基于互質陣虛擬陣列空間平滑的相干信號DOA估計方法

韋 娟, 嚴世安, 寧方立

(1. 西安電子科技大學通信工程學院, 陜西 西安 710071; 2. 西北工業大學機電學院, 陜西 西安 710072)

0 引 言

波達方向(direction of arrival,DOA)估計是一種陣列接收信號獲取信號入射方向信息的技術,被廣泛應用在雷達、聲納、無線通信等領域。目前多以非相干信號為研究對象,但在實際信號傳播過程中,由于多徑傳播和同頻干擾造成大量相干信號源存在,因此相干信號的DOA估計亦是一研究熱點。

均勻線陣相干信號DOA估計算法中,以空間平滑、Toeplitz矩陣重構為基礎的解相干算法,均存在陣列孔徑損失問題。可以通過增加陣元數來提高DOA估計算法的角度自由度(degrees of freedom,DOF),但該方法會增加系統部署成本;亦可引入如互質陣列、嵌套陣列等非均勻稀疏陣列構建虛擬陣列以拓展陣列孔徑?；ベ|陣列是由兩個陣元數分別為互質數的均勻子陣相互穿插形成,結合了稀疏陣列的優勢和質數的性質,能夠突破奈奎斯特采樣定理的限制,陣列部署靈活,具有廣闊的應用前景。

前向空間平滑(forward spatial smoothing,FOSS)算法是最早被提出來估計相干信號DOA的,但該方法孔徑損失嚴重。前后向空間平滑(forward and backward spatial smooth,FBSS)算法利用了后向子陣列,增加了平滑次數,增大了陣列孔徑,擁有比FOSS算法更高的DOF,但對信號沒有進行完全的解相干。Han等提出了一種類旋轉不變子空間信號參數估計(estimating signal parameters via rotational invariance techniques-like,ESPRIT-like)算法,將數據協方差矩陣的任意一行構造成Toeplitz矩陣,能夠完全消除信號的相干性,利用ESPRIT-like算法進行DOA估計,但該算法估計精度低,亦存在陣列孔徑損失。Stoica等提出的最大似然(maximum likelihood,ML)估計算法以及Ottersten等提出的加權子空間擬合(weighted subspace fitting, WSF)算法均可以在不損失陣列孔徑的前提下對相干信號進行DOA估計,但這兩種算法包含多維非線性搜索,計算復雜度高,且初值設置對于DOA測向影響較大。Wang等提出的通過四階累積重構Toeplitz矩陣進行相干信號DOA估計,DOA估計精度較高,但計算復雜度高。Zhang等提出了一種基于多重Toeplitz矩陣重構的DOA估計方法,對相關矩陣的平方進行加權求和,以形成滿秩等效數據協方差矩陣。該算法無需提前消噪,但低信噪比、低快拍條件下估計性能不佳。唐曉杰等提出了一種前后向多重Toeplitz矩陣重構(forward and backward multi-Toeplitz,FBMT)算法,構造了 Toeplitz 矩陣,通過誤差最小準則構造代價函數,實現相干信號的 DOA 估計。該方法無需信源數先驗信息,但陣列孔徑損失嚴重,低信噪比條件下估計性能較差。Peng等提出一種將協方差矩陣子矩陣對角線元素之和的共軛作為加權因子的自加權空間平滑(self-weighted spatial smoothing,SWSS)算法,信號估計精度較高,由于采用空間平滑預處理,依舊存在陣列孔徑損失。

基于此,對互質陣虛擬陣列的連續部分進行空域平滑,提出一種基于互質陣列虛擬陣列空間平滑(coprime array virtual array spatial smoothing,CASS)的相干信號DOA估計方法,該算法不需要信源數先驗信息,利用互質陣虛擬陣列可以實現DOF拓展的特點,搭載空間平滑算法進行相干信號DOA估計。在低信噪比環境下對于信號的DOA估計精度以及魯棒性擁有較好表現。

1 陣列信號模型

1.1 互質陣列接收信號模型

互質陣列利用虛擬域信號處理方法,在虛擬域上形成一個增廣的虛擬陣列,對該虛擬陣列信號進行與均勻線陣等價的統計信號處理,能夠有效提升DOA估計的DOF。

互質陣列結構如圖1所示,該陣列由兩個均勻線陣嵌套構成。

圖1 互質陣列Fig.1 Coprime array

其中,,為互質的兩個數,虛擬陣元間距=2?；ベ|子陣1為2元均勻線陣,陣元間距為,子陣1陣元位置為{|0≤≤2-1}?；ベ|子陣2為元均勻線陣,陣元間距為,子陣2陣元位置為{|0≤≤-1}。

互質陣列物理陣元真實位置為=[,,…,2+-2]。

互質陣虛擬等效差聯合陣列如圖2所示。

圖2 互質陣列虛擬陣列Fig.2 Virtual array of coprime array

虛擬陣元位置為={ ±(-)|0≤≤2-1, 0≤≤-1}。其中,虛擬陣列陣元位置-(+-1)與(+-1)之間無空洞,可以視為均勻線陣。

個信號入射到互質陣列接收信號為

(1)

對于第個相干信號可表示為

()=(),=2,3,…,

式中:()為原始參照信號;為相干系數。

1.2 空間前后向平滑處理

互質陣列協方差矩陣為

(2)

對接收協方差矩陣進行向量化處理:

(3)

式中:=vec (),為單位矩陣;=[()?(),…,()?()],?表示Kronecker內積,(·)表示共軛。

通過在Toeplitz矩陣結構中重新排列的元素可獲得虛擬陣列信號的等價協方差。由于信噪比和快拍數對協方差矩陣的影響,同一波程差對應的協方差矩陣元素不同,故對同一波程差對應的元素取平均值:

(4)

式中:(diff)表示同一波程差diff對應的第個協方差矩陣元素;(diff)表示波程差diff相同的協方差元素總和。

在互質虛擬陣列空洞位置插入天線,將聯合差陣列變為均勻線陣后,假設空洞處天線無接收信號。根據波程差元素對協方差矩陣進行擴展,構成Toeplitz矩陣∈(2-+1)×(2-+1)。

(5)

式中：1<,<2-+1。

盡管矩陣包含所有互質陣列信號信息,但由于稀疏陣列特性,是低秩矩陣,把看作部分數據信息缺失的協方差矩陣,利用低秩矩陣恢復理論,對矩陣中的零元素進行近似填充。

創建優化問題:

(6)

式中:()是以復向量為第一列的Hermitian Toeplitz矩陣,∈(2-+1)×1;為協方差矩陣擬合誤差。

由于矩陣秩函數是非連續、非凸函數,利用跡范數最小化對式(6)進行凸松弛表示:

(7)

構建映射矩陣,∈(2-+1)×(2-+1)。

(8)

由于,向量的首元素無法進行共軛拓展,故將第一個元素初值先定義為實數,經CVX工具箱計算得到的整體優化向量后,再對其初值進行優化。

經凸優化重構后的矩陣()可看作由2-+1個陣元組成的均勻陣列的協方差矩陣。為提高算法估計精度,對重構后的Toeplitz矩陣()進行前后向空間平滑分成個子陣列。為避免虛擬陣列內插零陣元造成協方差秩虧損,滑窗長度須不小于連續差聯合子陣正向長度(+-1)。滑窗長度設置為=+-1。

FOSS處理如圖3所示。

圖3 FOSSFig.3 FOSS

前向平滑時,定義第個子陣列接收數據為

(9)

第個子陣接收數據協方差矩陣可表示為

(10)

FOSS后的協方差矩陣可通過各子陣的協方差矩陣求平均而得

(11)

(12)

式中:為置換矩陣,其反對角線元素均為1,其余位置全為0。

將FOSS矩陣及后向空間平滑矩陣取平均得到FBSS矩陣(∈(+-1)×(+-1));

(13)

由于除2以外的質數均為奇數,當=2時,為奇數,則+-1為奇數;當>2時,,均為奇數,則+-1為奇數。即對于互質陣列,子陣陣元數<時,連續位置+-1均為奇數。則構建的Toeplitz矩陣為奇數階。

Toeplitz矩陣可以看作陣元位置為{-,…,0,…,}均勻線性陣列的輸出協方差矩陣:

(14)

式中:=(-1)2。

對于相干信號,又有

(15)

式中:

(16)

2 基于后向平滑的相干信號估計

2.1 重構后向平滑Toeplitz矩陣

選取的第行:

(17)

式中:=[,1,…,,],且信號協方差矩陣中不會存在全零行,因此中不存在零元素。利用長度為+1的滑窗截取的元素,得到行向量:

,=[(,-),(,1-),…,(,-)], 0≤≤

(18)

取第一個行向量,0:

(19)

式中:

利用向量重構Toeplitz矩陣:

(20)

(21)

式中:+1,表示第條對角線元素為1,其余元素均為零的+1階方陣;=diag{}表示矩陣重構后的虛擬信號協方差矩陣。

忽略噪聲影響,可以寫為

(22)

2.2 凸優化去噪處理

對于第個信號,必存在∈1×(+1)和其余-1個導向矢量張成的信號子空間正交:

(23)

式中：range{·}表示張成的子空間。

(24)

將式(24)代入式(22)得

(25)

根據正交性質,有

(26)

考慮到噪聲影響,式(26)可表示為

(27)

為減小誤差,利用每次平滑的子陣列構造代價函數,得到凸優化模型:

(28)

(29)

構建映射矩陣:

(30)

(31)

又

(32)

(33)

式(33)的根為

(34)

式中：(·)表示偽逆。

將式(34)代入式(28)得

(35)

將()()進行特征值分解:

(36)

(37)

()=+1-max eig{()()}

(38)

式中:max eig{·}表示特征值分解后最大特征值。

構建譜函數():

(39)

對()進行譜搜索,對每個()()求其最大特征值,()譜峰對應角度即為DOA估計方向。

算法步驟歸納如下:

根據式(2)計算陣列數據協方差矩陣=E{()()};

根據式(4)對虛擬陣列元素進行整合,根據式(5)構建矩陣;

利用CVX工具箱,根據式(7)重構;

對矩陣進行后向平滑矩陣。用+1長度的滑窗截取,根據式(17)得到;

根據式(30)、式(31)計算映射矩陣和();

根據式(39)計算空間譜函數(),通過譜峰搜索得到信號DOA。

2.3 算法DOF分析

由2+-1個陣元組成的互質陣列經Toeplitz重構產生(),因平滑子陣陣元數目大于等于相干信號數時,可以有效解相干。則對()進行空間平滑時,>。且由于對互質陣虛擬陣列進行了空洞填充處理,為保證信號信息的完整,滑窗長度不小于虛擬連續陣列正向長度(+-1),即≥+-1。則取滑窗長度=+-1,經前后向空間平滑預處理后,生成矩陣∈(2+1)×(2+1),其中=(+-2)2。

矩陣不存在秩虧損,對矩陣第行進行空間平滑處理生成,此時滑窗長度只需不小于信源數即可完成對的解相干?；伴L度取最小值,即假設噪聲子空間僅由一條導向矢量構成,滑窗長度為+1。

綜上,2+-1個陣元組成的互質陣列,其虛擬陣經空間平滑后最多可以完成(+)2個相干角度估計。

3 實驗分析

本節通過仿真實驗將CASS算法與文獻[15]提出的FBSS算法、文獻[18-20]提出的ML算法、文獻[28]提出的FBMT算法、文獻[29]提出的SWSS算法進行比較,對不同條件下的均方根誤差(root mean square error, RMSE)進行分析。RMSE可以通過500次蒙特卡羅實驗得到:

(40)

式中:為信源數。

設信號為零均值高斯信號,噪聲為零均值高斯白噪聲。由于FBSS算法、ML算法、SWSS算法需要信號源數先驗信息,而FBMT算法和CASS算法無需信號源數。故仿真實驗中,FBSS算法、ML算法、SWSS算法的信號源數是已知的,FBMT算法和CASS算法信源數先驗信息均未知。

為方便DOF的比較,CASS算法構建互質陣列子陣陣元數分別為2=6,=5,總陣元數為10。作為不損失陣列孔徑算法對照,ML算法采取10元均勻線陣。由于CASS算法、ML算法可以實現相干信號的最大測向數為9。FBSS算法、FBMT算法、SWSS算法構建的均勻陣列陣元設置為17,即完成9個相干信號DOA估計的FMBT算法所需要的最小陣元數。

3.1 全相干信號的估計性能分析

3.1.1 不同信噪比條件下的算法性能

假設9個入射信號均相干,入射角度分別為[-66°,-42°,-30°,-15°, 0°, 10°, 25°, 42°, 56°]。相干系數分別為=[1, 02ejπ3, ejπ4, 04ejπ6, ejπ5, 06ej2π5, ejπ7, 08ej2π7, ej3π7],正則化參數=1.5×10,快拍數為500,掃描間隔為0.1°。全相干信號中信噪比對算法估計精度的影響如圖4所示。分析圖4可知, FMBT算法由于已經達到其最大信號測量角度極限,高信噪比條件下測向性能與FBSS算法接近。ML算法由于測向信號較多,難以保證經多次角度代入處理收斂到的局部最小值是真實信號值。SWSS算法由于利用信號協方差信息,在低質量信號中提取出有效信息能力較強,估計精度較高。在信噪比為-12～-4 dB條件下,CASS算法由于對原互質陣列進行同波程差數據整合以及前后向空間平滑,增強了信號強度,估計精度高。CASS算法由于填補虛擬陣列空洞,存在信息缺失,故在8 dB信噪比條件下估計性能略差。

圖4 全相干信號信噪比對不同算法估計精度的影響Fig.4 Influence of signal to noise ratio of fully coherent signal on the estimation accuracy of different algorithms

全相干信號-12 dB條件下各算法的歸一化功率譜如圖5所示。分析圖5可知,在低信噪比條件下,FBSS算法由于沒有進行完全解相干,估計精度較低;ML算法在對多個相干信號進行DOA估計時,需要選定合適的初值,DOA估計精度受初值設置影響。FBMT算法沒有對信號信息進行預處理,噪聲影響較大,不能準確估計DOA;SWSS算法在較大噪聲干擾下,無法通過加權子空間算法估計準確的DOA。CASS算法經過預處理,去噪相對徹底,算法精度較高。

圖5 全相干信號-12 dB條件下的歸一化功率譜Fig.5 Normalized power spectrum of fully coherent signal at -12 dB

3.1.2 不同快拍數條件下的算法性能

設置信噪比為0 dB,其余仿真環境同第3.1.1節。全相干信號中快拍數對算法估計精度的影響如圖6所示。

圖6 全相干信號快拍數對不同算法估計精度的影響Fig.6 Influence of snapshots number of fully coherent signal on the estimation accuracy of different algorithms

分析圖6可知,FBSS算法估計性能受快拍數影響較大,且隨著快拍數增加,估計精度提升明顯。在快拍數為20時,ML算法、FBMT算法、SWSS算法以及CASS算法估計精度遠高于FBSS算法。且CASS算法在快拍數為20時依舊保持良好的算法精度,估計性能最佳。

3.2 部分相干信號的估計性能分析

3.2.1 不同信噪比條件下的算法性能

假設入射角度為[-66°, -42°, -30°, -15°, 0°, 10°, 25°, 42°, 56°]的9個信號,前6個信號為相干信號,后3個信號是與其他信號完全不相干的信號。正則化參數τ=1.5×10,快拍數為500,掃描間隔為0.1°。部分相干信號中信噪比對算法估計精度的影響如圖7所示。

圖7 部分相干信號信噪比對不同算法估計精度的影響Fig.7 Influence of signal to noise ratio of partially coherent signal on the estimation accuracy of different algorithms

分析圖7可知,對于部分相干信號,FBSS算法在低信噪比條件下估計精度依舊較低。ML算法、FBMT算法與SWSS算法估計精度均低于CASS算法。CASS算法在低信噪比條件下估計角度均方誤差較小。

部分相干信號-12 dB條件下各算法的歸一化功率譜如圖8所示。

圖8 部分相干信號-12 dB條件下的歸一化功率譜Fig.8 Normalized power spectrum of partially coherent signal at -12 dB

分析圖8可知,在部分相干信號中,FBSS波峰尖銳,完成所有DOA估計,但與真實角度偏差較大。 ML算法經多維非線性搜索,收斂值不能保證為全局最佳。FBMT算法在已達到其相干信源數估計極限的情況下,功率譜函數波峰較平;SWSS算法經自加權處理,在低信噪比條件下能夠有效去噪,波峰較尖銳。CASS算法由于凸優化去噪相對徹底,其混合信號估計性能與全相干信號估計性能相對穩定。

3.2.2 不同快拍數條件下的算法性能

設置信噪比為0 dB,其余仿真環境同第3.2.1節。部分相干信號中快拍數對算法估計精度的影響如圖9所示。

圖9 部分相干信號快拍數對算法估計精度的影響Fig.9 Influence of snapshots number of partially coherent signal on the estimation accuracy of algorithm

分析圖9可知,FBSS算法估計精度隨快拍數增加而提高。ML算法、FBMT算法、SWSS算法、CASS算法隨快拍數增加估計精度變化曲線較為平穩。CASS算法估計性能最佳,且在低快拍條件下性能穩定。

3.3 運算時間比較

實驗仿真環境為Matlab R2020a平臺,Inter i7-9570H處理器,16 G內存。仿真條件同第3.1.2節。各算法運算時間比較如圖10所示。

圖10 不同算法運算時間比較Fig.10 Comparison of operation time of different algorithms

分析圖10可知, FBSS算法只經過空間平滑處理,運算速度最快;ML算法由于需進行多維搜索,且DOA估計數目愈多,運算時間愈長;FBMT算法由于進行多次前后向空間平滑處理及特征分解處理,運算時間也相對較長。SWSS算法由于需要對信號協方差進行加權累加,隨著精度要求的提高,迭代次數變多,計算復雜度增高;CASS算法采用互質陣列作為接收陣列,陣元數較少,且相較FBMT算法省去多次前向平滑處理以及映射陣列的特征值分解,計算復雜度較低,運算時間相對較短。

4 結 論

針對現有基于完全相干信號的DOA估計算法陣列孔徑損失嚴重,且在低信噪比環境下DOA計算精度較低的問題,提出了一種基于互質陣虛擬陣列空間平滑的DOA估計算法。該算法將互質陣列進行空洞填充,協方差矩陣按照波程差大小重構Toeplitz矩陣,然后再通過后向空間平滑算法二次構建Toeplitz矩陣,利用構建的與信號子空間最大信號特征值相關的代價函數來搜索譜函數,得到DOA。該算法優點如下:

(1) CASS算法在比FBSS、FBMT、SWSS算法少陣元的條件下完成了比以上算法更準確的相干信號的DOA估計。同時,CASS算法估計精度又高于同所需陣元數相同的ML算法。CASS算法系統架置成本低、部署靈活,且計算復雜度低、性價比高;

(2) CASS算法在低快拍數、低信噪比環境下對完全相干、部分相干信號DOA估計精度更高,具有更好的魯棒性;

(3) CASS算法估計相干信號DOA時,不需要信源數先驗信息,更符合實際應用環境。

由于互質陣列虛擬陣列法在信號分離時利用空洞填充,存在一定信號損失,且互質陣列虛擬陣列算法是在虛擬域內進行的二階等價虛擬陣列信號處理,故該算法在較高信噪比環境下DOA估計精度遜色于FBMT算法、SWSS算法。高信噪比條件下CASS算法的DOA估計精度仍存在提升空間。