冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)教學(xué)實(shí)踐及反思

王廣志

摘要：冪函數(shù)是高一第一學(xué)期學(xué)習(xí)了函數(shù)性質(zhì)以后，最先學(xué)習(xí)的內(nèi)容，先于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)。隨著冪指數(shù)值的不同，其定義域、單調(diào)性、奇偶性變化較多，多數(shù)學(xué)生難以快速、準(zhǔn)確地掌握。本文是對一節(jié)冪函數(shù)圖像與性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)的改進(jìn)稿。主要借助GGB軟件和現(xiàn)代信息技術(shù)的運(yùn)用，對課本例題進(jìn)一步挖掘，探索冪函數(shù)的圖像特征、理解其性質(zhì)和類型，通過小組協(xié)作、自主探究等形式，以期對冪函數(shù)有一個(gè)明確的認(rèn)識，也為指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的后續(xù)學(xué)習(xí)提供探究的思路和方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;GGB應(yīng)用;小組探究;教學(xué)改進(jìn)

本學(xué)期筆者參加了一節(jié)區(qū)級公開課的觀摩課聽評課，整節(jié)課對冪函數(shù)性質(zhì)做了介紹，主要是通過觀察圖像，對冪函數(shù)性質(zhì)做了分類，然后以此為依據(jù)，學(xué)生通過強(qiáng)化記憶這些既成的結(jié)論，對給定的冪函數(shù)進(jìn)行分析、辨別和判斷，對冪函數(shù)有了初步了解，但是不夠熟練和深入，總覺得缺少探究的味道，在學(xué)習(xí)思路和探究方法和師生交流等方面，還有可以改進(jìn)的地方。本設(shè)計(jì)對原教學(xué)過程進(jìn)行歸納，分為以下幾個(gè)階段，開展小組協(xié)作探究，設(shè)計(jì)改進(jìn)如下。

教學(xué)目標(biāo)

理解冪函數(shù)的概念，能畫出具體冪函數(shù)的圖像;在理解冪函數(shù)概念、性質(zhì)的基礎(chǔ)上，能應(yīng)用所學(xué)知識解決簡單的數(shù)學(xué)問題;

在教學(xué)過程中通過類比，回顧歸納從圖像和解析式這兩種不同角度研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)方法，加深對冪函數(shù)的認(rèn)識，在數(shù)學(xué)活動中感受數(shù)學(xué)思想方法之美、體會數(shù)學(xué)思想方法之重要;

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，獲得研究函數(shù)的規(guī)律和方法;培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習(xí)、合作交流的意識。通過Geogebra軟件和計(jì)算器的使用，提升現(xiàn)代信息技術(shù)應(yīng)用意識。

教學(xué)重點(diǎn)

冪函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)

對指數(shù)的分類，如何由圖像、解析式歸納冪函數(shù)的性質(zhì)。

教學(xué)方法

小組合作學(xué)習(xí)法? 講練結(jié)合法。

教學(xué)資源

視頻、智慧課堂、GeoGebra軟件、平板電腦、計(jì)算器等。

教學(xué)對象 中高貫通班學(xué)前專業(yè)學(xué)生。

教學(xué)活動流程

一、課前準(zhǔn)備

（一）實(shí)例

問題1：某人購買了每千克1元的水蔬菜x千克，那么他需要付的錢數(shù)y（元）和購買的水果量x（千克）之間的關(guān)系可表示為__________;

問題2：如果正方形的邊長為x，那么正方形的面積y=______;

問題3：如果正方體的邊長為x，那么正方體的體積y=__;

問題4：如果正方形場地面積為x，那么正方形的邊y=________;

問題5：如果某人x s內(nèi)騎車行進(jìn)了1 m，那么他騎車的速度y=_______m/s.

流程安排 1.智慧課堂平臺發(fā)布小組任務(wù)：求出上述問題中的函數(shù)關(guān)系：2.每個(gè)小組運(yùn)

用GeoGebra軟件繪制以上函數(shù)圖像。3.每個(gè)小組自己選擇分組安排的兩個(gè)函數(shù)圖像，觀察其函數(shù)性質(zhì)。

學(xué)生活動 完成問題中函數(shù)關(guān)系的求解。完成GeoGebra軟件畫出其函數(shù)圖像。

（二）設(shè)計(jì)意圖

通過課前資料的預(yù)習(xí)，使學(xué)生了解冪函數(shù)在生活中應(yīng)用的廣泛性，引發(fā)學(xué)生的思考，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

（三）與原設(shè)計(jì)的區(qū)別

原設(shè)計(jì)是將問題（1）至（4）依次解決，占用課堂時(shí)間較多，擠壓了其他教學(xué)活動的時(shí)間;現(xiàn)改為分組同時(shí)進(jìn)行，展示結(jié)果，可以提高課堂利用效率。

（四）特色

突出了組內(nèi)研討、主動探究和數(shù)學(xué)建模方法。

二、新課講授

（一）新課導(dǎo)入

2.1.1實(shí)例 思考問題1-5。

【提問】在以上5個(gè)問題中，用表示，與之間的關(guān)系分別是什么？

流程安排：

1.觀察這些函數(shù)解析式，它們有什么共同的結(jié)構(gòu)特征嗎？? ?.

總結(jié)：冪函數(shù)的概念一般地，我們把形如的函數(shù)叫作冪函數(shù).其中是自變量，冪指數(shù)是常數(shù)，冪函數(shù)的定義域是使得有意義的實(shí)數(shù)的取值范圍.

2.觀察冪函數(shù)要滿足的三個(gè)特征是什么？

結(jié)論：（1）的冪前系數(shù)為1

（2）底數(shù)只能是自變量，指數(shù)為常數(shù)③項(xiàng)數(shù)只有一項(xiàng)

3.冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別是什么？

結(jié)論： 自變量在底數(shù)位置，指數(shù)為常數(shù)。自變量在指數(shù)位置，底數(shù)為常數(shù)

4.測試題1：判斷下列函數(shù)，哪幾個(gè)是冪函數(shù)？

學(xué)生活動：思考、解答、組內(nèi)交流、小組搶答

2.1.2設(shè)計(jì)意圖

學(xué)生觀察五個(gè)函數(shù)解析式，歸納出他們的共同特征，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納和語言表達(dá)能力，同時(shí)引入本課新學(xué)知識。深入理解冪函數(shù)概念的內(nèi)涵與外延，通過測試檢測效果。

2.1.3與原設(shè)計(jì)的區(qū)別

原設(shè)計(jì)是將問題（1）至（4）依次解決，占用課堂時(shí)間較多，擠壓了其他教學(xué)活動的時(shí)間;現(xiàn)改為分組同時(shí)進(jìn)行，依次展示結(jié)果，可以提高課堂利用效率。

2.1.4特色

突出了組內(nèi)研討、主動總結(jié)代數(shù)特征方法。

（二）冪函數(shù)性質(zhì)分組探究

2.2.1實(shí)例

用GGB畫出下列函數(shù)圖像，觀察圖像，總結(jié)其在時(shí)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性是怎樣的？

流程安排 1.第一小組作品演示分享

（1）Geogebra軟件演示問題（1）函數(shù)圖像：

性質(zhì)：觀察冪函數(shù)圖像，可得：

（2）其他三組學(xué)生借助GGB作圖并將本組結(jié)果上傳至平臺，1號作品組學(xué)生巡視指導(dǎo)，教師點(diǎn)評。

（3）測試題2 請?zhí)顚懴铝斜砀瘢?/p>

2.第二小組作品演示分享

（1）Geogebra軟件演示問題（2）函數(shù)圖像：

性質(zhì)：觀察冪函數(shù)圖像，可得：

（2）其他三組學(xué)生借助GGB作圖并將本組結(jié)果上傳至平臺，2號作品組學(xué)生巡視指導(dǎo)，教師點(diǎn)評。

（3）測試題3 請?zhí)顚懴铝斜砀瘢?/p>

3.第三小組作品演示分享

（1）Geogebra軟件演示問題（3）組函數(shù)圖像：

性質(zhì)：觀察冪函數(shù)圖像，可得：

（2）其他三組學(xué)生借助GGB作圖并將本組結(jié)果上傳至平臺，3號作品組學(xué)生巡視指導(dǎo)，教師點(diǎn)評。

（3）測試題4 請?zhí)顚懴铝斜砀瘢?/p>

學(xué)生活動 小組代表針對本組制作的作品（GGB制作冪函數(shù)圖像），觀察圖像，總結(jié)其函數(shù)性質(zhì)。指導(dǎo)其他組同學(xué)完成該組圖像，總結(jié)性質(zhì)。其他組學(xué)生聆聽小組代表的成果分享，深化認(rèn)識冪函數(shù)的性質(zhì)。全班同學(xué)共同完成該問題類型的測試題，檢測效果。

2.2.2設(shè)計(jì)意圖

拋出問題組，引導(dǎo)學(xué)生思考，分組完成問題解決過程，相互協(xié)作。經(jīng)歷成果的分享，培養(yǎng)和發(fā)展GGB作圖能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行函數(shù)性質(zhì)分析的能力。通過測試題檢測學(xué)生模型辨識能力，體會現(xiàn)代信息技術(shù)在數(shù)形結(jié)合中的重要作用。

2.2.3與原設(shè)計(jì)的區(qū)別

學(xué)生自己用軟件幫助探究冪函數(shù)圖像;分組同時(shí)進(jìn)行，這是原設(shè)計(jì)沒有的。

2.2.4特色

用GGB軟件幫助探究冪函數(shù)圖像性質(zhì)，依數(shù)得形，由形入數(shù)，根據(jù)觀察到的定義域去判斷、再根據(jù)函數(shù)的解析式求出其定義域，數(shù)形結(jié)合。

（三）組合提升

2.3.1實(shí)例

觀察并總結(jié)以上三組函數(shù)圖像，在第一象限內(nèi)，有何特征？

流程安排 1.思考 觀察以上三組函數(shù)圖像，在第一象限內(nèi)，有何特征？

用GGB做出三組圖像，總結(jié)其性質(zhì)。由第四小組完成：

（1）Geogebra軟件演示以上9個(gè)函數(shù)圖像：

性質(zhì)：觀察冪函數(shù)圖像，可得：

（2）其他三組學(xué)生借助GGB作圖并將本組結(jié)果上傳至平臺，4號作品組學(xué)生巡視指導(dǎo)，教師點(diǎn)評。

2.應(yīng)用

學(xué)生活動 小組代表針對本組制作的作品（GGB制作冪函數(shù)圖像），觀察圖像，總結(jié)其函數(shù)性質(zhì)。指導(dǎo)其他組同學(xué)完成該組圖像，總結(jié)性質(zhì)。其他組學(xué)生聆聽小組代表的成果分享，深化認(rèn)識冪函數(shù)的性質(zhì)。全班同學(xué)共同完成該問題類型的測試題，檢測效果。

2.3.2 設(shè)計(jì)意圖

通過Geogebra軟件演示9種類型冪函數(shù)的圖像，觀察、體會其總體特征，熟悉在、兩種情況下的函數(shù)值的變化規(guī)律。通過組內(nèi)交流、組間比較來強(qiáng)化對不同冪函數(shù)在同一處對應(yīng)函數(shù)值的不同的認(rèn)識。通過組內(nèi)交流、組間評比來強(qiáng)化對冪函數(shù)概念理解、性質(zhì)應(yīng)用熟練度、準(zhǔn)確度。增強(qiáng)冪函數(shù)應(yīng)用意識。

2.3.3 與原設(shè)計(jì)的區(qū)別

原設(shè)計(jì)沒有對冪函數(shù)奇偶性進(jìn)行分組探究，這是新增的部分。

2.3.4 特色

用GGB軟件幫助探究冪函數(shù)圖像，根據(jù)觀察到的圖像特征探究代數(shù)應(yīng)用方法，數(shù)形結(jié)合。

（四）檢測評價(jià)

2.4.1 實(shí)例

測試題7? 已知冪函數(shù)

測試題8? 已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則它的單調(diào)增區(qū)間是（ D? ）

流程安排 平臺發(fā)布檢測題，學(xué)生完成，系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)完成情況，教師選擇典型問題進(jìn)行講評。

學(xué)生活動 全班同學(xué)獨(dú)立完成平臺上的檢測題，檢測效果。

2.4.2 設(shè)計(jì)意圖

通過檢測題的在線測評，檢測學(xué)生本堂課的學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成度。

2.4.3 與原設(shè)計(jì)的區(qū)別

通過平臺實(shí)現(xiàn)檢測題的在線測評，檢測學(xué)生本堂課的學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成度。這是新增的部分。

2.4.4 特色

借助信息技術(shù)師生互動平臺，實(shí)現(xiàn)對冪函數(shù)特征的理解應(yīng)用效果檢測，高效、透明，針對性強(qiáng)。

（五）課堂小結(jié)

2.1.1 實(shí)例 本節(jié)課學(xué)習(xí)了

（1）冪函數(shù)的定義______________________________;

（2）九類冪函數(shù)圖像性質(zhì)________________________;

（3）冪函數(shù)圖像在第一象限特征__________________。

流程安排 教師提問，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？學(xué)生回答，教師點(diǎn)評總結(jié)。

學(xué)生活動 學(xué)生積極踴躍表達(dá)自己學(xué)習(xí)完本節(jié)課的所思所想。

2.1.2 設(shè)計(jì)意圖 通過讓學(xué)生談對本節(jié)課的收獲，內(nèi)化學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的概括能力與表達(dá)能力。

2.1.3 與原設(shè)計(jì)的區(qū)別 全體同學(xué)對冪函數(shù)奇偶性進(jìn)行分類歸納，同步強(qiáng)化記憶，并鞏固之，通過平臺來實(shí)現(xiàn)這個(gè)過程。這是原設(shè)計(jì)沒有的。

2.1.4 特色 借助智慧平臺，實(shí)現(xiàn)師生互動，使得數(shù)學(xué)思維的傳導(dǎo)更加快捷、便利、迅速，提高了課堂效率。

三、課后延伸

（一）思想方法反思：本課探究冪函數(shù)性質(zhì)用了哪幾種方法，蘊(yùn)含著那些思想？

（二）自己還有哪些疑點(diǎn)需要再厘清？

（三）結(jié)合GGB軟件，預(yù)習(xí)、的圖像特征和函數(shù)性質(zhì)，分類歸納之。作為小組研討的材料。

四、教學(xué)效果與反思

1.本節(jié)課改變了以往常見的函數(shù)研究方法，讓學(xué)生從不同的角度去研究函數(shù)，對函數(shù)進(jìn)行一個(gè)全方位的研究，不僅僅是通過對比總結(jié)得到冪函數(shù)的性質(zhì)，更重要的是讓學(xué)生體會到對函數(shù)的研究方法，以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究中去，教師可以真正做到“授之以漁”而非“授之以魚”。

2.教學(xué)中借助信息技術(shù)可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)在直觀感、立體感和動態(tài)感方面的不足，可以有效化解教學(xué)難點(diǎn)、突破教學(xué)重點(diǎn)、提高課堂效率，本課使用G-G-B可以動態(tài)地演示出冪函數(shù)的指數(shù)的動態(tài)過程，讓學(xué)生直觀觀察指數(shù)對冪函數(shù)單調(diào)性的影響。

3.本節(jié)課從課前、課中、課后三個(gè)階段，設(shè)計(jì)教學(xué)探究活動。使得課堂教學(xué)有備而來，思考充分，課后延伸，又為下一節(jié)課做好鋪墊，起到承前啟后的延續(xù)效果，有利于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬕?guī)律和思維習(xí)慣，對學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣的養(yǎng)成也有較好的作用。

4.不足之處，題量與課堂運(yùn)作效率的匹配還可以再做進(jìn)一步優(yōu)化。增加學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)解題和交流時(shí)間，以便于將學(xué)習(xí)中的疑點(diǎn)、難點(diǎn)徹底消化與無形。下次會按照這樣的思路來開展教學(xué)，提高應(yīng)用效果。

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