運用表現性評價，讓數感清晰可見

北京教育學院石景山分院 閆云梅

北京市石景山外語實驗小學 趙 燕

一、問題的提出

“數感”具有一定的內隱性，致使很多人對數感的評價望而卻步。基于此，筆者與課題組成員一起，依據表現性評價理論，開發設計了低年級學生“數感”發展水平測評工具。通過設計表現性任務，將看不見的“數感”轉化為具體可見的行為表現，并采用水平評價的方式，根據學生的作答情況（表現）先進行水平判定，再賦予相應的分值，以期對低年級學生“數感”發展的優勢和不足有清晰的認識，為探討培養學生數感的教學策略提供客觀的依據。

二、用行為詮釋內涵

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。綜合課程標準（實驗稿）中數感的主要表現以及不同學者的觀點，對數感測評內容維度框架設計如下：

一級指標 二級指標數及數與數之間的關系 ★多種方法表示（表征）數★辨認或表示數與數之間的關系數量及數量之間的關系★估計數量的多少★ 估測物體的大小（包括長度、面積、質量等）★辨認或表示數量之間的關系問題解決★用數表達和交流信息★為解決問題選擇適當的算法★ 估計運算的結果，并對結果的合理性做出解釋

這樣設計的意義及具體計分情況見《小學教學研究》（教學版）2021年第9期《小學生數感發展水平測評工具的設計與分析》一文。利用測評工具，對某區域8個教育學區的9所小學共300名三年級學生（原二年級學生，因特殊原因測試推遲至2020年11月，學生升入三年級）進行了正式測試。

三、低年級學生數感發展整體情況

（一）不同學校低年級學生數感發展已有顯著差異

在參加測試的9所學校中，各個學校學生總分的均值呈顯著差異（見圖1）。

圖1

由此，我們可以得出以下幾個結論：

（1）通過水平測試的方式，可以清楚地反映學生數感發展水平的現狀；

（2）盡管數感有先天的成分，但和學校教育有密切的關系，數感是可以通過后天培養來提高的；

（3）低年級是促進學生數感發展的關鍵期；

（4）通過與這些學校學生數學學習成績關聯發現，數感水平的高低與學生數學學習成績有密切關系，數感水平高的學生數學成績更好。

（二）學生具有一定的數感，但在高水平發展方面尚顯不足

學生在各個水平題目得分的均值如下：

?

從上表可以看出：對于水平一的題目，學生得分的均值約為0.83（滿分為1），水平二題目得分的均值約為1.40（滿分為2），水平三題目得分的均值約為1.63（滿分為3）。可見，隨著題目難度的增加，學生的得分率呈下降趨勢，且從水平二到水平三下降得更為明顯。整體看來，該區域低年級學生具有一定的數感，但整體發展尚處于中等水平，在數感的高水平發展方面還有很大的成長空間。這反映出教師日常的教學對于學生數感的培養具有一定的促進作用，但在數感的高水平發展方面，還需要有意識、有系統、有策略地培養。

（三）學生對“數量及數量關系”的認識比較片面

通過統計學生不同維度試題滿分率的平均值，整理后發現，學生在“數及數與數之間的關系”各題滿分率的平均值是61.48%，在“數量及數量之間的關系”各題滿分率的平均值是53.01%，在“問題解決”各題滿分率的平均值是37.38%。

“問題解決”的滿分率最低，顯然這是意料之中的。一是由于這部分內容都是水平二和水平三的試題，有一定難度；二是由于采用水平評價的方式，不但要評價學生作答的結果，還要評價作答的過程，學生在實踐中對數字之間關聯的意識以及靈活地解決數字問題的能力還有待提高。

比較發現，學生在“數量及數量之間的關系”滿分率低于“數及數與數之間的關系”的滿分率，這與測試之前的預期不符。反思我國傳統的數學教學，教師更加注重抽象的“數”的意義的教學，過早進行“數”概念的抽象及數的運算教學，對“數量”的現實意義以及“數量關系”的認識還比較片面，不能從多角度發現數量之間的關系；另外，教師往往忽視了“情境”對數學學習的影響，大多將現實情境進行“加工”簡化之后呈現給學生，當他們回到真實的情境中時，往往不能排除無關因素的干擾，發現數量之間的關系。這些問題都嚴重影響了學生數感的發展。

四、低年級學生數感發展具體表現及分析

將學生在每個二級指標各題滿分率的平均值表示出來（見圖2），我們可以更清楚地看出學生在數感的哪些方面表現良好，哪些方面有待提高。

圖2

結合圖2及對背后數據的分析，我們可以得出以下結論：

1.學生用多模型表示數方面表現突出，但用不同模式表示數的能力有待提高

多種方法表示數既是理解數的意義的行為表現，又是形成數感的基本特征。

結果顯示，學生能借助多種直觀模型表示數，對十進制、計數單位、位值等概念有比較清楚的認識，能用“幾個千、幾個百、幾個十和幾個一”說明數的組成。

在用多種不同模式表示數的測試中，如讓學生用不同方式表示“50”，半數以上的學生處于水平一的階段，也就是只能從一個角度來表示50（見圖3）。

圖3

盡管學生寫出的答案很多，但想法比較單一，只能根據給出的示例進行單純模仿，不能從多個數連加、減法或乘法、除法的角度進行思考，這是因為學生平時很少進行這方面的訓練。同時也反映出學生對數的多種組成模式和數的結構特征缺少認識，對“50”這個數沒有特別的感覺。今后在學習數的整除知識、計算和解決實際問題時，都難以應用數的多模式表征進行數的特征判斷、簡算和根據數的特征靈活解決問題。事實表明，數的多模式表征方式越多越靈活，在解決問題時，學生才能根據數的特點靈活選擇某種形式解決問題。

2.學生喜歡從“差”的角度描述數與數之間的關系，對數自身的結構特征缺少認識

調研結果顯示，學生在辨認數與數之間關系方面表現突出，主要是因為他們對數與數之間大小關系有清晰的感覺，能借助找標準、推理等方法，較為準確地表述數與數之間的相差關系。但學生對數自身特征的認識還比較欠缺，以找規律一題為例（如圖4），數據表明，60%的學生能找到規律并正確填出括號里的數，但有一半多學生是通過尋找相鄰兩個數的差去發現規律的，沒有意識到這些數自身的特點——都是兩個相同數的乘積（平方數），這也致使部分學生沒有正確填出后面的數，這一點恰恰印證了前面所述“數的多模式表征”的重要作用。

圖4

3.學生對長度的估測好于對質量的估測，估計的意識與能力還需進一步提高

由于長度是可視的，學生對一些常見物品的長度有一定的了解，在掌握長度單位和估測方法的基礎上，能合理估測出物品的長度。而對物體質量的估測，僅有質量單位和估測方法是不夠的，還需要更多經驗的積累。因此，讓學生多關注生活中物品的質量，多掂一掂、估一估，在實踐中才能不斷提高估測能力。

在估計數量時，對于一些整齊排列的物品，大多數學生還是習慣用準確計算的方式獲得結果，缺乏估計的意識。對于大數量的估計，學生的估計方法比較單一。如讓學生估計一堆棋子大約有多少顆時，學生的估計方法有以下三種情況（見圖5、圖6、圖7）。

圖5

圖6

圖7

從圖中可以看出，圖4的學生用給出的標準，一個一個進行圈畫，當數量較多時，標準逐漸發生變化，致使估的結果誤差較大；圖5的學生則抓住整體形狀的特點，利用乘法得出標準的個數，再估計結果；圖6的學生采用了根據給出的標準，找到一個更大的標準，利用較大的標準減少估的次數，從而更快估出結果。調研結果表明，90%的學生都采用了圖4的方法。因此要加強估計方法的交流，減少估計的誤差，提高估計能力。

4.學生對數量間相差關系感知準確，對數量之間多種關系不敏感

數量關系部分主要測試低年級學生能否根據具體情境來判斷數量之間相差多少的程度，發現并描述兩個（三個）數量間的關系。調研結果表明，學生能清楚地比較兩個數量的多少，并能用多一些、少得多等語言描述數量間相差的程度，對數量間相差多少的感覺還是比較準確的。但學生對于數量關系的認識比較單一，對于和的關系、用倍數或幾倍多幾等不同方式描述數量關系的意識還很欠缺。史寧中教授指出：數學的本質是在認識數量的同時認識數量之間的關系，在認識數的同時認識數之間的關系。小學生對數量關系的理解能力、對數量之間多種關系的敏感程度還有待提高。

5.學生具有用數表達與交流信息的意識，但交流的水平有待提高

生活中數學信息隨處可見，能主動用數表達和交流信息是一個人具有數感的重要表現。調研中發現，學生能從情境圖中發現數學信息，具有用數表達與交流信息的意識。但交流的內容往往停留在直接讀取到的數據層面，沒有關注到數量之間的關系，更不能超越數據，發現數據背后的信息。

6.學生習慣于按程序計算，不能根據情境和數據特征選擇合適的方法

從圖2可以看出，學生在“為解決問題選擇適當的算法”方面各題滿分率的均值最低，學生不是不會解決問題，而是不能根據問題情境和數的特點，采用合適的方法解決問題，把計算當作解決問題的唯一辦法，忽視了估算、簡算、推理等方法的合理運用。以“198＋35”為例，題目要求學生用自己喜歡的方法求出答案。從統計數據看，大約85%的學生都是列豎式計算，只有13.7%的學生能發現數的特點，將題目轉化為“200＋33”或“200＋35－2”等，用簡便的方法解決問題。由此可見，學生往往是在有明確簡算要求的情況下才簡算，缺少主動選擇合適算法的意識。只有當學生根據情境和數的特點，自覺采用靈活的方法解決問題時，才是良好數感的行為特征。

7.學生對運算結果的估計較好，但還缺少自覺估算的意識

對于有明確估算要求的題目，學生對算式結果的估計都比較準確，估計的方法也很多，能把參與運算的數看作相應的整十數，從而判斷結果大約是多少，數感好的同學也能通過確定某些數的上界和下界，判斷運算結果大致在什么范圍等。但在沒有估算要求，卻可以用估算解決的實際題目中，72.7%的學生還是習慣用準確計算的方法，沒有估算的意識；14.3%的學生有估算的意識，但不能根據情境和數據特點選擇簡捷的估算方法。這說明學生的估算意識亟待加強，估算的策略與方法還需進一步培養。

總之，運用表現性評價，將學生在數感不同維度的表現外顯出來，可以清楚地了解學生在不同方面的優勢與不足，為探討培養學生數感的教學策略提供客觀依據。