邊“研”邊“學”，讓學習真正發(fā)生
——從研究性學習角度看“2和5的倍數(shù)的特征”

江蘇省無錫市江陰市第三實驗小學 黃鳳華

在數(shù)學教學過程中，教師引導學生開展探究性的學習活動，可以使學生探究與鉆研數(shù)學知識，進而有效促進學生的數(shù)學能力提升。在研究性學習中，學生要動腦、動手、動口，全身心地參與，并在觀察、比較、猜想和驗證等活動中，使用創(chuàng)新的數(shù)學方法形成對數(shù)學知識全面正確的認知，并形成科學縝密的數(shù)學思維方式。

“2和5的倍數(shù)的特征”是蘇教版數(shù)學五年級下冊“因數(shù)倍數(shù)”單元的內(nèi)容，是在“因數(shù)和倍數(shù)”之后、“3的倍數(shù)的特征”之前，是在概念性知識學習后呈現(xiàn)的規(guī)律性知識，本身就帶有探索與總結(jié)的意味。在平時教學中，經(jīng)常是教師和學生一起在百數(shù)表中發(fā)現(xiàn)2和5的倍數(shù)特征后就進行大量的判斷，學生對2和5的倍數(shù)特征形成了 “既快又準”的認識。但像2和5的倍數(shù)的特征這樣明顯具有規(guī)律性知識的內(nèi)容，正是引導學生進行研究性學習的最佳樣本。

一、從表象到本質(zhì)，在研究性學習中促進對知識本質(zhì)的理解

學生由對表象條件的歸納概括出結(jié)論后，產(chǎn)生對表象結(jié)論探究本質(zhì)的意愿，是與生俱來的。從小時候詢問生活現(xiàn)象中的“為什么”到數(shù)學學習中的“為什么”，從表象發(fā)現(xiàn)到對本質(zhì)的探究，經(jīng)歷的不僅是對知識的理解，更是思維的深層遞進。

（一）從表象上直觀感知

小學階段規(guī)律性知識大部分是通過對一定量的研究樣本的觀察和分析，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)獲得的?！?和5的倍數(shù)的特征”這部分內(nèi)容，教學教材的編寫非常簡潔，也是通過圈一圈，看一看，在100以內(nèi)非0自然數(shù)中發(fā)現(xiàn)5或2的倍數(shù)的規(guī)律后直接呈現(xiàn)結(jié)論（見圖1）。這種停留在由直觀的表象歸納出結(jié)論的方式，學生喜聞樂見，且易于接受。

圖1

（二）用數(shù)形結(jié)合理解本質(zhì)

利用圖形表征數(shù)學事實、描述數(shù)學問題是學生在數(shù)學學習中最常用也是最有效的方式之一。除法的意義實際是平均分，借助方格圖，可以讓學生直觀感受5的倍數(shù)是5個5個數(shù)正好數(shù)完，2的倍數(shù)是兩個兩個數(shù)正好數(shù)完（見圖2）。學生在這個過程中，將除法算式的“數(shù)”與方格圖的“形”建立了關(guān)聯(lián)。研究一個數(shù)的倍數(shù)特征，利用數(shù)形結(jié)合的方法進行研究，能夠直觀地幫助學生理解倍數(shù)的本質(zhì)特征。數(shù)形結(jié)合既是數(shù)學思想，又是數(shù)學方法，它的介入為學生對倍數(shù)本質(zhì)特征的理解搭建了橋梁，讓學生的理解更加感性而形象。

圖2

二、從碎片到結(jié)構(gòu)，在研究性學習中積累數(shù)學活動經(jīng)驗

數(shù)學活動經(jīng)驗是在參與數(shù)學學習活動的過程中積累的，是學生通過觀察、猜想、驗證、交流等多種方法和途徑得出的。五年級學生已具備了更深層次的探究和完整推理的主觀意愿和能力。

（一）發(fā)現(xiàn)：自然而然地合情推理

在數(shù)學活動中觀察一些現(xiàn)象或?qū)嶒灥玫降氖聦嵧翘岢霾孪氲那疤?，這里的觀察往往是一種直觀能力——數(shù)學直覺思維能力。百數(shù)表中有序的數(shù)字排列，讓學生能非常迅速且準確地發(fā)現(xiàn)5的倍數(shù)個位上的特征。

（二）猜想：漸漸萌發(fā)的問題意識

從深度教學的角度看，學生主動提出問題能力的提升，對于他們學會學習，顯然特別重要，因為這時他們就可以通過自我引領(lǐng)很好地實現(xiàn)成長。這就可以被看成學生能否很好地抓住數(shù)學學習關(guān)鍵環(huán)節(jié)的一個重要標志，能否經(jīng)常地自問“為什么”，并圍繞這個問題深入思考，從而真正做到理解學習。

“100以內(nèi)5的倍數(shù)的個位上都是5或0，100以外的其他自然數(shù)呢？”“在我們舉例的大于100的數(shù)中5的倍數(shù)的個位上是5或0，沒舉到的數(shù)字呢？”“所有的5的倍數(shù)的個位上都是5或0嗎？”在課堂教學中，學生在提出以上問題時，顯得遲疑和小心翼翼，不是因為問題意識的欠缺，而是在學生產(chǎn)生疑問和主動提出問題之間，需要一個心理內(nèi)驅(qū)，而教師及時的引導、鼓勵和評價則是幫助學生產(chǎn)生提問內(nèi)驅(qū)的重要推動力。也就是說，教師在日常教學中應當努力促成學生由單純的學習轉(zhuǎn)為更自覺的狀態(tài)，不僅能做到“敢問”，也能逐步做到“愛問”“善問”。

（三）驗證：循序漸進地演繹推理

學生在用合情推理進行猜想之后，會嘗試用演繹推理驗證猜想?！缎W數(shù)學課程標準研究與實踐》指出，學生基于既定的數(shù)學事實或已有的數(shù)學經(jīng)驗總結(jié)出某些數(shù)學猜測后，一般會舉例進行驗證，發(fā)現(xiàn)沒有反例之后就確認該猜測是成立的。

1.舉例驗證

教師要先引導學生發(fā)現(xiàn)并認識到在一定范圍的樣本中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，能否運用到所有的數(shù)中，這只能作為一種猜想，這種猜想能否成立，就需要進一步驗證。在驗證猜想是否正確時，全部舉例并不可能，但舉例要全面，不但要舉一些個位上是5或0的數(shù)，也要舉一些個位上不是5或0的數(shù)，在這個過程中讓學生體會舉例的驗證作用。

2.格子圖驗證

五年級學生由于受思維發(fā)展水平和所掌握知識的限制，通常不會有主動的意愿和獨立的能力進行嚴格的數(shù)學演繹推理論證，但教師需要讓學生明白這并不意味著歸納推理得出的結(jié)論或規(guī)律一定可靠。教師仍然需要引導學生通過計算、畫圖、實驗等多種方式驗證結(jié)論的可靠性。

100以內(nèi)的5的倍數(shù)個位上是5或0，其他的數(shù)不行；100以上的更大的數(shù)中，5的倍數(shù)個位上也是5或0，但其他的數(shù)不行。為什么個位上一定要是5或0呢？這里面藏著什么道理嗎？7為什么不是5的倍數(shù)？17呢？27呢？37、47、57……呢？107總可以了吧？9997呢？再大一點的數(shù)呢？個位上是8的數(shù)呢？個位上是哪些數(shù)都不會是5的倍數(shù)？怎樣才能變成5的倍數(shù)？

教師可以引導讓學生結(jié)合方格圖解釋一個數(shù)什么時候是另一個數(shù)的倍數(shù)，什么時候不是另一個數(shù)的倍數(shù)。在小格子不斷累加變化中自然感受、理解無論十位、百位、千位上數(shù)字如何變化，但余數(shù)沒有發(fā)生變化的原理。接著，在這個過程中滲透從小的數(shù)到大的數(shù)，從簡單到復雜，從單一角度到多重角度的研究方法。在探索知識的同時滲透數(shù)學學習方法的指導，為學生今后的學習積累基本的數(shù)學活動經(jīng)驗。

（四）回顧：水到渠成的模型思想

鄭毓信教授在《數(shù)學深度教學的理論與實踐》中指出，盡管我們應當充分肯定問題解決的重要性，但數(shù)學教學又不應局限于問題解決，而應清楚地認識抽象分析的重要性，這里不僅指我們應由各個具體的問題上升到普遍性的問題模式和解題策略，也是指數(shù)學建模必須以概念的生成、分析與組織作為必要的基礎(chǔ)。

1.回顧過程

在引導學生完成關(guān)于5的倍數(shù)順暢、嚴謹?shù)耐评磉^程后及時地回顧總結(jié)、提煉步驟，不但可以幫助學生鞏固對推理的感性認識，也為其接下來的內(nèi)化和應用鋪平了道路。

2.反思學習

在課后小結(jié)后，教師提問：“我們通過采用舉例—猜想—驗證—結(jié)論的研究方法，發(fā)現(xiàn)了關(guān)于2和5的倍數(shù)的特征，對于你來說獲得的知識和采用的方法哪個更重要？為什么？”“如果再用這樣的研究方法研究其他規(guī)律，驗證時發(fā)現(xiàn)最初的猜想是錯誤的，該怎么辦？”

在學習知識的同時，提煉出探究的方法，積累了基本數(shù)學活動的經(jīng)驗，但在課堂教學結(jié)束之前，教師也要讓學生意識到，規(guī)律性知識的總結(jié)，甚至其他知識的研究不可能每次都順風順水、一蹴而就，都需要在嘗試—推翻—修改—再嘗試的過程中逐步構(gòu)建。雖然小學數(shù)學建模不需要讓學生完整經(jīng)歷這樣的過程，但教師可以給學生滲透這樣的數(shù)學思想方法。

三、從舉一到反三，在研究性學習中深化應用意識

（一）方法遷移

方法遷移是方法層面上的應用拓展，在研究5的倍數(shù)特征時，學生經(jīng)歷了舉例—猜想—驗證—結(jié)論的過程，使得學習的邏輯順序清晰可見。在研究2的倍數(shù)特征時，教師可以放手讓學生自主研究。學生在經(jīng)歷獨立和團隊合作研究后，在歸納總結(jié)成數(shù)學語言交流說理的過程中，其對特征本質(zhì)的理解進一步得到了內(nèi)化。

（二）練習的融合

1.介紹下面各數(shù)

練習不再停留在簡單判斷是或不是2或5的倍數(shù)，而是意圖讓學生能在鞏固知識點的同時，發(fā)散思維。將各知識點融于“介紹”中，開放式問題設(shè)計促使學生靈活運用所學知識，使學生進一步感受到數(shù)的豐富性。（見圖3）

2.按要求組數(shù)

學生會在無序思考直接報出答案的過程中發(fā)現(xiàn)不重復、不遺漏的關(guān)鍵是確定個位上的數(shù)。而思考方式從無序到有序，從無規(guī)律報數(shù)到有規(guī)律填寫，不但是學生對所學知識的精準運用，更是學生思維水平的一次有效提升。（見圖4）

圖3

圖4

喻平教授認為：數(shù)學核心素養(yǎng)就是學生在若干年后，忘卻了數(shù)學知識之后還能留下的那些東西。在日常的數(shù)學課堂教學中，教師要盡可能地引導學生參與研究性學習，這樣做不僅能夠加深學生對所學數(shù)學知識本質(zhì)的理解，還能在參與研究性學習的過程中培養(yǎng)動手操作、合作交流等能力，激發(fā)學生數(shù)學學習的興趣，促進學生思維品質(zhì)的發(fā)展。