綜合素質培養融入教學案例設計探索

李婭 苑佳 李美生 薛玉梅

摘?要：作為數學教師，其職責不僅僅是教會學生數學知識，更重要的是通過教學過程，使學生建立嚴謹的數學思維，引導他們主動探索和思考，鍛煉分析問題、解決問題、理論和實踐相結合等能力，從而培養出國家建設迫切需要的多層次創新型人才。通過一個案例在各個教學環節的應用與拓展，精心設計問題與解決方法，潛移默化訓練學生的各方面能力，使他們的數學素養和綜合素質得到均衡發展和逐步提高。

關鍵詞：數列;單調有界定理;導數;變量可分離方程;種群模型

中圖分類號：O172??文獻標識碼：C

1?概述

經典的高等數學或數學分析教材中，在數列的極限部分，通常會采用數學實例引入數列及其極限的定義[12]，然后講解數列相關知識，而此后相關的例題大多為純粹的數學問題。而在整個微積分的教學過程中，除函數的極值最值問題以及積分的物理應用和幾何應用部分之外，也很少涉及與其他領域或者實際問題有關的應用性問題。

本文以一個具有生物背景的應用性問題為例，詳細介紹此問題在數列和微分方程應用的教學設計。通過這樣的案例設置，一方面從廣度上，激發學生的學習興趣的同時拓展學生的數學視野，讓學生了解科學研究的最前沿方向以及數學在其中發揮的重要作用;另一方面，在解決問題的過程中，鍛煉學生的邏輯分析能力和實踐動手能力，啟發學生積極思考和勇于探索，培養終身學習的能力，順應國家現代化建設所需的多層次創新型人才培養的需求。

2?案例設計

設計所采用的案例具有生物上的應用背景，根據研究對象的不同分別表現為離散形式和連續形式。兩種形式下的案例均可結合高等數學各個階段的教學重點知識進行研究和探索，故本案例將貫穿整個高等數學的學習過程，多次引用和拓展深入，在分析問題和解決問題的過程中，培養學生多方面的能力。

2.1?數列極限的案例設計和教學目標

例1[3]?有些昆蟲種群的生長規律可以用如下的遞推公式表示：pn+1=kpn（1-pn），其中0

1表示第n代種群的數量占環境所能容納的最大種群數量的比例，k為單位種群的自然增長率。

步驟一：取p0=0.5，分別取k=0.5，1.5，3.2，3.45，38，用Mathematica軟件繪制數列{pn}，學生觀察：數列{pn}是否有極限？若有，極限值是多少？若沒有，數列{pn}是否有一定的變化規律？

觀察可得：當k=0.5，1.5時極限存在，其中一個極限為0，一個極限非零;當k=3.2，3.45時極限不存在，但數列取值呈現周期性變化的趨勢;當k=3.8時極限不存在，且數列的值隨機變化。

步驟二：學生思考：對于極限存在的情況，是否可以用理論推導的方式求極限？如何求？

方法：利用單調有界定理證明極限存在性，然后求極限（板書或PPT展示過程）。

步驟三：取k=3.8，將p0的值作一個微小的擾動（例如減少0.001），用Mathematica軟件繪制數列pn，學生觀察：與步驟一中同一參數對應的數列的圖像進行比較，觀察圖像如何改變，是否有一定規律。

觀察可得：此數列對初始值的選取非常敏感。

知識拓展及理論類比：混沌理論。

此時數列所表現出來的隨機性和對于初值的敏感性等特點，表明此種群系統處于混沌狀態。混沌理論是一種兼具質性思考與量化分析的方法，用以探討動態系統中無法用單一的數據關系，而必須用整體，連續的數據關系才能加以解釋及預測之行為。在混沌系統中，初始條件十分微小的變化，經過不斷放大，對其未來狀態會造成極其巨大的差別。蝴蝶效應是混沌現象的典型例子，一只蝴蝶今天在北京扇動翅膀，可能在大氣中引發一系列事件，從而導致某個月紐約一場暴風雨的發生。

步驟四：學生思考：從觀察和推導的數學結論能得出關于昆蟲種群生長的什么結論？

分析可得：數列pn的變化趨勢即代表種群數量的變化趨勢。當種群的自然增長率比較低（k=0.5）時，最終種群數量會逐漸縮小直至種群消失;當自然增長率增加（k=1.5）時，種群數量最終趨向于固定規模;當自然增長率繼續增大（k=3.2，3.45）時，種群數量呈現周期性變化的趨勢;自然增長率增大到一定程度（k=3.8）時，種群數量呈隨機變化的趨勢。從本例看出，實際問題可以轉化為數學問題，然后利用數學工具進行研究，然后將研究結果與實際問題去對應，從而解決實際問題。

總結：本例具有很強的應用背景，通過本例的展示，使學生了解數學與其他學科的交叉和應用，也使得相對枯燥的數學知識更加有趣，激發學生的積極性。本案例充分體現了科學研究的基本思路和方法：發現規律，主動思考，分析問題，解決問題。借助引導式、啟發式的教學方法，幫助學生透過現象看本質，循序漸進地發現問題并一一解決，是對學生科學研究能力的基本訓練，同時也提高了學生的自信心，堅定他們不畏困難、勇闖難關的信念。同時本案例的展示，為學生提供了多樣化的現代學習方式，引導學生充分利用計算機的優勢輔助解決問題。對混沌知識的拓展，擴大了學生的知識視野，多維度地展現一個豐富多彩的世界。

2.2?常微分方程的案例設計和教學目標

例2?在某些種群數量研究中，如果種群生長和繁殖不同于昆蟲種群具有按季節或者年份的規律，則可將種群的生長看作是連續的，此時可將種群數量看作是關于時間t的函數。記x（t）為時刻t時的種群數量占環境所能容納的最大種群數量的比例，則由導數定義，種群的增長率可表示為x′（t）。通過對影響種群增長的因素進行分析，一般可用如下方程表示種群的變化：x′（t）=kx（1-x），k為單位種群的自然增長率，這個方程在種群動力學中稱為Logistic模型，是研究連續變化的種群增長規律的最基本模型。

步驟一：學生思考：如何研究種群數量隨時間變化的趨勢？

分析：轉化為常微分方程求解。

求解方法1：軟件數值求解。設x（0）=a，取a=0，0.5，1，k=0.5，1.5，3.8，用Mathematica軟件求解對應的微分方程初值問題并繪制解的圖像。

a=0

a=1

a=0.5

此模型所對應的微分方程初值問題，并根據結果分析種群變化趨勢。

從上述結果可以看到，若初始時刻種群數量為0，則后續種群數量也為0，此結果從生物角度上看也是顯然的;若初始時刻種群數量為環境所能容納的最大值（a=1），則種群數量保持不變;若初始時刻種群數量介于0和最大值之間，則最終種群數量將增至最大值，其趨勢不隨自然增長率的取值不同而不同。

求解方法2：理論求解。板書或PPT展示利用變量分離法求解得到：x（t）=aekt1-a+aekt。

則種群的變化趨勢可以通過研究limt→+

x（t）=0，若a=0或k<0，

a，若k=0，

1，若a>0且k>0.

理論求解和數值求解的優缺點比較：理論求解得到的結論更加系統全面，可以將所有參數取值可能出現的情況一一列舉;數值求解的優越性體現在其結果更直觀，計算速度更快，特別是對于一些無法用理論求解的方程，數值求解是研究解的性質的最常用工具。

步驟二：知識拓展。

數學建模的思路拓展：本案例從函數導數的物理意義出發，將種群數量隨時間變化的變化率用函數表示，建立微分方程并研究解的性質，從而間接得到種群數量關于時間變化的規律。研究結果在生態保護、害蟲防治、人口控制等方面均有重要的理論和實用價值。除種群模型外，科學家們還利用類似的方法研究其應用性問題，如彈道與飛機軌跡、電子裝置設計、神經網絡、傳染病傳播等等。

例如，很多傳染病具有這樣的特點，易感者從染病之后到發展到有癥狀可以傳播傳染病之前，存在一個潛伏期，因此可根據傳染病特點建立S（易感人人群）E（潛伏期人群）I（感染者人群）R（康復者人群）傳染病模型：

dSdt=-rβSIN，

dEdt=rβSIN-aE，

dIdt=aE-γI，

dRdt=γI.

通過對模型的研究，可以深入了解流行病學基本參數，如基

本再生數、平均潛伏期、平均傳染期、非典型患者占比和流

行趨勢，包括流行時間、疫情拐點、流行規模等，其結果對

傳染病的傳播、控制和免疫提供有力的理論支撐。

連續系統的混沌拓展：美國氣象學家Lorenz在研究大氣運動的時候，通過對對流模型簡化，建立了如下模型，我們稱之為Lorenz模型[7]：

dxdt=σ（y-x），

dydt=ρx-y-xz，

dzdt=xy-βz.

Lorenz模型也是混沌領域的經典模型，系統中選擇合適的參數，系統會進入混沌狀態，表現出和離散系統類似的對初值的敏感性（見下圖）。

x（0）=-16，y（0）=-21，???z（0）=33???x（0）=-16，y（0）=-21，?z（0）=33.00001

總結：

本案例與上一案例類似，也是研究生物種群生長這一應用問題，均為通過數學建模的方法，將應用問題轉化為數學問題，并利用數學工具進行研究，但由于種群生長特點不同，從而體現出的形式也由離散形式轉化為連續形式。采用微分方程建模，然后利用數學工具研究種群變化規律是種群動力學的主要研究方法。本例所討論的Logistic模型，是種群動力學中最基礎的模型，由此可以進一步延拓，根據所研究的重點，構造新的模型進行研究。因此本例的作用除用作一個典型的變量可分離方程的例題之外，更重要的是透過此例向學生介紹最新最前沿的數學研究方向和研究方法，開拓學生的數學思維，提高他們的學習熱情。而在知識拓展部分，介紹了連續系統的混沌現象，與上一例中離散系統的混沌現象相呼應，進一步拓寬了學生的知識面。此外，向學生介紹利用數學工具對疾病的傳播以及免疫隔離措施的評估等方面所取得的進展，培養學生的國際視野。

結論

國家的現代化建設需要學校培養出優秀的高層次創新型人才，因此教育工作者在知識的傳授過程中，不應拘泥于教會學生課本的知識，而是需要將理論知識和實際應用相結合，將經典理論和前沿方法相結合，在教學過程中鍛煉學生的自主思考、自主探索和靈活利用所學知識解決問題的能力，這樣培養出來的學生才能更加適應未來的學習和工作的多方面需求。種群動力學模型是數學在其他學科的一個典型應用，里面涉及的一些研究方法是高等數學的內容，故在整個教學過程中的不同知識點講授部分以這樣的模型作為例子，相比一般的理論性題目更為生動有趣，提高了學生的積極性。通過精心的教學設計和安排，循序漸進、分重點、分層次地訓練學生多方面的能力，最終達到綜合素質的提升。

參考文獻：

[1]孫玉泉，文曉，薛玉梅，苑佳，楊義川.工科數學分析：上冊[M].北京：北京航空航天大學出版社，2019.

[2]吳紀桃，魏光美，李翠萍，柳重堪.高等數學：上冊[M].2版.北京：清華大學出版社，2011.

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[6]黃森忠，彭志行，靳禎.新冠肺炎疫情控制策略研究：效率評估及建議[J].中國科學：數學，2020，50（6）：885898.

[7]Larence?Perko.Differential?equations?an?dynamical?systems[M].2版.New?York：Springer，1996.

作者簡介：李婭（1978—?），女，山東聊城人，博士，副教授，從事生物數學研究;苑佳（1981—?），女，河南周口人，博士，副教授，從事偏微分方程和調和分析研究;李美生（1964—?），女，北京人，博士，副教授，從事神經動力系統研究;薛玉梅（1968—?），女，福建福清人，博士，教授，從事符號動力系統和分形研究。