基于圖像處理的齒面剝落故障的嚙合剛度及動力學特性分析

摘要齒面剝落是齒輪表面出現形狀不規則的局部凹坑，在齒輪嚙合剛度的計算中，常用的方法是將齒面剝落簡化成特定規則的形狀進行研究，具有較大的局限。基于圖像處理技術提取剝落故障的邊緣特征，根據像素點對剝落區域進行離散，擬合出剝落寬度函數;依據勢能法原理，建立故障齒輪嚙合剛度計算模型，并進行動力學分析。結果表明，與矩形剝落故障相比，圖像處理后的故障齒輪嚙合剛度更準確的反映出輪廓特征，消除了因簡化而造成的剛度和加速度響應的突變點，適用于任意形狀、大小的剝落區域，無需改變數學模型，具有較好的通用性。

關鍵詞齒面剝落圖像處理嚙合剛度剝落形狀動力學響應

中圖分類號 TH132.41TH17

AbstractTooth surface spalls fault is the irregularly shaped partial pits on the gear surface . In the calculation of gear mesh stiffness . Commonmethodistosimplifythetoothsurfacespallstoaspecificregularshapeforresearch ， whichhasgreat limitations . Based on image processing ， this paper extracted the edge features of the spalls fault ， dissociated spalls area according to the pixels and fit the spalls width function. Based on the traditional potential energy method ， mesh stiffness of the faulty gear is calculated more accurately and dynamics simulation are performed . Compared with the rectangular spalls fault ， the mesh stiffness of the faulty gear after imageprocessing can moreaccurately reflect thecontour characteristics . Eliminating thestiffnessand acceleration response mutation points caused by simplification. The proposed method has high versatility and is applicable to tooth spalls of arbitrary shapes .

Key wordsTooth surface spalls;Image processing;Mesh stiffness;Spall shape;Dynamic response

Corresponding author ： ZHU RuPeng ，E-mail ： rpzhu@ nuaa.edu.cn

The project supported by the the National Key RD Program of China （ No .2018YFB2001300）.

Manuscript received 20201205 in revised form 20201231.

引言

齒輪在嚙合過程中會產生齒面接觸疲勞破壞，嚴重影響齒輪壽命。在故障齒輪的研究中，齒面剝落輪齒的嚙合剛度一直是研究重點，而由剛度變化引起的齒輪振動響應特征是實現齒輪故障診斷的重要依據[1]171-173。

目前國內外學者在齒輪嚙合剛度以及動力學方面做了很多工作，王建軍等[2]對齒輪系統動力學理論體系進行系統總結，闡述齒輪系統動力學基本內容; Bartelmus W [3]給出了帶扭轉振動的單級齒輪箱系統的模型，并對動力學響應進行了分析與總結; MaR 等[4]評估了剝落對齒輪的時變嚙合剛度的影響;張浩亮[5]對齒輪早期點蝕故障進行分析，搭建了齒輪早期微小點蝕故障實驗平臺和齒輪中等程度點蝕故障實驗平臺，通過對實驗測量的振動加速度信號進行分析來分別驗證所建立的齒輪點蝕理論模型和仿真結果的正確性;Luo Y 等[6]提出一種新的方法，根據缺陷率而不是幾何形狀進而模擬齒輪的剝落特征，并對故障齒輪進行了仿真分析;涂旭欣等[7]對不同剝落形狀的齒面嚙合剛度進行對比總結，求出不同剝落圖形的剛度變化曲線，并分析了動力學的影響; Elyousfi B 等[8]采用新方法建立輪齒數學模型，雙重離散后對齒輪的嚙合剛度進行了評估;機械科學研究總院王曉鵬[9]對齒面疲勞點蝕下齒輪傳動系統的動態特性進行了研究，揭示了不同參數對故障齒輪剛度特征的影響規律，考慮宏觀界面摩擦效應，建立含摩擦效應的直齒輪副時變嚙合剛度的數學模型。

評估齒輪剛度的方法多為勢能法[10]，將輪齒近似為非均勻懸臂梁，齒輪故障引起的齒剛度降低效應通常通過有效表面接觸長度和輪齒橫截面特性的減少來模擬，因此剛度評估的準確性受齒面剝落形狀的影響。而齒輪剝落與點蝕的剛度評估是基于假設的特定的幾何形狀（矩形、三角形、圓等）來考慮表面缺陷，剝落形狀單一，且齒面剝落形狀無法完全表現出齒輪剛度特征。在故障嚙入嚙出點容易出現突變，進而影響動力學響應的準確性。

本文基于圖像處理技術，利用 OPENCV 提取齒面剝落故障區域的特征，并根據故障區域像素點對剝落形狀進行離散化分析，形成了剝落寬度函數;依據勢能法原理，建立故障齒輪嚙合剛度計算模型，并進行動力學分析。

1 圖像處理技術提取齒面剝落形態學特征

齒面疲勞故障主要包括剝落和點蝕。相對于點蝕，剝落表現為局部大面積凹坑，根據灰度等級可分為故障區域、正常區域以及邊界區域，其中故障區域灰度值最低，正常區域灰度值最高。圖像處理的目的為根據灰度值的差異提取齒輪故障區域的形態學特征。

圖1所示為故障齒輪齒面，齒輪在轉速1500 r/ min ，扭矩為45 N .m 的條件下連續運行產生疲勞破壞，根據灰度梯度提取其形態學特征。

1.1故障圖像的二值化處理

為了將故障齒輪剝落區域與正常區域分開，在 Python 中首先對故障灰度圖進行高斯平滑處理，進而采用自適應閾值，使大于閾值 Th 的像素點灰度值為255，小于閾值 Th 的像素點灰度值為0，從而實現故障齒輪圖像的二值化處理，即

其中，fth （ x ，y）為平滑處理后的故障灰度圖， f 為二值圖像，對二值圖像f進行腐蝕膨脹處理，去除灰度值為255的噪點。對二值圖來說，垂直于邊緣的方向灰度值梯度最大，因此采用 OPENCV 中的 Canny 算子進行邊緣檢測（圖2），提取故障區域的特征值。

1.2故障圖像的邊緣提取

在圖2結果的基礎上，遍歷每一個輪廓，根據輪廓外接矩形的長寬比、輪廓周長以及面積參數，篩選出符合要求的故障剝落區域輪廓。標記圖像 M（x ，y）特征為

將輪廓置于灰度值為0的與原圖尺寸相同的模板上，基于 Python 的形態學重建進行孔洞填充;以原圖像的補集作為約束，用于限制膨脹處理;對標記圖像 M（x ，y）進行連續膨脹，直至收斂，與原圖像相減即可得到填充圖像，如圖3所示。

遍歷圖像每一個點，計算出每一列灰度值為255的像素點的數量，即可計算出剝落區域的像素寬度。

2 基于圖像處理的剝落故障齒輪嚙合剛度計算

基于勢能法，齒輪輪齒被看做非均勻懸臂梁，并應用梁理論 Uh =計算齒輪嚙合剛度。輪齒接觸點處的赫茲能 Uh ，用于計算赫茲接觸剛度 kh ;輪齒的彎曲勢能 Ub ，用于計算彎曲剛度kb ;輪齒的剪切勢能 Us ，用于計算剪切剛度 ks ;輪齒的壓縮勢能 Ua ，用于計算軸向壓縮剛度 ka ，總嚙合剛度為各剛度的串聯形式，由材料力學和彈性力學可得

由圖4可知， F 是嚙合點處配合齒的相互作用力;方向沿嚙合線方向，始終與輪廓正交，赫茲剛度可根據輪齒寬度 L 和材料的機械性能近似為

根據材料力學，非均勻懸臂梁理論可得

齒輪基體是除了齒輪輪齒的另一個齒輪的重要部分，考慮基體剛度

式（2）～ 式（5）中，E 為彈性勢能，ν為泊松比，α1為嚙合力分解角，Ax 為輪齒截面的面積;Ix 為輪齒截面的慣性矩;x 為輪齒截面到齒根的距離， d 為嚙合點到齒根的距離，公式（6）中的詳細參數可見文獻[1]171-173。

當輪齒出現剝落故障時，齒面接觸寬度為 L -ΔLx ，故障齒截面慣性矩： Ix =2hx 3 L -δ3ΔLx ，故障齒截面積： Ax =2hx L -ΔLx δ，其中，δ為齒輪剝落深度，ΔLx 為齒輪剝落區域寬度，如圖5所示，采用圖像處理技術處理齒輪剝落區域，目的為將剝落區域寬度進行離散化處理。

計算出以上各剛度組成部分，對于重合度大于1小于2的齒輪副，串聯可得到單嚙合區齒輪綜和剛度為

雙嚙合區齒輪嚙合剛度為

式中，下標1和2分別表示主動齒輪和從動齒輪。

以往學者研究表明，齒輪深度δ對齒輪綜和剛度的影響不大[1]171-173，因此準確計算齒輪剝落剛度的關鍵在于完整的表示出齒輪的剝落區域寬度ΔLx 。

為了準確的反映出剝落形狀，本文根據像素點對剝落區域進行離散化分析。遍歷圖3中的每個像素點，找出灰度值為255的像素點，并計算出剝落區域沿齒寬方向的像素距離 Lb 。故障輪廓如圖6所示。

每一個像素點所代表的實際距離可由齒輪齒寬 L 計算得到

其中，Nb 為齒寬像素點個數;Ng 為圖6中齒輪故障區域每一列的像素點數。由此可以在遍歷完整個圖像后得到一組故障剝落區域寬度數組，并利用多項式對其進行擬合，如圖7所示。

將剝落故障函數代入式（2）～式（8），可計算出剝落故障齒輪嚙合剛度，并將其與健康齒輪嚙合剛度以及矩形剝落形狀嚙合剛度進行對比，齒輪齒數為19，齒寬為16 mm ，結果如圖8所示。

3 故障齒輪動力學仿真分析

3.1建立齒輪動力學模型

建立6自由度齒輪動力學模型如圖9所示。設定動力矩為12 N .m ，阻力矩為45 N .m ，故障齒輪輸入轉頻為30 Hz ，嚙合頻率為570 Hz ，齒輪參數如表1所示。

根據動力學模型建立如下齒輪動力學方程組

式中，θ1 為主動輪轉角位移;y1、y2、θ2 為主動輪、從動

輪豎直方向振動位移以及從動輪轉角位移;θ m 、θ b 為電機、負載轉角位移;M1、M2為主動輪和從動輪轉矩; I1、I2為主動齒、從動齒轉動慣量;Im 、Ib 為電機、負載轉動慣量;Fk 、Fc 為齒輪嚙合力;Rb 1、Rb2為主動齒輪、從動齒輪基圓半徑。

3.2動力學仿真分析

采用 ode 15 s 算法求解微分方程，得到時域下健康齒輪以及故障齒輪加速度響應，如圖10、圖11所示。

根據響應圖可知，故障齒輪加速度幅值大于健康齒輪響應（0.1361 s ）。對比矩形故障齒輪與圖像處理后的故障齒輪，矩形剝落齒的加速度響應在剝落區域的開始時間（圖10，0.1344 s 附近）與結束時間（圖10中在0.1361 s 附近）會有突變，其原因為矩形剝落嚙合剛度的突變。而經過圖像處理后的剝落齒其剛度更加平滑且接近實際剛度，因此不存在突變，結果準確性增加。

對時域加速度響應進行傅里葉變換，采用分貝表示振動加速度的振幅[11]，可得到頻域下的加速度響應，如圖12、圖13、圖14所示。

由圖12～圖14可知，頻域下齒輪的加速度響應仍與嚙合周期有關，突變處均在嚙合頻率的整數倍附近，健康齒在四倍頻附近加速度幅值最大，齒輪產生剝落故障后幅值相對于健康齒峰值更大，在嚙合頻率以及倍頻周圍出現了間隔為30 Hz 的邊頻成分，與輸入軸轉頻相同，相對于倍頻來說邊頻成分比較微弱，與矩形故障相比，圖像處理后的故障響應邊頻成分明顯減弱，頻率范圍更加具體，消除了由于簡化所帶來的頻率部分，且于四倍頻處幅值最大。

4 結論

本文基于圖像處理技術，結合故障區域像素點對剝落形狀進行離散化分析，準確便捷地計算出剝落故障齒輪的時變嚙合剛度;并根據動力學模型更加準確地計算出故障頻率與轉頻，更加靈活、全面地展現出齒輪的剛度及動力學特征。

1）基于圖像處理技術，提取了輪齒剝落區域邊緣特征，利用像素點對故障區域離散化處理，進而擬合出剝落區域寬度函數;并利用勢能法更加準確地計算出剝落故障齒輪嚙合剛度，此方法無需更改數學模型，本質上是通用的。

2）將經過圖像處理后的齒輪剛度與矩形剝落故障下的嚙合剛度結果進行對比，兩者在嚙入嚙出時的剛度值相差明顯，經過圖像處理后的嚙合剛度在嚙入嚙出時的剛度值更加準確，并且消除了時域加速度響應中因剛度突變產生的誤差，使嚙合剛度更接近于真實值。

3）在頻域中分析故障齒輪的加速度響應，健康齒輪響應最高點為嚙合頻率的四倍頻，齒輪產生剝落故障后幅值相對于健康齒峰值更大。故障頻率范圍更加具體，消除了由于簡化所帶來的影響。

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