存在關節死區的空間機器人無擾快速終端滑?？刂?)

張智豪 于瀟雁

(福州大學機械工程及自動化學院,福州 350116)

(福州大學流體動力與電液智能控制福建省高校重點實驗室,福州 350116)

引言

隨著空間技術的發展,空間機械臂的應用越來越廣泛[1-6].由于在太空微重力環境中載體自由浮動,空間機械臂系統中載體與臂桿之間存在強動力學耦合,這會使得載體的姿態在工作過程中難以保持穩定,影響臂桿的正常工作[7-11].載體的姿態控制一般可以通過主動姿態控制系統ACS 來實現[12-15],但為了節省燃料,ACS 系統常常處于關閉狀態,如何通過臂桿的運動規劃來減小載體的姿態變化就有了現實意義.

Dubowskys 等[16-17]提出基于增強擾動圖EDM 的關節運動規劃來減小機械臂運動對載體姿態的擾動.Nenchev 等[18]采用基于定姿態雅克比矩陣FARJM 的方法進行空間機械臂的零擾動規劃.Huang 等[19]利用雙臂空間機器人中一個機械臂補償來另一個機械臂運動造成的載體擾動.戈新生等[20-22]研究了通過機械臂運動對載體進行姿態調整的問題.張福海等[23-24]提出了一種笛卡爾空間的載體姿態無擾的空間機器人非完整路徑規劃方法.Nguyen-Huynh和Sharf[25]研究了系統捕獲非合作目標后的運動規劃問題,提出了自適應姿態無擾路徑規劃方案.Yoshida[26]通過指定自由向量來規劃機械臂的運動,實現手臂對基座的零反作用力.Zhang等[27]研究了基于隨機快速搜索樹的一種運動規劃算法,能夠在不需要求解逆運動學的情況下完成規劃任務并保留姿態約束.

上述方法[16-27]均是針對機械臂一般操作過程中運動學的非完整特性進行運動規劃,沒有考慮機械臂與待抓取目標之間的關系與關節的實際特性,而實際的空間機械臂關節通常都會存在“死區”特性.“死區”是指關節的輸入力矩大小達到某個特定值之前,其輸出力矩為零的輸入-輸出關系.當輸入信號經由死區作用范圍時,其會有一定的損失,從而造成系統控制精度的偏差.若不能消除其影響,除造成輸出精度降低外,還會對系統造成極限環振蕩,甚至導致控制失效,從而無法完成空間作業[28-30].

本文研究了存在關節死區的漂浮基平面三連桿空間機械臂攔截目標前最后階段的無擾動空間規劃與控制問題.首先針對載體位姿均不受控條件下,建立存在關節死區的三連桿空間機械臂系統的拉格朗日動力學模型,推導出三連桿空間機械臂反作用零空間的數學模型,并對反作用零空間進行向量范數約束算法研究.進而提出了一種具有抗干擾性與高收斂性的終端滑?？刂扑惴▽崿F系統的姿態無擾控制,該方法采用變系數雙冪次趨近率與非奇異快速終端滑模面相結合的方式,提高系統狀態收斂速度與抗干擾性,同時考慮機械臂關節存在的死區特性,設計了自適應補償器,通過自適應控制來逼近死區特性的上界,以確保跟蹤控制的有效執行.最后基于Lyapunov 函數法證明了系統的穩定性,并通過系統數值仿真驗證了所提方法的有效性.

1 系統動力學方程

如圖1 所示為一平面三連桿空間機械臂系統與一待抓取旋轉的目標衛星.該空間機械臂系統由自由漂浮的剛性載體B0,系統的剛性臂B1,B2,B3組成,其中P是待抓取的目標.

圖1 漂浮基三桿空間機器人與待抓取目標Fig.1 Floating based three-bar space robot and target to be grasped

假設該系統在xOy平面內作平面運動.空間機械臂系統沿著軌道以速度v運動,由于軌道曲率半徑很大,在短時間的運動內,可以把軌道近似看成一條直線.被抓取目標為以角速度繞質心旋轉的圓柱形物體,抓手手柄距離質心rh.機器人系統軌道相對于x軸位置角為 ψ,它與目標質心的距離為d.在抓取點,機械臂末端抓手與目標手柄之間的速度差為Δv.

建立各分體Bi(i=0,1,2,3) 的連體平動坐標系Oixiyi,其中O0與B0的質心Oc0重合,Oc1,Oc2和Oc3分別為機械臂B1,B2和B3的質心.各分體Bi之間以剛性旋轉副進行鉸接,其中,Oi(i=1,2,3) 為旋轉中心,xi(i=0,1,2,3)分別為機械臂Bi的對稱軸.

其他參數符號如下:l0——O1在x0軸上與O0的距離;

li——Bi沿xi軸的長度 (i=1,2,3) ;

bi——Oi到質心Oci之間的距離 (i=1,2,3) ;

mi——各分體的質量 (i=0,1,2,3) ;

Ji——各分體的中心轉動慣量 (i=0,1,2,3) ;

Oc——系統總質心;

θ0——B0上x0軸相對x軸的載體姿態角;

θi——機械臂的關節角 (i=1,2,3) .

忽略微重力的影響,由拉格朗日第二類方程,可得到載體位姿均不受控的漂浮基空間機器人系統的動力學方程

其中,q=[x0y0θ0θ1θ2θ3]T為系統廣義坐標,D(q)∈R6×6為系統的對稱慣性矩陣;R6×1為包含科里奧力、離心力的列向量;τ=[τ1τ2τ3]T∈R3×1,τi(i=1,2,3) 為通過死區后關節i的輸出力矩.

由于機械設計與制造方面的原因,系統關節通常都會存在“死區”特性,影響系統的輸出精度.關節死區特性對控制系統造成的影響可以用圖2 來表示.其中u代表控制輸入,τ代表關節輸出,一般情況下兩者并不相同.

圖2 關節死區特性圖Fig.2 Characteristic diagram of joint dead-zone

一般情況下,系統的關節死區特性可用控制輸入u與系統輸出τ之間的關系來描述

其中d i+＞ 0,d i-＜ 0,kri=kli=ki＞ 0 為死區的左右斜率且為常數,則可將系統的輸出分為如下兩部分

其中 δ(u)代表系統的關節死區特性,ku代表執行機構的對控制輸入的響應,k=diag(ki),則有

其中 δi(u) 為 δ(u)中的元素,i=1,2,3 .

存在死區的空間機器人動力學方程可以寫為

一般漂浮基空間機器人系統(5),在全局范圍內死區特性均有界,即

其中 δimax(i=1,2,3) 為未知的正常數,是向量δmax∈R3×1中的元素,δmax代表死區的實際上界.

2 反作用零空間規劃

2.1 反作用零空間數學模型

由式(5)可將空間機器人系統動力學方程寫為

其中Dbb∈R3×3，Dbm∈R3×3，Dmm∈R3×3;[HbTHmT]T且Hb∈R3×1，Hm∈R3×1;Xb表示載體的基座坐標與姿態角,且存在關系Xb=[x0y0θ0]T;qb表示機器人連桿的關節角,且存在關系qb=[ θ1θ2θ3]T.

系統耦合矩陣Dbm為

本文基座姿態無擾動的同時允許基座的平移運動,故將其中反映機械臂關節角與基座姿態關系的第三行提取出來,記為修正耦合慣性矩陣,同時也降低了計算復雜度,即

忽略太空中的微重力,對式(1)第一行積分可得系統的線動量P與角動量L[18,33],此時空間機器人系統的廣義動量為

其中Dbb表示空間機器人系統中載體的動量.定義 Γm=Dbm為機械臂運動所產生的耦合動量.對其關于時間t求導,可得臂桿作用在載體上的反作用力

若機械臂運動所產生的耦合動量 Γm為常數,則此時作用在基座上的反作用力與力矩Fm為0.當機械臂的自由度大于機器人系統載體的自由度時,若要滿足耦合動量為常數,則機械臂關節角速度解為

其中,E為單位矩陣,為Dbm偽逆矩陣,ξ=[ ξ1ξ2ξ3]T為一3 階任意列向[34],ξ 能夠對關節角速度進行一定的調整以符合相應的約束條件.若耦合動量 Γm=0,且只考慮載體姿態時,可引入修正耦合慣性矩陣,則有

當控制系統按式(14)運動,此時機械臂的運動不會擾動載體姿態的運動,從而達到了無擾動狀態.

2.2 向量范數約束法

根據反作用零空間的定義,ξ 是一個任意向量,適當的 ξ可以確保無反應空間角速度、角加速度滿足某些約束條件.為了計算出實際的反作用零空間軌跡,需要計算出具體的 ξ 數值.考慮實際的空間機器人運行環境,設定兩個約束條件:

(1)機械臂運動對載體的耦合力矩約等于0;

(2)整個運動過程,各個關節的角速度、角加速度在一個合理的范圍內.

在滿足這兩個條件下,求解滿足條件的ξ,則有

將其推廣至機械臂運動的全過程,則每個時刻應滿足

其中 ()RNS為機械臂反作用零空間關節角速度向量,()RNS為機械臂反作用零空間關節角加速度向量.

根據式(12)反作用零空間運動的反作用力與力矩為

式中‖·‖2為歐幾里德范數,則有

該算法通過求解式(19) 對 ξ 進行迭代,再由ξ求得無擾動期望軌跡.

3 非奇異快速終端滑?？刂?/h2>

在由 ξ 求得無擾動規劃軌跡后,則可以按照求得的軌跡進行控制,定義系統的增廣輸出誤差向量e為

其中ec=qb-(qb)d,

選取滑模面為

式中 α=diag(αi),β=diag(βi),其中(i=1,2,···,6),αi和βi均為正的控制器參數;m，n，p，q均為正奇數,并且滿足 2＞m/n＞1,p/q＞m/n.

對式(23)求導可得

由式(5)可得

進而式(24)可演化為

定義

令ki=1,δd=[0Tδ(u)T]T則有

其中Nδd代表了非線性死區特性對控制系統造成的影響.

采用帶有變系數的雙冪次趨近率

其中I為單位矩陣;μ1=dig[μ11,μ12,···,μ16],μ2=dig[μ21,μ22,···,μ26],μ1i和μ2i均為正常數;‖e‖=digr1=p1/q1,r2=m1/n1,p1，q1，m1，n1均為正奇數且滿足r1＞1,0＜r2＜1;在趨近運動階段,當系統狀態遠離滑模面(|si|≥1) 時,)(2I+2‖e‖)sgn(s) 能夠以較大速度趨近滑模面,當系統接近滑模面(|si|＜1) 時,)(2I+2‖e‖)sgn(s)依然能夠保證足夠的趨近速度,兩部分可以保證趨近運動全程保持足夠的收斂速度.

為了彌補死區特性對控制系統造成的影響,本文在非奇異快速終端滑?？刂频幕A上,設計了自適應死區補償器(adaptive dead-zone compensator,ADC),其結構圖見圖3.

圖3 帶有自適應死區補償器的控制系統Fig.3 Control system with ADC

系統的控制力矩為

其中u1與u2分別為

其中,σ∈R3×1保證載體姿態 θ0以及位置x0和y0所對應的控制力矩為0,為估測的死區最大值,且.u1為終端滑?？刂破鞯妮敵隹刂浦噶?實現跟蹤誤差在有限時間內到達滑動模態面以及鎮定作用.u2為控制自適應死區補償器的輸出,用來消除死區對系統跟蹤精度的影響.其參數的更新律設計如下

該自適應死區補償器能夠從估計的死區最大值逼近實際的死區值,有效的消除死區所帶來的影響.

4 穩定性證明

引入如下的Lyapunov 函數

式(34)對時間t求導可得

利用式(29)、式(31)和式(35)可變為

由控制器(32)可得

利用自適應更新率(33),則得

因V有下界且為0,則有系統是閉環穩定,即實現機械臂各關節的跟蹤與關節死區特性參數的估計.

5 模擬仿真算例

為了驗證無擾動空間規劃與該控制方法的有效性,對圖1 所示的做平面運動的漂浮基剛性三桿空間機器人系統接近抓取目標過程進行無擾動空間規劃與控制.關節死區的實際上限為 δmax1=35,δmax2=45,δmax3=15 ;其他系統參數如表1 所示.

表1 空間機器人系統參數Table 1 space robot system parameters

控制器參數分別為p/q=5/3,m/n=11/9,α=diag(2,2,2,2,2,2),β=diag(4,5,6,5,4.5,5) .

采樣間隔為L=0.01 s .機械臂系統沿軌道運行速度為v=0.1 m/s,載體姿態角 θ0=-π/6,機器人系統軌道相對于x軸位置角為 ψ=π/3 .目標物體P與軌道之間的距離d為2.3 m,其自轉速度ωp=0.13 rad/s,設定末端執行器與目標物體P之間速度差滿足 Δv≤0.02 m/s,對關節角加速度進行范數約束,初始參數設定為 ξ(0)=[0.03 0.02 0.02]T,從系統運行開始到抓取到目標共用時66 s.

設機械臂系統初始狀態為 θ1=0.8 rad,θ2=1.7 rad,θ3=-2.65 rad,系統仿真結果如圖4～圖10所示.其中,圖4～圖6 為關閉自適應死區補償器時關節角變化曲線,系統關節角無法跟蹤上無反應期望軌跡.為了展示自適應補償器的性能,關節死區的估測上限為.圖7～圖10 為開啟自適應死區補償器時的反作用零空間軌跡追蹤曲線.

當末端抓手接觸到目標手柄時,Δv=8.635 5 mm/s.圖10 表明空間機械臂接近目標過程中,自適應死區補償器能夠補償死區造成的影響,姿態角在軌跡追蹤開始時有較小變化,4 s 之后一直保持在 -π/6,實現了載體姿態無擾動;同時圖7～圖9中表明各關節角漸進追蹤上無擾動空間期望軌跡,5 s 之后一直保持在姿態無擾軌跡運行.與圖4～圖6的對比可以表明自適應死區補償器能夠有效補償死區造成的影響,使姿態角的軌跡穩定,關節角能夠有效的追蹤.

圖4 關節角1 軌跡曲線(關閉死區補償器)Fig.4 Trajectory curve of joint angle 1 (closing ADC)

圖5 關節角2 軌跡曲線(關閉死區補償器)Fig.5 Trajectory curve of joint angle 2 (closing ADC)

圖6 關節角3 軌跡曲線(關閉死區補償器)Fig.6 Trajectory curve of joint angle 3 (closing ADC)

圖7 關節角1 軌跡曲線(開啟死區補償器)Fig.7 Trajectory curve of joint angle 1 (opening ADC)

圖8 關節角2 軌跡曲線(開啟死區補償器)Fig.8 Trajectory curve of joint angle 2 (opening ADC)

圖9 關節角3 軌跡曲線(開啟死區補償器)Fig.9 Trajectory curve of joint angle 3 (opening ADC)

圖10 姿態角軌跡曲線(開啟死區補償器)Fig.10 Attitude angle trajectory curve (opening ADC)

6 結論

(1) 針對載體位姿均不受控情況下,存在關節死區的剛性三桿空間機械臂在抓取旋轉目標過程中,引入反作用零空間概念,建立反作用零空間機器人系統動力學模型,提出零空間機械臂系統的向量范數約束法,實現了載體姿態無擾動空間規劃.

(2) 在反作用零空間規劃的基礎上考慮關節死區特性,設計自適應死區補償器,對死區特性進行補償.

(3) 通過理論分析與仿真結果證明了該控制方法在關節死區情況下,機械臂的各關節角仍能跟蹤上無反應空間下的期望軌跡,同時載體的姿態處于穩定狀態.