圓弧齒廓圓弧齒線圓柱齒輪建模及承載能力分析

摘要圓弧齒線圓柱齒輪是一種采用標(biāo)準(zhǔn)圓弧齒廓刀齒及銑刀盤加工的具有凸凹形曲線齒圓柱齒輪。這種齒輪的齒線為圓弧，且具有關(guān)于齒寬中央截面對(duì)稱的特點(diǎn)。根據(jù)弧齒錐齒輪的銑齒加工原理，建立了圓弧齒廓圓弧齒線圓柱齒輪齒面數(shù)學(xué)模型，并依此建立了雙圓弧齒廓及四圓弧齒廓圓弧齒線圓柱齒輪三維實(shí)體模型。最后利用有限元分析軟件對(duì)齒輪進(jìn)行了接觸應(yīng)力分析，得到了齒面接觸應(yīng)力云圖，結(jié)果顯示四圓弧齒輪的齒面接觸應(yīng)力約為雙圓弧齒輪的80%。研究結(jié)果可為圓弧齒廓圓弧齒線圓柱齒輪的設(shè)計(jì)應(yīng)用提供理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞圓弧齒廓齒輪圓弧齒線齒輪有限元法接觸應(yīng)力

中圖分類號(hào) TH132.41

AbstractCircular arc tooth line cylindrical gear is a kind of cylindrical gear with convex and concave curve teeth which is processed by spiral bevel gear milling machine . The tooth line of this kind of gear is circular arc ， and has the characteristics of symmetry about the central section of tooth width . The mathematical model of circular arc tooth profile circular arc tooth line cylindrical gear is established according to spiral bevel gear milling principle ， and the 3 D solid model of double-arc tooth profile gear and quadruple-arc tooth profile gear is established according to the gear mathematical model . Finally ， thecontact stress analysis of the gear is carried out by using the finite element analysis software ， and the static contact stress are obtained ， the contact stress of quadruple-arc tooth profile gear isabout 80% of thedouble-arctooth profilegear. The research resultscan provide a theoretical basis for the design and application of circular arc tooth profile circular arc tooth line cylindrical gear.

KeywordsCirculararctoothprofilegear;Circulararctoothlinecylindricalgear;Finiteelement method ;Contact stress

Corresponding author ： REN ZhongYi ， E-mail ： rzy025@ sina.com ， Tel ：+86-951-2062025， Fax ：+86-951-2062025 The project supported by the Ningxia Natural Science Foundation （ No .2019AAC03025）.

Manuscript received 20210309 in revised form 20210418.

引言

圓弧齒廓齒輪由于其獨(dú)特的多點(diǎn)嚙合傳動(dòng)及凸凹齒面接觸形式，較漸開線齒廓齒輪具有承載能力高，齒面不易磨損等優(yōu)點(diǎn)而獲得了廣泛應(yīng)用。圓弧齒線圓柱齒輪是一種采用銑刀盤加工的具有凸凹形曲線齒的圓柱齒輪，這種齒輪的齒線為圓弧，且具有在齒寬中央截面對(duì)稱的特點(diǎn)。圓弧齒線圓柱齒輪既有普通直齒圓柱齒輪的特點(diǎn)，又有斜齒輪傳動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)，與人字齒輪相比，其在消除軸向力的同時(shí)，不需留退刀槽，結(jié)構(gòu)緊湊且可一次加工成形，更重要的是其齒線曲率不為零，可產(chǎn)生拱形效應(yīng)，改善應(yīng)力狀態(tài)，具有突出的優(yōu)勢(shì)。

圓弧齒廓圓弧齒線圓柱齒輪是將圓弧齒廓應(yīng)用于圓弧齒線圓柱齒輪的一種新齒輪，理論上該齒輪將同時(shí)具有圓弧齒廓齒輪及圓弧齒線圓柱齒輪傳動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)。

目前國內(nèi)外學(xué)者對(duì)圓弧齒廓齒輪及圓弧齒線圓柱齒輪進(jìn)行了大量研究。在圓弧齒廓齒輪研究方面：繼單圓弧齒廓及雙圓弧齒廓之后，文獻(xiàn)[1-2]提出了四圓弧齒廓及六圓弧齒廓齒形，并對(duì)四圓弧齒廓及六圓弧齒廓齒輪的嚙合機(jī)理、承載能力及加工制造等方面進(jìn)行了深入研究;在圓弧齒線圓柱齒輪研究方面： Sun Zhijun 等[3]分析了圓弧齒線圓柱齒輪的齒面接觸應(yīng)力，結(jié)果證實(shí)圓弧齒線圓柱齒輪較漸開線直齒輪和斜齒輪具有較高的承載能力;Rui Tang 等[4]給出了齒條形刀具加工圓弧齒線圓柱齒輪的齒面方程，建立了齒輪三維實(shí)體模型進(jìn)行有限元接觸應(yīng)力分析，并證實(shí)齒形弧線半徑對(duì)齒輪齒面接觸應(yīng)力影響較大; Mou Ru-qiang 等[5]分析了圓弧齒線圓柱齒輪的齒形誤差對(duì)傳動(dòng)精度的影響。 Jia F 等[6]建立了圓弧齒線圓柱齒輪的三維實(shí)體模型，并對(duì)其彎曲應(yīng)力進(jìn)行了分析;Zhang Qi 等[7]分析了圓弧齒線圓柱齒輪的齒面接觸特性及加工方法;Fangyan Zheng 等[8]提出了一種采用面銑切削法加工圓弧齒線圓柱齒輪的新加工方法。

太原理工大學(xué)學(xué)者毋榮亮在文獻(xiàn)[9]中對(duì)圓弧齒線雙圓弧齒輪的基本嚙合原理進(jìn)行了探討，但后續(xù)沒有進(jìn)一步研究。本文將以齒輪嚙合原理及微分幾何為基礎(chǔ)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)圓弧齒廓、銑刀盤、弧齒錐齒輪加工機(jī)床以及機(jī)床與工件之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系建立圓弧齒廓圓弧齒線圓柱齒輪齒面數(shù)學(xué)模型。并根據(jù)齒面數(shù)學(xué)模型建立雙圓弧齒廓及四圓弧齒廓圓弧齒線圓柱齒輪三維實(shí)體模型，最后利用有限元法對(duì)兩種齒輪進(jìn)行齒面接觸分析。

1 圓弧齒廓圓弧齒線圓柱齒輪及其嚙合傳動(dòng)分析

單圓弧齒廓圓弧齒線單個(gè)輪齒如圖1a 所示，其齒廓曲線為一段圓弧，齒輪的齒線為圓弧，且在齒寬中央截面對(duì)稱。單圓弧齒廓齒輪單個(gè)輪齒同時(shí)只有兩個(gè)嚙合點(diǎn)。雙圓弧齒廓齒輪單個(gè)輪齒最少有兩個(gè)嚙合點(diǎn)，最多有四個(gè)嚙合點(diǎn)。四圓弧齒廓齒輪單個(gè)輪齒最少有兩個(gè)嚙合點(diǎn)，最多有八個(gè)嚙合點(diǎn)。當(dāng)齒輪輪齒進(jìn)入嚙合傳動(dòng)時(shí)，單圓弧齒廓齒輪單個(gè)輪齒兩個(gè)嚙合點(diǎn)數(shù)不變，而雙圓弧齒廓齒輪及四圓弧齒廓齒輪單個(gè)輪齒嚙合點(diǎn)數(shù)隨著齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)而交替變化。

單圓弧齒廓圓弧齒線齒輪嚙合過程如圖1b 所示，圖中相互嚙合的一對(duì)齒輪軸線分別為 o 1 o ′1、o2 o ′2，輪齒嚙合點(diǎn)分別為 K1、K2，嚙合點(diǎn)法線與兩輪連心線的交點(diǎn)分別為 P1、P2。傳動(dòng)時(shí)，嚙合點(diǎn) K1 與 K2 沿嚙合線 K1 K2 向齒寬中央截面移動(dòng)，嚙合點(diǎn)在輪齒上的痕跡

為弧線 K1 KK2 。當(dāng)兩個(gè)嚙合點(diǎn)移動(dòng)至齒寬中央截面時(shí)，該輪齒退出嚙合，下一對(duì)輪齒進(jìn)入嚙合。

2 圓弧齒廓圓弧齒線圓柱齒輪齒面數(shù)學(xué)模型

理論圓弧齒廓圓弧齒線齒輪齒面可由圓弧齒廓沿圓弧齒線移動(dòng)生成，但該齒面只能采用球頭銑刀在多軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床上銑削加工，成本高且效率低。根據(jù)圓弧齒輪嚙合原理，圓弧齒廓圓弧齒線齒輪齒面也可采用銑刀盤在弧齒錐齒輪數(shù)控銑床上加工完成，該方法加工效率高且成本低。本文首先根據(jù)弧齒錐齒輪銑床加工原理建立圓弧齒廓圓弧齒線圓柱齒輪齒面數(shù)學(xué)模型。

建立齒輪加工坐標(biāo)系，如圖2所示。其中，σ0 =[ O0-X0 Y0 Z0]是與假想平面齒輪固連在一起的坐標(biāo)系;σ t =[ Ot -Xt Yt Zt ]是與銑刀盤固連在一起的坐標(biāo)系;σn=[ On -Xn Yn Zn ]是與銑刀盤刀齒齒廓固定在一起的坐標(biāo)系;σa=[ Oa -Xa Ya Za ]為輔助坐標(biāo)系。σ2=[ O2-X2 Y2 Z2]是與齒坯固定在一起的坐標(biāo)系。各坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)及坐標(biāo)軸方向如圖2所示。

齒輪加工時(shí)，假想平面齒輪角速度為ω0，齒坯的角速度為ω2。δ20為初始刀位角，δ2為當(dāng)前刀位角，φ2為齒坯轉(zhuǎn)角，齒輪的節(jié)圓半徑為 r ，銑刀盤半徑為 Rr ，則 rω2=Rr ω0，所以

2.1齒輪產(chǎn)形輪齒面方程

在σ n 坐標(biāo)系中，基本齒廓圓弧可表示為

其中，（E2，F(xiàn)2）為圓弧圓心，ρ2 為圓弧半徑，α2 為圓弧起止角。

產(chǎn)形齒輪切削面方程為

假想平面齒輪齒面方程為

2.2齒輪切齒嚙合方程

依據(jù)齒輪嚙合基本方程，假想平面齒輪齒面的接觸點(diǎn)應(yīng)滿足

則齒輪切齒嚙合方程可表示為

2.3齒輪瞬時(shí)接觸線方程解，可得齒輪加工過程中的瞬時(shí)接觸線方程，即

將上述嚙合方程以及產(chǎn)形輪齒面方程進(jìn)行綜合求

2.4齒輪齒面方程

使用兩次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換即可將接觸線方程轉(zhuǎn)變?yōu)榇簖X輪齒面方程

整理后可得

3 圓弧齒廓圓弧齒線圓柱齒輪三維實(shí)體建模

圓弧齒廓圓弧齒線圓柱齒輪單側(cè)齒面由多個(gè)曲面組成，齒面三維模型的建立需要根據(jù)式（8）計(jì)算出齒面上的離散點(diǎn)，由離散點(diǎn)生成曲線，再由曲線生成齒面。建立的齒面離散點(diǎn)數(shù)越多，則最后生成的齒面精度越高。本文選擇小齒輪和大齒輪齒數(shù)分別為20和30，模數(shù)為8，齒寬為120 mm ，加工用銑刀盤選擇6 in 刀盤。利用 Matlab 軟件編寫程序計(jì)算出齒面離散點(diǎn)，并將離散點(diǎn)坐標(biāo)輸入到 Pro/Engineer 三維設(shè)計(jì)軟件中，在軟件中由離散點(diǎn)生成曲線，再由曲線生成曲面。待生成輪齒兩側(cè)齒面所有曲面后，由曲面生成齒輪單個(gè)輪齒，最后通過陣列生成齒輪所有輪齒。本文同時(shí)建立雙圓弧齒廓及四圓弧齒廓齒輪，其中建立的四圓弧齒廓圓弧齒線圓柱齒輪如圖3所示。

4 圓弧齒廓圓弧齒線圓柱齒輪齒面接觸應(yīng)力分析

選擇單對(duì)輪齒進(jìn)行齒面接觸應(yīng)力分析，將在 Pro/ Engineer 軟件中建立的雙圓弧齒廓齒輪及四圓弧齒廓齒輪的三維實(shí)體模型導(dǎo)入到 Abaqus 軟件中，設(shè)置材料彈性模量 E=2.06×105 MPa ，泊松比μ=0.3。選擇四面體網(wǎng)格對(duì)齒輪進(jìn)行網(wǎng)格劃分，為提高運(yùn)算速度并保證齒面接觸應(yīng)力的精度，在兩對(duì)齒面的相互接觸面對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化，而在非接觸面選擇較粗的網(wǎng)格，如圖4所示。對(duì)大齒輪輪齒內(nèi)圈進(jìn)行全約束，小齒輪內(nèi)圈只留旋轉(zhuǎn)自由度并約束其他自由度。定義接觸面，并在小齒輪內(nèi)圈施加轉(zhuǎn)矩，本文選擇轉(zhuǎn)矩為1000 MN ，通過計(jì)算得到應(yīng)力云圖如圖5所示。

由于本文選擇的輪齒嚙合位置可以使所有嚙合點(diǎn)都進(jìn)入嚙合，從圖5中可以看出：雙圓弧齒輪齒面由四個(gè)接觸點(diǎn)，而四圓弧齒輪齒面有八個(gè)接觸點(diǎn)，與理論相吻合。雙圓弧齒輪齒面最大接觸應(yīng)力為422 MPa ，而四圓弧齒輪齒面接觸應(yīng)力為337 MPa ，四圓弧齒輪的齒面接觸應(yīng)力約為雙圓弧齒輪的80%。有限元分析結(jié)果證實(shí)增加齒面接觸點(diǎn)數(shù)，可顯著降低齒輪的齒面接觸應(yīng)力。

5 結(jié)論

本文根據(jù)弧齒錐齒輪的銑齒加工原理，建立了圓弧齒廓圓弧齒線圓柱齒輪齒面數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)數(shù)值法獲得了齒輪齒面離散點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，利用三維設(shè)計(jì)軟件建立的齒輪三維實(shí)體模型。

利用有限元分析軟件對(duì)雙圓弧齒廓及四圓弧齒廓圓弧齒線圓柱齒輪進(jìn)行了齒面接觸分析，得到了齒面接觸應(yīng)力云圖。通過分析得出四圓弧齒輪的齒面接觸應(yīng)力約為雙圓弧齒輪的80%。研究結(jié)果可為圓弧齒廓圓弧齒線圓柱齒輪的設(shè)計(jì)應(yīng)用提供理論依據(jù)。

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