計及短周期誤差的直齒輪副近周期運動及其辨識1)

劉鵬飛 朱凌云 茍向鋒 石建飛 金國光

(天津工業大學機械工程學院,天津 300387)

引言

齒輪傳動是機械領域應用最廣泛的傳動裝置之一.實際加工中,不可避免地產生齒距偏差,導致齒輪傳動系統工作中出現線外嚙合[1];設計時預留齒側間隙[2],易引發輪齒脫嚙與齒背接觸.輪齒磨損或破損會出現裂紋[3].因此,齒距偏差、齒側間隙與輪齒裂紋等因素影響齒輪傳動系統的動力學特性,進而影響齒輪傳動的平穩性.

齒距偏差作為齒輪系統中最基本的誤差,受到眾多學者的關注[4-10],其導致齒輪出現線外嚙合狀態.Yu和Mechefske[5]建立了齒輪線外嚙合模型,分析了線外嚙合對齒輪傳動的影響.周長江等[6]和Zhou 等[7]建立了線外嚙合沖擊模型,為計及齒距偏差的齒輪系統動力學建模及計算提供了理論基礎.石照耀等[8]考慮誤差激勵建立了基于齒輪副整體誤差的齒輪系統動力學模型.王奇斌等[9]建立了考慮齒距偏差的嚙合剛度模型及齒輪轉子系統動力學模型,分析了齒距偏差對齒輪傳動動態特性的影響.短周期誤差是以輪齒的一個齒距角為度量范圍,在齒輪回轉一周中出現z(z為齒數)次的一類誤差,引發系統的復雜周期運動,進而影響齒輪傳動平穩性[10],其引起齒輪系統的復雜周期運動的原因及分析方法亟待研究.

齒輪系統動力學模型是分析短周期誤差對其動力學特性影響的基本保證.齒輪傳動系統為強時變非線性系統,目前的齒輪系統模型中已考慮眾多時變參量.Yi 等[11]建立了考慮時變壓力角的齒輪系統動力學模型.Chen 等[12]提出了考慮由相鄰輪齒齒廓偏差與輪齒修形所產生耦合效應的齒輪傳動改進動力學模型.Moradi和Salarieh[13]建立考慮時變側隙的齒輪副動力學模型.Shi 等[14]建立了含齒側間隙與時變參量的多狀態嚙合直齒輪副動力學模型,分析了齒輪副的單雙齒交替嚙合、齒面嚙合、脫嚙及齒背接觸狀態時的動力學特性.基于以上理論基礎,Liu 等[10]建立了含齒距偏差的直齒輪副時變重合度模型,并提出計及齒距偏差與時變參量的多狀態嚙合直齒輪副非線性動力學模型,為研究齒距偏差對齒輪副的復雜周期運動的影響提供模型基礎.

非線性系統的動力學特性研究有助于判斷其工作狀態與穩定性[15-16].齒輪系統的平穩性決定了機械系統工作的安全性,考慮眾多實際因素的齒輪系統動力學特性受到廣泛研究[17-19].馬銳和陳予恕[20]進行了含裂紋故障齒輪系統非線性動力學的理論與實驗研究.郜志英等[21]研究了強非線性齒輪系統的倍周期分岔.Farshidianfar和Saghafi[22]分析了齒輪非線性系統的全局分岔與混沌.齒距偏差、輪齒剝落與磨損等現象影響齒輪系統的動力學特性,引起系統出現復雜的周期運動[10,23-24].Xiang 等[23]研究了考慮輪齒剝落的齒輪系統動力學特性,得出了輪齒剝落使系統的周期運動轉變為復雜的概周期運動,如圖1 所示.考慮磨損和裂紋的齒輪副均出現復雜周期運動,類似的復雜周期運動也出現在了考慮齒距偏差的齒輪傳動系統中[10],將其定義為“近周期運動”,研究其特點及形成機理.本文的研究方法及結果可用于分析由輪齒剝落、磨損與裂紋等短周期誤差引起的復雜周期運動.

圖1 含短周期誤差的齒輪系統的復雜周期運動[23]Fig.1 Complex periodic motions of gear systems with short-period errors [23]

非線性系統的動力學特性受參數與初值的影響較大,其中存在大量的多穩態行為[25-26].分岔導致系統出現多穩態運動,Shi 等[27-28]研究了非線性齒輪系統在雙參數平面上的多穩態運動,采用改進胞映射法精確計算出系統的吸引域,并采用多初值分岔圖研究多穩態運動轉遷過程.多穩態運動中的多解共存現象可通過吸引子信息與吸引域揭示[29-32].目前,對于多穩態運動的分析逐漸與工程實際結合,工程實際中的齒輪系統普遍存在齒距偏差等短周期誤差,其對齒輪系統動力學特性的影響需深入研究.

本文研究短周期誤差對齒輪系統周期運動的影響;針對由短周期誤差引起的復雜周期運動,提出近周期運動的定義及辨識方法并分析其辨識過程;研究含齒距偏差的直齒輪副的多穩態近周期運動.引入計及齒距偏差且含時變重合度的直齒輪副非線性動力學模型[10],根據變步長4 階Runge-Kutta 法由C 語言程序數值計算.含齒距偏差的直齒輪副近周期運動及多穩態運動通過分岔圖、最大李雅普諾夫指數譜(TLE)、相圖、Poincaré映射圖、吸引域及分岔樹狀圖進行研究.本文所提出的近周期運動辨識方法與分析結果為含短周期誤差的齒輪系統非線性動力學研究提供理論依據.

1 近周期運動的定義及其辨識方法

1.1 近周期運動的定義

齒輪傳動系統的非線性動力學中,存在一種特殊的復雜周期運動,其在長時間尺度內的周期數為n,短時間尺度內的周期為nr,將該類運動定義為近周期運動,其中n與r為正整數.

文獻[10]在研究考慮齒距偏差的直齒輪副動力學特性時發現,不考慮齒距偏差時,系統周期2 運動(圖2(a)中當k＞ 0.42 時)的Poincaré映射為兩個離散的點;考慮齒距偏差時(如圖2(b)所示),系統對應周期2 運動的Poincaré映射變為了兩簇點.該類復雜的周期運動即為近周期運動.

圖2 隨剛度波動幅值變化的直齒輪副動力學特性[10]Fig.2 Dynamics characteristics of spur gear pair via stiffness fluctuation amplitude [10]

1.2 近周期運動的特征

齒輪傳動系統的運動具有極強的周期性.不考慮輪齒誤差時,每對輪齒的動力學特性和嚙合特性是相同的,即其以一對輪齒嚙入至嚙出為一個周期,稱為輪齒嚙合周期.若主動輪或從動輪中僅有一個存在誤差,則其以存在誤差的主動輪或從動輪回轉一周為周期.若主從動輪均含有誤差,則以轉過主從動輪齒數組合數個齒為周期,即一個完整輪齒組合周期.齒輪誤差分為長周期誤差與短周期誤差.短周期誤差為每個輪齒嚙合周期出現一次的誤差,長周期誤差對于單個齒輪而言,為齒輪回轉一周出現的誤差;對于齒對而言,為每轉過一個完整輪齒組合周期出現一次的誤差.齒距偏差作為短周期誤差對齒輪動力學特性具有很大影響.

嚙合輪齒的齒距偏差值每隔一個嚙合周期變化一次,即為齒輪副動力學特性分析中考察的最小時間尺度,稱為微觀時間尺度,即短時間尺度.不同輪齒嚙合產生的相對齒距偏差值每隔一個完整輪齒組合周期變化一次,即為齒輪副動力學特性分析中考察的最大時間尺度,稱為宏觀時間尺度,即長時間尺度.主動輪或從動輪回轉一周為介觀時間尺度.通過該方式劃分時間尺度,可有效分析含短周期誤差齒輪副的近周期運動.

齒輪系統中的短周期誤差如齒距偏差、輪齒剝落、輪齒裂紋及磨損等均會引起齒輪系統出現近周期運動,其特征主要表現為以下兩點.

(1)若不考慮直齒輪副齒距偏差時,系統的周期運動數為n,則考慮直齒輪副齒距偏差時的近周期運動數亦為n,此亦即長時間尺度內的周期運動數,而其在短時間尺度內的實際運動周期數為nr.其中,r=kl-q,k為主動輪齒距偏差值分組中每組內的輪齒數,l為從動輪齒距偏差值分組中每組內的輪齒數,q為k個主動輪齒距偏差值與l個從動輪齒距偏差值組合后的相同組合值的個數.zp與zg分別為主動輪與從動輪的齒數,主從動輪的齒距偏差值按正弦規律分組分布于各輪齒,且k≤zp,l≤zg.每個長時間尺度范圍內的短時間尺度取值周期為zpzg/r.

(2)不考慮齒距偏差的系統在短時間尺度內為穩定周期運動,其Poincaré映射為兩個點,如圖2(a)所示;含齒距偏差的系統在短時間尺度內表現為近周期運動,其Poincaré映射由兩個點變為兩個點簇,每個點簇中的點數量為r,如圖2(b)所示.當考慮短周期誤差時,在長時間尺度內考察的穩定周期運動在短時間尺度內會出現變化,長時間尺度內的周期n運動在短時間尺度表現為復雜的周期n運動,其Poincaré映射圖由n個點變為n簇點,其相圖由n條相軌跡變為n簇相軌跡.

1.3 近周期運動的辨識基本原理

為了辨識系統的近周期運動,定義四類不同時間尺度的Poincaré映射截面,分析宏觀尺度下與微觀尺度下的系統非線性動力學特性.4 類不同時間尺度的Poincaré映射截面分布為

其中,ω為嚙合頻率,t為時間.時間映射截面Γ1為每經一個嚙合周期取一次映射點,稱為微觀時間尺度截面;時間映射截面Γ2為主動輪每回轉一周取一次映射點;時間映射截面Γ3為從動輪每回轉一周取一次映射點,Γ2與Γ3為介觀時間尺度截面;時間映射截面Γ4為每經過一完整輪齒組合周期取一次映射點,稱為宏觀時間尺度截面.

結合相圖、分岔圖、TLE 譜、吸引域與分岔樹狀圖等方法辨識近周期運動.由相圖與不同時間尺度Poincaré映射圖可辨識系統在微觀時間尺度下的運動周期數及宏觀時間尺度下的實際運動周期數,并判斷系統的相軌跡拓撲結構、速度位移變化及輪齒多狀態嚙合情況;通過分岔圖與TLE 譜判斷系統處于周期運動或混沌運動,進一步辨識系統在不同時間尺度下隨參數變化的近周期運動,并分析系統在長時間尺度與短時間尺度內的動力學特性;由吸引域與分岔樹狀圖得出系統隨參數變化的多穩態近周期運動轉遷過程,結合分岔圖與TLE 譜辨識吸引域的實際周期數及實際吸引子數量.該辨識方法也可用于分析其他短周期誤差引起的近周期運動.

2 計及齒距偏差的直齒輪副動力學模型

直齒輪副的簡化物理模型如圖3 所示.其中,Tp與Tg分別為輸入、輸出轉矩,Ip與Ig分別為主從動齒輪的轉動慣量,Op與Og分別為主從動齒輪的中心,θp與θg分別為主從動齒輪的角位移,Rbp與Rbg分別為主從動齒輪的基圓半徑,k(τ)為時變嚙合剛度,cg為嚙合阻尼;e(τ)為時變綜合傳遞誤差,為齒側間隙半值,μ為摩擦系數.

圖3 齒輪副簡化物理模型Fig.3 Simplified physical model of gear pair

設主從動齒輪的極限齒距偏差值分別為ΔFpt1與ΔFpt2,則主從動齒輪的齒距偏差函數分別為

其中,Ni∈(1,zi) (i=p,g)為主從動齒輪齒距偏差互不相同值的個數,則任意兩輪齒嚙合時的相對齒距偏差值為

其中,為相互嚙合的兩個輪齒的齒距偏差值疊加所形成的組合值,其可能的取值數量

式中LCM()為最小公倍數的計算函數.齒輪從初始狀態嚙合,嚙合次數為N時,完成一個完整輪齒組合周期,其最大取值為zpzg-1 .

計及齒距偏差的直齒輪副非線性動力學模型為

其中,u(t,x)為含齒距偏差直齒輪副嚙合狀態函數,f(x)為齒側間隙函數,分別為

3 計及齒距偏差的直齒輪副近周期運動

3.1 直齒輪副的近周期運動辨識

本節對計及齒距偏差的直齒輪副近周期運動進行辨識.以本實驗室試驗臺中的齒輪副為研究對象,其參數如表1 所示.主從動輪的極限齒距偏差值分別為ΔFpt1=± 9 μm 與ΔFpt2=± 10 μm,Np=21,Ng=26,a∈[1,21],b∈ [1,26] .主從動輪的齒距偏差值如表2與表3 所示.考慮齒距偏差的直齒輪副在Γ1，Γ2，Γ3與Γ4截面下隨剛度波動幅值變化的分岔圖與TLE 譜分別如圖2(b)、圖4(a)與圖4(b)所示.Γ1截面下的映射點由藍色表示;Γ2截面下的映射點由紫色表示;Γ3截面下的映射點由天藍色表示;Γ4截面下的映射點由紅色表示.

圖4 隨剛度波動幅值變化的直齒輪副多時間尺度分岔圖Fig.4 Bifurcation diagrams of the spur gear pair with different time scales via stiffness fluctuation amplitude

表1 齒輪參數Table 1 Parameters of a spur gear pair

表2 主動輪齒距偏差值(Np=21)Table 2 Pitch deviation values of the pinion (Np=21)

表3 從動輪齒距偏差值(Ng=26)Table 3 Pitch deviation values of the gear (Ng=26)

隨著剛度波動幅值的增大,系統的混沌運動均經鞍結分岔退化為周期運動.系統在微觀時間尺度(Γ1截面)的分岔圖中,周期運動的映射點數量較多,在兩個區域內出現點簇,表現為近周期2 運動,如圖2(b)所示.由于短周期誤差的存在,系統的周期運動較復雜,齒輪傳動平穩性較差.當時間尺度增大時,分岔圖取Γ2截面,近周期2 運動在Γ2截面下的每個點簇中的映射點數量相對Γ1截面減少,因為此時已忽略了主動輪的影響,如圖4(a)所示.取Γ3截面時,每個點簇中的映射點數量相對Γ2截面繼續減少,這是因為此時忽略了從動輪的影響,而從動輪上齒距偏差分布比主動輪上復雜.當時間尺度取一個完整輪齒組合周期時,分岔圖中的周期運動映射點數為2,表現為周期2 運動,如圖4(b)所示,因為此時已忽略了主從動輪每個輪齒的差異.可見,系統在微觀時間尺度內的近周期2 運動在宏觀時間尺度內為周期2 運動.系統的實際運動周期為宏觀時間尺度內的Poincaré映射點數;微觀時間尺度內的映射點為對應宏觀時間尺度內映射點數的點簇.

通過近周期運動辨識方法進一步分析含齒距偏差的直齒輪副隨扭矩變化的動力學特性,如圖5 所示.由圖可見,當扭矩較小時,系統呈現混沌運動.在微觀時間尺度內,系統經鞍結分岔由混沌運動退化為近周期2 運動,再經逆倍化分岔退化為近周期1 運動,如圖5(a)所示.Γ2與Γ3截面內系統的動力學特性如圖5(b)所示,系統由混沌運動退化為近周期2 運動,再退化為近周期1 運動,由圖5(b) 中A與B局部放大所示,Γ3截面的每個點簇的映射點數量小于Γ2截面的每個點簇的映射點數量.對照圖5(a)和圖5(b)可見,周期運動分岔圖的線寬明顯減小.當時間尺度繼續增大時,選取Γ4截面,系統經鞍結分岔由混沌運動退化為周期2 運動,再經逆倍化分岔退化為周期1 運動,如圖5(c)所示.由宏觀時間尺度Poincaré映射截面辨識系統的近周期2 運動為周期2 運動.考慮齒距偏差的直齒輪副實際動力學特性表現為:混沌運動→周期2 運動→周期1 運動.

圖5 隨扭矩變化的直齒輪副多時間尺度分岔圖Fig.5 Bifurcation diagrams of the spur gear pair with different time scales via torque

系統在不同時間尺度Poincaré映射截面下隨嚙合頻率變化的分岔圖及對應的TLE 譜如圖6 所示.當嚙合頻率較小時,系統在微觀時間尺度內表現為明顯的近周期1 運動,如圖6(a)所示.隨著時間尺度的增大,近周期1 運動的點簇中映射點數量逐漸減少,如圖6(b)所示.隨著嚙合頻率的增大,微觀時間尺度下的系統近周期1 運動經倍化分岔進入近周期2 運動,再經鞍結分岔通向混沌運動,隨后經逆倍化序列退化為近周期3 運動,最后經周期跳躍退化為近周期1 運動.

圖6 隨嚙合頻率變化的直齒輪副多時間尺度分岔圖Fig.6 Bifurcation diagrams of the spur gear pair with different time scales via meshing frequency

在宏觀時間尺度下,系統的近周期運動被辨識為周期運動,如圖6(c)所示.系統在宏觀時間尺度內的動力學特性表現為周期1 運動→周期2 運動→混沌運動→周期6 運動→周期3 運動→周期1 運動.

由圖4～ 圖6可得,短周期誤差對周期運動的影響較大,使其變復雜.由于混沌運動本身為復雜的非周期運動,短周期誤差對于混沌運動的影響不明顯.由此可見,相對于宏觀時間尺度內的系統動力學特性,短周期誤差在微觀時間尺度內影響齒輪傳動的平穩性.

綜上所述,含短周期誤差的直齒輪副出現較為復雜的近周期運動.近周期運動辨識方法可有效地分析并判斷系統在微觀時間尺度與宏觀時間尺度內的動力學特性.系統的實際運動周期數為宏觀時間尺度內的Poincaré映射點數或微觀時間尺度內的Poincaré映射點簇數.下一節將進一步研究含短周期誤差的直齒輪副多穩態近周期運動.

3.2 直齒輪副的多穩態近周期運動

非線性系統在不同狀態變量初值下會出現多種穩定狀態.短周期誤差使系統出現多穩態近周期運動,影響系統的穩定性.本節主要研究含齒距偏差的直齒輪副多穩態近周期運動,通過多初值分岔圖、多初值TLE 譜、吸引域、相圖、Poincaré映射圖及分岔樹狀圖分析系統的動力學特性.為了使結果具有普遍性,齒距偏差取值為Np=21,Ng=13,a∈[1,2],b∈[1,3].主從動輪的具體齒距偏差值分別如表2與表4 所示.狀態平面內的吸引域及吸引子信息可通過改進胞映射法計算得出,狀態域 Ω 被平均分為600 × 600 個胞,所考察的狀態域范圍建立為Ω ∈{-3 ≤x≤3,-3 ≤≤3},該狀態域包含系統所有可能出現的狀態值.

表4 從動輪齒距偏差值(Ng=13)Table 4 Pitch deviation values of the gear (Ng=13)

考慮齒距偏差的直齒輪副隨扭矩變化的動力學特性如圖7～圖9 所示.參數取ω=1.2,k=0.3,ξ=0.2,ε=0.2,μ=0.12 與D=1.系統多初值分岔如圖7所示.

圖7 中Sn 與Pn 表示混沌運動;PNn,QNn和RNn表示近周期n運動.Bij表示普通分岔點,Gij,Hij,Kij和Mij表示共存吸引子發生變化的分岔點,i和j代表系統在分岔點前后的運動狀態.多初值分岔圖對應吸引域如圖8 所示,可表示系統出現多穩態運動時的吸引子與吸引域演變規律.為了更直觀地說明系統運動轉遷過程,構建分岔樹狀圖,如圖9所示.

圖7 系統隨扭矩變化的多初值分岔圖及TLE 譜Fig.7 Multi-initial values bifurcation diagrams and TLE spectrums of system via F

當扭矩較小時,系統出現混沌運動(Sn),經過周期窗口(PN3)后,逐漸演變為另一混沌運動(Pn).系統的Pn 運動在BnN2 點經鞍結分岔退化為近周期2 運動(PN2),分岔圖中的Poincaré映射點表現為兩個點簇.在GN2 N2 點,系統出現兩種近周期2 運動共存(PN2 與QN2),對應吸引域及吸引子信息如圖8(a)所示,紅色代表PN2 運動,“▲”表示PN2 運動吸引子;青色代表QN2 運動,“○”表示QN2 運動吸引子.QN2 運動吸引子及Poincaré映射點更為復雜,系統處于QN2 運動時受齒距偏差影響較大,近周期更為明顯,導致齒輪傳動不平穩.在BN2 N1 點,系統的PN2 運動經逆倍化分岔退化為近周期1 運動(PN1),“◇”表示PN1 運動吸引子,系統出現PN1 運動與QN2 運動共存,如圖8(b) 所示.在HN2 N2 點,系統出現三穩態運動,即近周期1 運動(PN1)與兩種近周期2 運動(RN2 與QN2)共存,寶藍色代表RN2 運動,“△”表示RN2 運動吸引子,如圖8(c)所示.QN2 運動吸引域被RN2 運動吸引域侵蝕,系統出現QN2 運動的可能性減小.RN2 運動與QN2 運動的吸引子均呈現兩個區域的點簇.在KN2 N2 點,QN2 運動消失,系統出現RN2 運動與PN1 運動共存,如圖8(d) 所示.在MN2 N1 點,RN2 運動退化為PN1 運動,系統僅存在一種相對平穩的PN1 穩態運動.隨著扭矩的增大,系統的近周期運動逐漸不明顯.在扭矩較大時,齒距偏差對系統運動平穩性的影響較小.

圖8 系統隨扭矩變化的吸引域Fig.8 Basin of attraction of system via F

通過構建分岔樹狀圖可更直觀地表示系統的運動轉遷過程.紅色框表示共存吸引子出現或消失的分岔點;黑色框表示普通分岔點;藍色圈為混沌與近周期解;黃色框為相同轉遷過程.含齒距偏差的直齒輪副隨扭矩變化的運動轉遷過程如圖9 所示.

圖9 系統隨扭矩變化的分岔樹狀圖Fig.9 Bifurcation dendrogram of system via F

多初值分岔圖中的紅色部分的穩態運動轉遷路徑為:Sn→BnN3→PN3→BN3 n→Pn→BnN2→PN2→GN2 N2→PN2→BN2 N1→PN1.多初值分岔圖中的青色部分的穩態運動轉遷路徑為:Sn→BnN3→PN3→BN3 n→Pn→BnN2→PN2→GN2 N2→QN2→HN2 N2→QN2→KN2 N2→RN2→MN2 N1→PN1.多初值分岔圖中的寶藍色部分的穩態運動轉遷路徑為:Sn→BnN3→PN3→BN3 n→Pn→BnN2→PN2→GN2 N2→QN2→HN2 N2→RN2→MN2 N1→PN1.

受齒距偏差的影響,系統出現復雜的多穩態近周期運動,共3 種共存吸引子.當扭矩較小時,系統表現為混沌運動,多穩態近周期運動較為復雜,導致齒輪傳動平穩性降低.當扭矩較大時,系統表現為單穩態運動,且近周期運動不明顯,齒輪傳動平穩性相對較好.含齒距偏差系統的多初值分岔圖中的Poincaré映射點表現為點簇,對應的吸引子亦表現為點簇形式,系統運動狀態受初值的影響較大.

含齒距偏差的直齒輪副隨嚙合頻率變化的動力學特性如圖10～圖13 所示.參數選取為:F=0.15,k=0.1,ξ=0.07,ε=0.15,μ=0.15 與D=1.系統的多初值分岔及對應的TLE 譜如圖10 所示.多初值分岔圖對應的吸引域、相軌跡及Poincaré映射如圖11 與12 所示.分岔樹狀圖如圖13 所示.根據式(6)與圖12中的相軌跡,當輪齒相對位移x始終大于齒側間隙半值D時,齒輪副始終處于齒面嚙合狀態;當輪齒相對位移x小于齒側間隙半值D且大于齒側間隙負半值-D時,齒輪副出現輪齒脫嚙狀態;當輪齒相對位移x小于齒側間隙負半值-D時,齒輪副出現齒背接觸狀態.

圖10 系統隨嚙合頻率變化的多初值分岔圖及TLE 譜Fig.10 Multi-initial values bifurcation diagrams and TLE spectrums of system via ω

圖11 系統隨嚙合頻率變化的吸引域Fig.11 Basin of attraction of system via ω

圖12 系統隨嚙合頻率變化的相圖與Poincaré映射圖Fig.12 Phase portraits and Poincaré maps of system via ω

圖13 系統隨嚙合頻率變化的分岔樹狀圖Fig.13 Bifurcation dendrogram of system via ω

圖中Sn,Pn 與Tn 表示混沌運動;PNn,QNn,RNn和TNn表示近周期n運動.Gij,Mij,Hij,Kij,Jij和Iij表示共存吸引子發生變化的分岔點.當嚙合頻率較小時,系統僅存在一種穩態運動,表現為近周期1 運動(PN1).在GN1 N2 點,系統出現兩種穩態運動,即近周期1 運動與近周期2 運動共存(PN1 與QN2),且QN2 運動的近周期現象更明顯,對應的吸引域及吸引子信息如圖11(a)所示,紅色代表PN1 運動,“◇”表示PN1 運動吸引子;青色代表QN2 運動,“△”表示QN2 運動吸引子.PN1 運動的吸引域面積較大,其存在的可能性較大,QN2 運動的每個點簇中的吸引子數量較多.齒輪副處于QN2 運動時的脫嚙程度大于PN1 運動,且QN2 運動相軌跡

更為復雜,因此,齒輪副處于QN2 運動時的傳動平穩性較差,如圖12(a)所示.由于QN2 吸引域的面積相對較小,齒輪副出現傳動不平穩的可能性較低.

在BN2 N2 點,QN2 運動演變為RN2 運動,在MN1 n 點,系統出現近周期1 運動(PN1),近周期2 運動(RN2)與混沌運動(Sn)共存,此時,青色代表RN2 運動;紫色代表Sn 運動,“·”表示Sn 運動吸引子.RN2 運動的吸引域面積增大,PN1 運動的吸引域被Sn 運動的吸引域侵蝕,如圖11(b)所示.系統處于RN2 運動與Sn 運動均出現齒背接觸,且RN2 運動的齒背接觸程度較大,而系統處于PN1 運動時僅存在脫嚙狀態且脫嚙程度較小,如圖12(b)所示.當系統處于RN2 運動與Sn 運動時,齒輪傳動不平穩.在KnN1 點,Sn 運動退化為PN1 運動,系統出現RN2 運動與PN1 運動共存.在BN1 N2 點,近周期1 運動(PN1)經倍化分岔進入近周期2 運動(PN2),系統出現兩種近周期2 運動(PN2 與RN2)共存,對應吸引域如圖11(c)所示,“○”表示PN2 運動吸引子.系統處于RN2 運動時出現脫嚙及齒背接觸狀態,而系統處于PN2 運動時僅出現脫嚙狀態,如圖12(c)所示.由于PN2 運動的吸引域面積相對較大,系統處于PN2 運動的可能性較大,齒輪傳動平穩的可能性亦較大.在IN1 N2 點,RN2 運動演變為PN2 運動,系統僅存在近周期2 運動(PN2).

系統在BN2 n 點經鞍結分岔進入混沌運動,在BnN6 點經逆倍化序列退化為近周期運動,并在BN6 N3 點退化為近周期3 運動(PN3).在HN3 n 點,系統出現近周期3 運動與混沌運動(Tn)共存,對應吸引域如圖11(d)所示,此時,紅色代表PN3 運動,“+”表示PN3 運動吸引子;寶藍色代表Tn 運動,“·”表示Tn 運動吸引子.系統處于PN3 運動與Tn 運動時均出現齒背接觸狀態,如圖12(d)所示,系統處于Tn 運動狀態時的齒輪傳動平穩性較差.在此嚙合頻率下,Tn 運動的吸引域面積較大,齒輪出現傳動不平穩的可能性大.系統的混沌運動在BnN2 點經逆倍化序列退化為近周期2 運動(TN2),系統出現近周期3 運動(PN3)與近周期2 運動(TN2)共存,此時,寶藍色代表TN2 運動,“▲”表示TN2 運動吸引子,如圖11(e)所示.系統處于PN3 運動時仍存在齒背接觸狀態,而系統處于TN2 運動時僅存在脫嚙狀態,如圖12(e)所示.由于PN3 運動的吸引域面積較小,齒輪出現傳動不平穩的可能性較小.

在BN2 N1 點,TN2 運動經逆倍化分岔退化為近周期1 運動(TN1),寶藍色代表TN1 運動,“◆”表示TN1 運動吸引子,如圖11(f)所示,系統的近周期運動逐漸消退,齒距偏差對系統周期運動的影響繼續減小.系統處于PN3 運動時仍存在齒背接觸狀態,而系統處于TN1 運動時僅存在脫嚙狀態且脫嚙程度減小,如圖12(f)所示.TN1 運動吸引域面積較大,齒輪傳動平穩性繼續增大.系統的PN3 運動在JN3 N1 點退化為PN1 運動,同時TN1 運動轉為PN1 運動,系統僅存在一種穩態運動,即近周期1 運動(PN1).系統隨嚙合頻率變化時出現復雜的多穩態運動,影響齒輪傳動平穩性.隨著嚙合頻率增大,齒距偏差對齒輪傳動平穩性的影響逐漸減小.

系統隨嚙合頻率變化的運動轉遷過程可通過分岔樹狀圖表示,如圖13 所示.藍色框與綠色框表示相同運動轉遷過程.

多初值分岔圖的紅色部分穩態運動轉遷路徑為:

PN1→GN1 N2→PN1→MN1 n→PN1→BN1 N2→PN2→BN2 n→Pn→BnN6→PN6→BN6 N3→PN3→HN3 n→PN3→JN3 N1→PN1.

多初值分岔圖的青色部分穩態運動轉遷路徑為:PN1→GN1 N2→QN2→BN2 N2→RN2→IN2 N2→PN2→BN2 n→Pn→BnN6→PN6→BN6 N3→PN3→HN3 n→PN3→JN3 N1→PN1.

多初值分岔圖的紫色部分穩態運動轉遷路徑為:PN1→GN1 N2→PN1→MN1 n→Sn→KnN1→PN1→BN1 N2→PN2→BN2 n→Pn→BnN6→PN6→BN6 N3→PN3→HN3 n→PN3 →JN3 N1→PN1.

多初值分岔圖的寶藍色部分穩態運動轉遷路徑為:PN1→GN1 N2→PN1→MN1 n→ PN1→BN1 N2→ PN2→BN2 n→Pn→BnN6→PN6→BN6 N3→PN3→ HN3 n→Tn→BnN2→TN2→BN2 N1→TN1→PN1.

含齒距偏差的直齒輪副隨嚙合頻率變化時出現4 種穩態運動.受齒距偏差影響,系統的周期運動較為復雜,對應于QN2 與RN2 的近周期運動更為明顯.當嚙合頻率處于敏感參數范圍內,系統容易出現多解共存的情況,引起多穩態運動的發生.齒距偏差增加了系統在微觀時間尺度內的相軌跡數量、吸引子數量及Poincaré映射點數,使其呈現線簇或點簇形式,導致復雜的周期運動.初值對系統運動影響較大,當系統處于不同穩態運動時,會導致不同程度的脫嚙與齒背接觸發生.當系統處于敏感參數范圍內,更易出現脫嚙與齒背接觸及混沌運動狀態,導致齒輪傳動平穩性降低.合理的嚙合頻率范圍及初值范圍可提高直齒輪副傳動的平穩性.

4 結論

本文提出近周期運動的定義及其辨識方法,分析了近周期運動的辨識過程,并研究了系統在參數與初值影響下的多穩態近周期運動,結論如下所示.

(1)齒距偏差作為齒輪副的短周期誤差導致系統出現近周期運動.當齒輪副中考慮齒距偏差時,在長時間尺度范圍內考察的穩定周期運動在短時間尺度內會發生變化.長時間尺度內的周期n運動在短時間尺度內其Poincaré映射圖由n個點變為n簇點,其相圖由n條相軌跡變為n簇相軌跡.通過近周期運動辨識方法,可有效地判斷系統在微觀時間尺度與宏觀時間尺度內的動力學特性.系統的實際運動周期數為宏觀時間尺度的Poincaré映射點數或微觀時間尺度的Poincaré映射點簇數.

(2)受短周期誤差影響,系統出現復雜的多穩態近周期運動.當扭矩或嚙合頻率處于敏感取值范圍內,系統易出現多解共存的情況,導致其出現多穩態運動.齒距偏差增加了系統在微觀時間尺度內的相軌跡數量、吸引子數量及Poincaré映射點數,導致齒輪傳動平穩性降低.通過吸引域可分析系統運動轉遷過程并判斷各穩態出現的可能性.當系統處于敏感參數及初值范圍內,直齒輪副容易出現脫嚙、齒背接觸與混沌運動狀態.合理的參數范圍及初值范圍可提高齒輪傳動的平穩性.