書在組織和呈現數學建模問題時所使用的現實情境類型，依其來源可分為個人情境、社會情境、職業情境和科學情境。統計兩版教科書中數學建模問題情境類型，如表2所示。

由表2可知，兩版教科書建模問題選用科學情境的比例最大，而且人教A版高于湘教版。進一步分析發現，兩版教科書在科學情境選材上有差異：湘教版科學情境選材主要集中在物理情境上，重視數學與物理學的聯系，如單擺運動、勻速圓周運動、交變電流、萬有引力定律、自由落體運動等，讓學生體會用數學解決物理問題的實質；人教A版科學情境選材涉及學科較多，包括物理學、化學、生物學、醫學、天文學、心理學、環境科學、計算機科學情境，這表明人教A版建模問題情境類型多樣，注重數學與其他科學的聯系，能較好地體現數學的廣泛應用性。另外，湘教版設計的個人情境、社會情境、職業情境建模問題比例均高于人教A版，表明湘教版教科書注重選擇與學生實際生活密切相關的情境，如最佳射門、蜂房結構、估計產量等案例。

以上分析表明，雖然兩版教科書建模問題情境以科學情境為主，但在情境選擇上各有側重，湘教版側重選擇與學生聯系密切的生活問題情境，而人教A版側重選擇與數學聯系密切的科學問題情境。

（三）問題表述

現實問題的不同表述形式影響數學建模活動的開放程度。問題表述包括提出問題時所用的句式和所提問題的類型。其中，問題句式包括陳述句和疑問句，陳述句是直接陳述一個數學事實、任務或活動要求，句末一般用句號表示；疑問句用詢問或者反問等方式表述數學任務或活動要求，句末一般用問號表示。問題類型分為封閉式和開放式，封閉式的答案和解答方法唯一，開放式沒有預設的結論，所得結論是多元的，或者沒有規定學生使用某種方法或策略解決問題，其過程是多元的[1]。統計兩版教科書建模問題的表述形式，如表3所示。

由表3可知，從單一維度看，兩版教科書建模問題以陳述句為主，但湘教版建模問題的陳述句表述比例高于人教A版；湘教版開放式建模問題比例遠高于人教A版，人教A版封閉式建模問題比例遠高于湘教版。從雙重維度看，湘教版建模問題以“陳述句+開放式”形式表述的比例明顯高于人教A版，人教A版建模問題以“疑問句+封閉式”形式表述的比例明顯高于湘教版。

以上分析表明，湘教版建模問題表述形式注重“陳述句”與“開放式”的結合，這種表述形式使建模問題的條件和結論比較隱蔽，更符合數學建模的特征。人教A版建模問題表述形式注重“疑問句”與“封閉式”的結合，這種表述使數學問題更加明確，突出數學應用的特征。

（四）建模過程

建模過程是把現實世界中的實際問題提煉、抽象為數學模型，求出數學模型的解，驗證數學模型的合理性，并用數學模型提供的結論揭示實際問題的一種數學應用過程[2]。過程性是數學建模活動的核心要義，完整的數學建模過程包括五步：實際情境—提出問題與分析問題—建立模型與求解模型—檢驗結果—模型修正。本研究將這五步作為建模過程要素分析的步驟。第一步從情境的現實性進行分析；第二步從提出問題的方式和是否有詳細分析過程進行分析；第三步從數學模型是否已知進行分析；第四步從是否有模型檢驗過程進行分析；第五步從是否有模型修正過程進行分析。

本研究只選取“建立模型與求解模型”過程的建模問題為研究對象，比較分析兩版教科書篩選出23個建模問題，其中湘教版有10個，人教A版有13個。數學建模過程要素分析如表4所示。

由表4可知，湘教版建模問題的現實情境與虛擬情境數量比例均為50%，人教A版建模問題虛擬情境比例略高于現實情境；湘教版采用發現問題方式的比例高于人教A版，人教A版采用直接給出問題方式的比例明顯高于湘教版；湘教版有詳細分析過程的建模問題比例略高于人教A版，有分析過程但不詳細的建模問題比例人教A版高于湘教版；兩版教科書半數以上的建模問題需要選擇合適的數學模型，湘教版與人教A版的比例分別為80%、53.8%，但人教A版有46.2%的建模問題是用已給的數學模型解決問題，湘教版這一比例僅為20%；湘教版有50%的建模問題有模型檢驗過程，且有70%的建模問題將結論帶入現實情境以檢驗模型的合理性，人教A版84.6%的建模問題無模型檢驗過程，且53.8%的建模問題無現實情境的分析；兩版教科書中只有湘教版有一個建模問題有模型修正，其余建模問題均無模型修正過程。

此外，課程標準強調數學建模活動以課題研究的形式開展，但兩版教科書只在數學建模專題部分提到了課題研究，其他建模問題幾乎沒有提及課題研究。進一步對比發現，人教A版課題研究過程包括選題、開題、做題、結題，與課程標準要求一致，湘教版課題研究出現在練習題中，但無選題、開題的過程。

從以上分析可以看出，兩版教科書建模問題過程要素基本齊全，但在具體過程中處理方式有差異。湘教版比較重視以發現的方式提出問題，絕大多數建模問題需要學生自主選擇合適的數學模型解決問題，半數以上的建模問題有模型檢驗的過程且關注到模型修正過程；人教A版直接給出問題提出的主要方式，絕大多數建模問題有分析過程，40%以上建模問題是用已給的數學模型解決問題，半數以上的建模問題無模型檢驗過程，模型修正過程關注不夠，課題研究過程相對完整。

（一）結論

1.內容分布。湘教版“函數模型應用”注重滲透數學建模過程，強調函數模型的綜合應用，“數學建模專題”注重數學建模活動的逐次開展，內容編排系統完整、案例豐富；人教A版“函數模型應用”注重滲透數學建模思想，強調函數模型的直接應用，“數學建模專題”注重數學建模活動的整體開展，內容編排緊湊、選題豐富。

2.情境類型。湘教版側重選擇與學生聯系密切的生活問題情境；人教A版側重選擇與數學聯系密切的科學問題情境。

3.問題表述。湘教版注重“陳述句”與“開放式”相結合的表述形式，符合數學建模特征，注重發展學生的“四能”；人教A版注重“疑問句”與“封閉式”相結合的表述形式，突出數學應用特征，強化學生的“雙能”。

4.建模過程。湘教版比較重視以發現的方式提出問題，注重學生自主選擇合適的數學模型解決問題，關注模型檢驗與修正過程；人教A版主要采用直接給出問題的方式，注重建模問題的分析過程，主要用已給的數學模型解決問題，對模型檢驗修正過程關注不夠。

（二）建議

基于上述分析與結論，對湘教版教科書使用提出以下建議。

1.整體把握不同類型數學建模活動的目標要求。函數模型應用側重于局部的數學建模活動，重在數學應用意識的滲透，數學建模專題要突出運用數學知識解決現實問題的過程，側重建模過程的體驗。教學中應整體把握不同類建模活動的目標要求，力爭重要的概念有背景，重要的結果有應用，讓學生從模仿應用到自主參與數學建模活動全過程。

2.選擇適合數學建模活動的情境與問題。建模問題不同于應用題，建模問題情境選擇應盡量保留其“現實性”和“多樣性”，不易做過多的簡化與假設，否則學生缺乏對問題的分析和假設過程的經歷，數學建模水平很難得到提高。建模問題的選擇要貼近學生生活和實際，條件和結論應該隱蔽在背景中，可用信息和最終結論讓學生自己去挖掘。因此，教師需要統整不同版本教科書內容，為學生選擇適合的數學建模情境與問題。

3.整體設計數學建模活動的教學。數學建模素養的養成需要一個漸進的過程，湘教版在各章內容中均滲透數學建模活動。教學中要依據單元教學理論，以數學建模素養發展的三級水平為依據，整體地、有層次地、逐步地深入開展數學建模活動。要將教學重點放在數學建模專題上，為學生創造有利的時空條件，真正開展完整的數學建模活動。

4.注重數學建模過程的完整性與活動性。數學建模專題活動的開展，應選擇建模過程相對完整的問題情境，重視學生自己發現問題和提出問題的過程，自主選擇合適的數學模型解決問題的過程以及模型檢驗與模型修正的過程。數學建模活動應以課題研究的形式開展，讓學生經歷從選題、開題、做題到結題的完整過程，注重培養學生的建模素養及團隊合作能力。

[1]徐斌艷.高中數學教科書探究內容的分析指標體系及比較研究[J].課程·教材·教法，2012（10）：36.

[2]邵光華，蔣周渠.數學建模素養評價模型與案例分析[J].中國數學教育，2020（08）：4.

編輯：徐春霞