基于非等量采樣的偽碼同步技術研究

華 博, 毛忠陽, 康家方,*, 劉錫國, 魏靖怡

(1. 海軍航空大學航空通信教研室, 山東 煙臺 264001; 2. 中國人民解放軍91980部隊, 山東 煙臺 264001; 3. 中國人民解放軍91876部隊, 河北 秦皇島 066206)

0 引 言

由于偽隨機序列具有良好的相關特性,因此基于偽隨機噪聲(pseudo-random noise, PN)序列的同步方法在數字通信系統中有廣泛的應用。常用的同步算法包括最大似然(maximum likelihood, ML)、匹配濾波、延遲鎖相環、離散傅里葉變換(discrete Fourier transform, DFT)/快速傅里葉變換(fast Fourier transform, FFT)等方法。最大似然法也稱全并行捕獲法,工作原理是將接收信號與個不同相位的本地PN碼同時相關,同時檢測得到個相關值,選擇相關值最大的一路作為本地同步PN碼,從而實現接收信號的解調解擴。這種方法的缺點也很明顯,為同時獲得個相關值,接收端需要使用個相關器,增大了接收端設備的體積,而且同步精度也只能達到1/2碼片寬度。匹配濾波法是將本地PN碼作為濾波器的抽頭系數,當接收信號經過濾波時,若接收信號與濾波器的PN碼相位一致,則會產生一個尖峰脈沖,利用門限檢測出尖峰脈沖,即可作為同步指示信號。匹配濾波的優點是建立同步時間短,但由于實際硬件資源的限制,抽頭系數不能太長。雖然這些方法都能實現同步,但是忽略了數字通信系統的采樣過程會惡化PN碼同步精度。

1995年Cheng等在分析全數字數據轉換跟蹤環時指出,當采樣速率與碼片速率之比(簡稱采樣比)為整數時,同步精度受限于采樣時間間隔,并首次提出非等量采樣(non-commensurate sampling, NCS)的概念,即采樣比為非整數。隨后Quirk等指出,雖然NCS后每個碼片包含的采樣點數不再相同,但是采樣點相對于碼片的位置具有周期性,并在研究NCS技術對PN碼跟蹤環路影響的基礎上,給出了系統穩態誤差方差的表達式,但沒有進一步說明如何選取最優采樣比。柯颋等針對NCS采樣率的選取策略,給出了定量性能評估指標及計算方法,利用評估指標完成數字接收機的設計,但未給出PN碼跟蹤環路的時間鑒別力與采樣頻率之間的解析表達式,因此,在設計數字接收機時,仍需要花費大量時間利用評估指標對其相關參數進行調試。Xu等定性分析了采樣比與同步精度之間的關系,并提出了基于單位增量的NCS采樣率選取方法,不過該方法僅對采樣比有寬松的要求,對相關長度的要求較嚴格,這增加了系統設計的難度。Jin等分析了影響數字接收機同步精度的主要因素——S曲線零偏置,提出了通過補償零偏置以消除相關曲線不對稱帶來的時延估計誤差;并提出了通過獲取特殊采樣比實現零偏置自抵消,從而實現無補償的信道時延估計。然而,零偏置補償算法不僅會增加計算量,還會引入新的誤差,導致同步精度的下降;同時特定的采樣比并不容易在硬件上實現。隨后Jin等研究了熱噪聲對弱信號跟蹤性能的影響,將NCS技術與亞奈奎斯特采樣技術相結合,在不降低系統性能的情況下,實現對時延的高精度估計。

Yang等推導出NCS技術下的PN碼離散自相關函數,研究了采樣比、積分周期以及相關間隔對離散自相關函數的影響,分析了不同采樣比與自相關函數之間的關系,提出了與典型載噪比(carrier to noise ratio, CNR)相適應的采樣率,但是整個分析過程中僅考慮了少數幾個采樣率,結論不具有普適性。Ma等將S曲線零偏置的最大值和標準偏差作為NCS同步性能評估指標,利用評估指標尋找零偏置最大值和標準差同時達到最小的采樣比,即為滿足多種約束條件的最優采樣比。

現有研究報道主要是對NCS與同步精度關系的表述,旨在利用各種評價指標或約束條件尋找最佳采樣率,而實際上滿足多種約束條件的采樣率并不多。同時,大多評估準則僅考慮了在理想情況下的NCS采樣比的同步性能,但實際中各種因素如信道噪聲、PN碼周期、接收機前端濾波器帶寬等都會影響PN碼同步精度,從而增加數字接收機的設計難度。因此,關于如何快速判斷NCS采樣率所具備的同步精度,擺脫各種評估準則或約束條件的限制,降低數字接收機設計的難度,是一個重要的研究方向。本文通過推導NCS條件下PN序列相關函數解析表達式,探索影響NCS采樣比同步精度的根本因素,提出NCS采樣比選取的簡易方法。同時,引入最大絕對誤差和均方誤差(mean square error, MSE)作為衡量NCS條件下PN碼同步性能的指標,并分析PN碼周期、接收機前端濾波器等因素對同步精度的影響。

1 等量采樣技術同步性能分析

為了從接收信號中提取數據或定時信息,必須知道接收信號與本地模板信號之間的相對相位,并通過調整本地模板信號,使得兩者相位一致,這個過程稱為同步。在數字通信系統中常以PN序列作為同步頭,利用其良好的相關特性實現同步,而在進行同步之前必須先對接收信號“數字化”處理。一般情況下接收機采用的采樣率都是碼片速率的整數倍,將這種采樣方式稱之為等量采樣。對于任意初始同步偏差,其采樣點位置與碼片之間的關系,如圖1所示。

圖1 等量采樣過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of equal sampling process

在圖1中,實線為模擬信號,為同步偏差。從圖1中可知,當0<<,接收信號與本地信號的所有采樣點幅值均不發生變化,導致相關函數始終保持不變。因此,等量采樣技術會限制數字接收機的同步精度。即便采樣間隔非常小,仍然存在無法辨別的同步偏差。在數學上,這種同步偏差可以用相關形狀的“階梯”現象來解釋。為便于分析,且不失一般性,假設接收信號是未經采樣的周期為的PN序列,不考慮載波偏差的影響,可將接收信號表示為

(1)

式中:為PN序列的碼片周期;表示第個幅值為±1的碼片;()為持續時間為的單位脈沖;()為高斯白噪聲,其功率譜密度為2。

(2)

當0<<時,接收端相關器輸出的歸一化相關函數可以表示為

(3)

其中,相關積分時間=·。結合式(2)和式(3)可知,接收端相關器輸出的歸一化相關函數是同步偏差的單值線性函數。因此,值的變化可以準確反映在相關函數()的變化中。但在數字通信系統中,接收機將以固定的時鐘對()進行采樣,采樣后的信號可以表示為

(4)

其中,=為采樣間隔;為經采樣后的同步偏差,即=+?,而?為剩余同步偏差。因此,采樣后的相關器輸出的相關函數為

(5)

其中,矩形脈沖()的歸一化自相關函數為

(6)

聯立式(3)、式(5)、式(6)可得接收端相關器輸出的歸一化相關函數為

(7)

由式(7)可知,數字接收機的同步精度與采樣總點數和同步偏差的采樣點數有關。當采樣率越高時,采樣點數、越大,剩余同步偏差?越小,通過相關函數對同步偏差的估計越準確,從而利于提高信號同步精度。假設在相同的采樣率下,存在同步偏差<,經過采樣=+?,=+?,根據式(7)可得1=2,顯然由于采樣過程的影響,導致不同的同步偏差出現相同的相關輸出。當同步偏差=100時,不同等量采樣比條件下的相關函數,如圖2所示。

圖2 等量采樣下的相關函數Fig.2 Correlation function under equal sampling

從圖2中可知,對于遠小于采樣間隔的同步偏差,PN序列的相關函數呈現階梯狀變化,即不同的同步偏差可能有相同的相關函數值,這會嚴重影響系統完成同步,造成接收機無法正確解調解擴。雖然通過提高采樣率,可以提高系統同步精度,但當需要達到1%甚至0.1%碼片寬度的同步精度時,采樣率要達到碼片速率的100倍、1 000倍甚至更高,這會消耗大量的硬件資源。因此,如何以較低的采樣率實現較高的PN碼同步精度是降低硬件資源消耗的關鍵,NCS技術為解決這一問題提供了新的思路。

2 NCS技術同步性能分析及選取準則

當采樣率與碼片速率的比值不是整數時,PN碼同步精度將不再受采樣間隔的限制,這種采樣方式被稱為NCS。經NCS技術處理的信號,其單個碼片內的采樣點位置分布不再固定,為量化這種情況,假設每個碼元符號內的單個采樣點距符號邊沿的距離(稱為采樣點相位偏移量)為,如圖3所示。

圖3 NCS示意圖Fig.3 Schematic diagram of NCS

(,0)=-(-((,0)-1))=(,0)-

(8)

其中,(,0)表示第個碼片第1個采樣點的位置索引。從式(8)可知,任意(,0)都滿足不等式0≤(,0)<,而采樣點位置索引滿足關系式:

(9)

若將式(9)中采樣比表示成最簡分式,即=,且與為互質整數,則當=時,聯立式(8)、式(9)可得

(10)

由式(10)可知,偏移量具有周期性,其循環周期為,這意味著在個碼片后(,0)將重復出現。將第個碼片中采樣點分布表示為

(,)=(-(,0))+(,0)

(11)

因此,在NCS條件下,接收信號為

(12)

由式(3)可知,對于采樣后PN序列的自相關函數本質是采樣點幅值的乘加運算。因此,對于采樣后的矩形脈沖信號,可以認為其自相關值就是采樣點總數減去極性互異的采樣點數。若時延′=+?′,其中∈。當>0時,矩形脈沖的自相關函數為

(13)

(14)

由式(13)可知,經NCS后的矩形脈沖,其自相關函數與偏移量有關。因此,對于接收信號而言,NCS條件下的同步偏差可以表示為=++Δ,其中0≤Δ<,為使整數≥1的最大偏移量。在不考慮循環周期內首個碼片的偏移量時,循環周期內其余偏移量呈單調遞減分布。因此,當0<≤時,結合式(3)、式(13)可得,NCS時PN序列的相關函數可以表示為

(15)

(16)

除了偏移量會對相關函數產生影響,PN序列周期、偏移量循環周期也會對相關函數產生影響。由式(15)中可知,當PN序列周期遠小于偏移量循環周期時,意味著經采樣后的序列中不存在偏移量循環周期。因此,其相關函數可以表示為

(17)

通過對比發現,經歸一化后的′()與式(7)相同,這表明當PN序列周期遠小于循環周期時,NCS技術將不具備高精度同步能力。

當采樣比固定時,偏移量代表了該采樣比所能達到的最高同步精度,但由于的隨機性,無法通過理論計算來獲得該采樣比的同步精度,只能通過實驗的方法檢測其同步精度,而這一過程往往需要消耗大量的時間。但從式(10)、式(15)中可知,偏移量的大小與偏移量循環周期有關,結合圖3可知,NCS技術的實質是利用循環周期將原整數倍采樣間隔進一步細分成等份,使同步精度再提高倍,即

(18)

(19)

(20)

圖4 定量評估指標Fig.4 Quantitative evaluation indicators

綜上所述,隨著采樣比的增加,PN碼同步誤差逐漸降低,但是當采樣比恰好等于碼片速率的整數倍時,接收機同步誤差會陡然增大。從局部變化看,同步誤差的起伏變化毫無規律,這種變化是由NCS采樣比的精度因子決定的。

3 NCS同步性能仿真分析

為進一步分析NCS采樣比的同步精度,驗證理論分析的正確性,結合數值分析,對NCS技術的同步性能進行仿真分析。仿真條件及參數設置如下:

調制方式:BPSK調制;

同步方式:匹配濾波同步;

碼片周期:=1;

同步偏差:=100;

偽隨機序列:1 023位序列。

3.1 NCS同步精度

合適的NCS采樣比對系統同步性能有著重要的影響,根據第2節分析,NCS采樣比可分為兩種情況:① 精度因子小于預設時延;② 精度因子大于預設時延。因此,分別取不同類型的采樣比:4、4.23、4.5、5.5,對其相關函數進行仿真。仿真結果如圖5所示。

圖5 不同采樣比下的相關函數Fig.5 Correlation function under different sampling ratios

從圖5中可知,采樣比之間的差值并不大,但是相關函數存在明顯的區別。當采樣比=4時,相關函數呈現明顯的“階梯”狀;當采樣比=423時,相關函數呈現理想三角形;而采樣比=425的相關函數再次呈現“階梯”狀；當采樣比繼續增加到5.5時相關函數的“階梯”狀愈加明顯,說明單純增加NCS采樣率并不一定能提高同步精度,而盲目地選取NCS采樣率會增加系統的設計難度。根據式(18)可得,采樣比4.23、4.25、5.5的精度因子分別為0.002 5、0.062 5、0.1,通過對比發現,只有采樣比4.23的精度因子小于1/100的同步偏差,結合圖5的相關函數可知,只有當精度因子小于預定的同步偏差,NCS采樣比才能達到預期同步精度。因此,精度因子可以作為選取NCS采樣比的重要依據。

對于通信系統而言,信道噪聲是必須考慮的因素。一般情況下,信道噪聲被認為是服從零均值的正態分布,在沒有信道噪聲影響下,PN碼的同步精度完全取決于循環周期。信道噪聲會改變PN碼的相關函數,從而對同步過程產生一定影響。因此,在同步偏差分別為100和/1 000的情況下,對不同類型采樣比的同步精度進行仿真,為便于觀察,僅標注具有分辨力的采樣比,仿真結果如圖6所示。

圖6 不同采樣比下的同步精度Fig.6 Probability of synchronous acquisition under different sampling ratios

從仿真結果可知,當同步偏差為/100,采樣比分別為4.01、4.093、4.714 3、5.01、5.093、5.714 3時,同步精度隨著信噪比的增加而增加;當同步偏差為/1 000,除采樣比4.01和5.01的同步精度降低到0.1,其他采樣比的同步精度均未發生變化。這是因為采樣比4.01和5.01的精度因子分別為0.002 5、0.002,兩者的精度因子均小于1%,而大于0.1%,因此,這兩種采樣比能分辨/100同步偏差,但不能分辨/1 000同步偏差。仿真結果進一步說明,NCS采樣比的同步偏差分辨能力與精度因子有直接關系,精度因子可以作為NCS采樣比選取的可靠依據。

3.2 PN碼周期及接收機前端濾波器對同步精度的影響

根據NCS條件下的PN序列相關函數表達式可知,當PN序列周期小于碼相位偏移量循環周期時,PN序列的相關函數會發生變化,當PN序列周期過小時,將會影響NCS采樣下的PN序列同步精度。因此,對周期為15、63、255、1 023的序列的最大絕對誤差進行仿真,仿真結果如圖7所示。

圖7 不同碼長下的最大絕對誤差Fig.7 Maximum absolute error under different code lengths

從仿真結果可知,在整體變化上,不同碼長下的最大絕對誤差的變化趨勢相同;在相同NCS采樣比的條件下,最大絕對誤差隨著序列長度的增加而降低,當采樣比為4.23,長度為15、63、255、1 023的序列對應的最大絕對誤差分別為0.041、0.034、0.009 1、0.007 1,通過比較可知,只有在碼長為255和1 023時,同步最大絕對誤差值才小于1%。而根據第2節的理論分析,采樣比4.23的偏移量循環周期為100。因此,只有當PN碼序列的長度超過循環周期時,NCS采樣比才實現高精度同步。

綜上所述,PN碼序列周期影響了偏移量循環周期,當PN序列的周期過短時,偏移量循環周期將不存在,從而降低NCS技術對微小同步偏差的分辨能力。因此,采用周期較長的PN碼序列有助于降低同步誤差,提高同步性能。

當PN序列具有無限長的周期和理想的自/互相關特性時,其相關函數是一個等腰三角形,但實際信號的發射與接收都需要進行帶限濾波處理,在經過接收機前端濾波器處理后,接收信號變成帶限信號,本地解擴信號未經過濾波器處理,是一個無限帶寬的信號,對兩個信號做互相關處理時,其相關函數將會發生改變,從而對同步精度產生影響。因此,對不同帶寬下的PN碼同步最大絕對誤差進行仿真,結果如圖8所示。

圖8 不同帶寬下最大絕對誤差Fig.8 Maximum absolute error under different bandwidths

從仿真結果可知,不同帶寬下的最大絕對誤差存在一定差異,濾波器帶寬=的最大絕對誤差明顯大于=2的最大絕對誤差,但隨著采樣比的增加,這種差距逐漸縮小。這主要是帶限濾波器降低了接收信號功率,改變了PN序列相關函數,與理想相關函數相比,經濾波的相關函數趨于平滑,而且濾波器帶寬越窄相關函數越平滑,從而造成最大絕對誤差值增大。不過,帶限濾波器并沒有改變NCS采樣序列的精度因子,當采樣比>7時,不同帶寬下的最大絕對誤差值相差僅0.004,說明當采樣比提高到一定程度,PN序列的同步精度將會得到改善,因此可以通過提高NCS采樣比來降低接收機前端濾波器的影響。

4 結束語

本文推導出了NCS技術下的PN序列相關函數的解析表達式,研究發現不是所有的NCS采樣比都具備高精度同步性能,提出了基于精度因子的NCS采樣比快速選取方法。理論分析和仿真結果表明：① 碼相位偏移量循環周期是決定NCS采樣比同步精度的關鍵因素,循環周期是NCS采樣比最簡分式中的分母,循環周期越大,所能實現的同步精度越高,當采樣比是無理數時,理論上能實現無限精度,但實際受PN序列長度的限制,并不能實現無限精度;② 碼相位偏移量循環周期并不能直接作為選取NCS采樣比的依據,因為NCS技術的實質是在原整數倍采樣間隔的基礎上,更進一步將采樣間隔細分成等份,從而使同步精度再提高倍,因此,將這兩個參數相結合得到新的參量——精度因子,利用精度因子作為NCS采樣比選取的依據,當精度因子小于預設的同步偏差時,PN序列的同步精度才能達到預期效果;③ 接收機前端濾波器通過改變PN序列的相關函數,從而對同步精度產生影響,但可以提高采樣率來抵消前端濾波器的影響。本文提出的精度因子,可以快速判斷不同采樣比的同步精度,省去了繁瑣的評估準則和約束條件,縮短了通信系統的設計周期。NCS技術的應用將以較低的硬件資源消耗獲得較高的同步精度,為數字通信系統的設計提供理論指導。