基于隨機矩陣單環理論的滾動軸承性能退化評估

摘要針對工業大數據環境下，傳統特征提取算法提取出軸承有用信息不充分，導致構造出的指標難以對軸承退化過程有效表征的問題，提出一種基于隨機矩陣單環理論的滾動軸承性能退化評估算法。首先，通過對軸承采樣數據進行分段、隨機化、擴增及維度重構建立了軸承當前時刻的高維隨機矩陣;其次，基于隨機矩陣理論良好的高維數據處理能力，通過單環定理研究了軸承隨機矩陣特征值的分布規律;最后，利用平均譜半徑及特征值離散點分布情況作為退化指標描述滾動軸承的退化歷程。采用美國 IMS 軸承全壽命數據進行研究，研究結果表明，基于單環定理所提出的平均譜半徑及離散點數這兩個量化指標可有效刻畫滾動軸承的退化歷程，且對軸承早期異常狀態較為敏感。

關鍵詞隨機矩陣理論單環定理滾動軸承退化評估平均譜半徑

中圖分類號 TH165.3

AbstractA rolling bearing performancedegradationassessment algorithm based onsingle ring theorem in therandom matrix theory is proposed to solve the problem that the traditional feature extraction algorithm is not sufficient to extract the useful information ofthebearingundertheindustrialbigdataenvironment ， andtheconstructedindexisdifficulttoeffectively characterizethebearingdegradationprocess . Firstly ， throughsegmentation ， randomization ， amplificationanddimensional reconstruction ofthebearingsamplingdata ， ahigh-dimensionalrandommatrixofthebearingatthecurrentmomentis established;Secondly ， giventhegoodhigh-dimensionaldataprocessingabilityof randommatrixtheory ， thedistributionof eigenvalues of bearing random matrix is investigated by using the single ring theorem. Finally ， the average spectral radius and the distribution of eigenvalue discrete points are used as degradation indexes to describe the degradation history of rolling bearings . The application research of the proposed method was carried out through the IMS rolling bearing full life test data ， the research results show that the two quantitative indexes established by using the average spectral radius and the number of discrete points proposed based on thesingle ring theorem ， can effectively describe thedegradation processof rolling bearingsandaremore sensitive to the early anomaly state of rolling bearing.

Key wordsRandom matrix theory;Single ring theorem;Rolling bearing;Degradation assessment;Mean spectralradius

Corresponding author ： WANG Heng ， E-mail ： wangheng@ ntu.edu.cn ， Tel ：+86-513-85012671， Fax ：+86-513-85012671

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Manuscript received 20201124 in revised form 20201229.

引言

滾動軸承作為機械設備的核心部件，隨著機械設備逐漸趨向高速化、智能化及精密化發展，對其進行預知維修與管理可有效降低機械故障引起的巨大財產損失甚至人員傷亡[1]。因此，對滾動軸承運行狀態準確監測及有效評估具有重要的應用價值和研究意義。

在滾動軸承性能退化評估中要解決的最主要問題是如何構建有效的退化狀態監測模型及退化指標來描述軸承的退化歷程[2]。周建民等提出一種基于經驗模態分解（ Empirical Mode Decomposition ， EMD ）和邏輯回歸的評估方法，選取若干正常狀態下的數據利用 EMD 方法對數據進行分解，提取信號的本征模函數（ Intrinsic Mode Function ， IMF）能量作為特征向量去進行建模，成功地對滾動軸承的退化階段進行了劃分[3]。康守強等針對滾動軸承振動數據不均勻和單一核函數分類的單一性，采用多核超球體支持向量機（ Multi-KernelHypersphereSupportVectorMachine ， MKHSVM），再利用混沌優化果蠅算法（ Chaos Fruit Fly OptimizationAlgorithm ， CFOA ）進行優化，構建了 CFOA-MKHSVM 評估模型對滾動軸承退化過程進行評估[4]。 RaiA 等利用振動信號多尺度模糊熵（ Multiscale Fuzzy Entropy ， MFEn ）的復雜性度量作為故障特征，再結合 Jensen-Renyi 技術構造退化指標提高軸承狀態監測的準確度[5]。尹愛軍等利用同步抽取變換（ Synchro Extracting Transform ， SET）對軸承信號進行時頻分析，獲得的時頻圖進行復小波結構相似性（ Complex Wavelet Structural Similarity ， CWSS）評價，得到的滾動軸承性能退化評估 SET-CWSS 指數可有效刻畫出軸承的退化過程，提高軸承早期故障的敏感程度[6]。以上方法在研究滾動軸承性能退化中取得了一定的進展，但是，滾動軸承由正常到失效經歷的時間較長，采集到的軸承數據量不斷增大，由此帶來的“維度災難”給軸承性能評估帶來困難。上述方法一般都需要進行特征提取，在監測數據維數大量增加時，特征提取等降維處理方法可能損失監測數據的有用信息。此外，特征提取方法的選擇對異常狀態檢測評估的結果影響較大。

隨機矩陣理論作為統計分析的重要工具之一，在大維數據統計分析中具有重要的地位，其譜理論主要研究隨機矩陣的樣本特征值、樣本特征向量及它們的統計函數在一般漸近體系下的漸近行為，其中以單環定理為代表的譜分析理論已在電網海量數據處理方面取得了顯著的成果[7]。徐心怡等基于隨機矩陣單環定理，構建出的平均譜半徑作為相關性指標可實時、定量地分析復雜系統中海量數據的相關性，揭示出一種或多種影響因素對電網運行狀態之間的影響[8]。安然等基于隨機矩陣理論中的單環定理對配電網運行中產生的大數據進行統計特征分析和場景匹配，擺脫了配電網模型的限制，實現了無功優化和電壓管理[9]。以上研究皆利用隨機矩陣中的單環定理對大維數據進行分析，均取得了良好的應用效果。

綜上所述，本文提出一種基于隨機矩陣單環定理的滾動軸承性能退化評估方法，描述了高維數據下滾動軸承的性能退化歷程，應用結果表明了該方法的有效性和可行性。

1 隨機矩陣單環理論

單環理論（ SingleRing Theorem ）是用于處理非 Hermitian 矩陣的一種數據處理方法，由 Guionnet、 Krishnapur 和 Manjunath 等在2009年提出[10]。

設對于 n 維非 Hermitian 矩陣 H ，可以對其進行分解得到

H =PΩQ（1）

式中， P ∈ Cn× n ，Q ∈ Cn× n ，矩陣 P 和 Q 為 Haar 酉矩陣，Ω為對角陣，其對角線元素即為矩陣 H 的奇異值。

如果一個維數為 p 的正交隨機矩陣 Hp 的分布符合 Haar 測度，則稱它為 Haar 矩陣， Haar 矩陣是酉矩陣，它滿足式

Hp Hp（H） =Hp（H）Hp =I（2）

對于一個 n × n 的矩陣 E ，如果它的元素服從正態分布，則矩陣 E′=（EE′）-1/2 E 和 E″=E（E′E）-1/2都是 Haar 矩陣。并且，如果 Hp 服從 Haar 分布，那么對任意維度的單位向量均勻分布在 n 維單位球面上，那么 Hn（T）也服從 Haar 分布[11]。

矩陣 H 的極限譜分布由奇異值的概率測度唯一確定，且特征值在復平面上均勻分布在內圈和外圈之間，圓環的外圈半徑和內圈半徑分別為

式中，μ為矩陣 H 的奇異值概率測度。

2 基于單環理論的滾動軸承性能退化評估算法

2.1滾動軸承監測數據隨機矩陣構造

根據滾動軸承數據采集特點，利用大數據分析框架對軸承信號進行處理。設在采樣時刻 ti ，設備共采集到 P 個數據樣本，將其構成一個列向量

x ti =[x 1，x2，…，xP ] T（4）

將軸承整個退化過程中所監測的 Q 個時刻的數據按時間順序構成一個時間序列矩陣，即

所構造出的時間序列矩陣蘊含滾動軸承的所有退化信息，但為了滿足高維隨機矩陣維數較大的要求，構造模擬矩陣 Z 對滾動軸承退化矩陣進行擴充，將 ti 時刻采集到的數據列向量的 P 行分成 k 段（ k ≥2），形

成 k 個規模為 S ×1的子矩陣 H（～）i （ i = ，3，…，k ）。模擬矩陣 Z 中第 i 段矩陣對應列向量 x ti 的前 i 個子矩陣 H（～）i 隨機化累加和的平均，所以模擬矩陣 Z 的子矩陣 Z（～）i 為

式中，θ為隨機生成數，用于矩陣隨機化構造。

構造的模擬矩陣 Z 為

重復式（6）、式（7）操作 n 次，生成 n 個模擬矩陣分別記作 Zo （ o = ，3，…，n ），構造出 ti 時刻高維監測矩陣 X（～）

為滿足隨機矩陣理論中矩陣行列比 c ∈（0，1）的

要求，重構監測矩陣 X（～）的規模，最終構造出 ti 時刻高維隨機矩陣 X ∈ Cm× n 用于特征提取并進行當前狀態評估。

2.2滾動軸承監測數據單環曲線

根據3.1節所述，按照監測數據隨機化算法得到隨機監測矩陣 X ，利用公式（9）對 X 進行歸一化處理得到矩陣 Y1，即

式中，-X 是 X 的平均值，σ是 X 的標準差。

利用式（10）對矩陣 Y1進行奇異值分解，得到測量

矩陣 Y2 ∈ Cn× n

式中，矩陣 U 是 Haar 酉矩陣， Y1（H）為 Y1 的轉置。

如果對于 L 個非 Hermitian 矩陣都進行上述的處理，就可以得到L 個奇異值等價矩陣 Y2i i = ，…，L 。根據式（11）求這 L 個矩陣的乘積，即

為使矩陣 Y3每行都滿足σ2 =1/n ，將矩陣 Y3按照公式（12）逐行標準化處理，就得到判決矩陣 Y4，本文取 L =1

式中， Y3 i 為矩陣 Y3 的第 i 行， Y4i 為 Y4 的第 i 行。

則 Y4 的極限譜分布依概率收斂于關于函數λ的譜分布函數，式（13）為此譜分布函數的概率密度函數[12]

式中，λ為判決矩陣 Y4的特征值， c 為隨機監測矩陣行列之比，即 c =m/n 且 c ∈（0，1）。以特征值λ的實部為橫坐標，虛部為縱坐標，在復平面上繪制特征值λ的離散點分布。由單環理論可知，該離散點分布呈現圓環狀，圓環外圈半徑為1，內圈半徑為（1 -c ） L/2，該分布表征了滾動軸承的運行狀態。

2.3滾動軸承退化狀態評估指標構建

準確評估設備性能退化程度的關鍵是對設備不同狀態量化指標的選擇，線性特征統計量可以反映特征值的分布情況，對于 Y4定義其特征值統計量為

式中，λ i （ i = ，…，n ）為 Y4的特征值，φ（） 為測試函數。當 Y4規模較大時，可結合大數定理分析特征值統計量的極限，如

lim 1Ψn （φ）=λ）ρ（λ） dλ

式中，ρ（λ）為特征值概率密度函數。

本文通過隨機矩陣線性特征統計量，結合滾動軸承運行狀態單環圖，提出下列量化指標，定量評估滾動軸承的性能退化程度。

（1）平均譜半徑（ Mean Spectral Radius ， MSR）為矩陣的所有特征值在復平面上分布半徑的均值，其定義為

式中，λ i 為 Y4 的第 i 個特征值。

（2）突破內圈的離散點個數 nin ：離散點分布狀況是表征滾動軸承運行狀態的重要指標，由于不同的運行情況，離散點的離散程度可能會有局部密度較大或者離散點可能會突破內圈和外圈的情況出現，因此，單環圖中突破內圈的離散點個數 nin 是一個重要的統計指標，上述兩個量化指標如圖1所示。

綜上所述，本文將滾動軸承各個時刻采集到的軸承數據進行分段、擴充構造高維隨機矩陣;基于隨機矩陣理論中的單環曲線研究軸承數據特征值的分布狀況，并提出采用平均譜半徑及離散點分布來研究軸承的退化歷程，算法流程圖如圖2所示。

3 應用研究

3.1數據來源

試驗數據來自辛辛那提大學智能維護系統（ Intelligent Maintenance System ， IMS）中心的滾動軸承全壽命試驗[13]。4個 Rexnord ZA -2115雙列滾動軸承統一安裝在轉速2000 r/min 的主軸上，軸承徑向施加2722 kg恒定載荷，當軸承1外圈發生故障并失效時，試驗結束。試驗中每10 min 對軸承進行一次數據采集，采樣頻率為20 kHz ，試驗結束時共采集到數據文件984組。本文采用軸承1的全壽命振動數據進行分析研究。

按照2.1節所述，軸承1在 ti 時刻采集到20480個振動數據，為便于矩陣規模構造，選取其中20000個數據構造列向量 x ti ，將其進行分段、隨機化用于構造模擬矩陣 Z ，在重復9次操作后擴增及維度重構后，最終得到 ti 時刻高維隨機特征矩陣 X ∈ C400×500（行列之比 c =0.8），按照2.3節所示方法，利用平均譜半徑變化及離散點分布對滾動軸承性能退化進行研究。

3.2軸承性能退化評估

季云等利用基于 DPMM-C HMM 的機械設備性能退化評估方法對 IMS 全壽命試驗數據的退化狀態進行了劃分[14]，結果如圖3所示。由圖3可知，該算法將滾動軸承退化狀態劃分為退化狀態1、退化狀態2、退化狀態3和失效狀態，分別選取軸承1時間序列為300、650、750和950的數據以代表從正常到失效典型狀態進行研究，基于隨機矩陣單環理論得到的滾動軸承性能退化單環曲線如圖4所示。

圖4a ～圖4d 表示序列號為300、600、650、750和950時，對應的監測隨機矩陣獲得的單環圖，利用三種不同線型的曲線分別表示半徑為1的單環外圈，半徑為0.447的單環內圈及半徑為κ MSR 的單環平均譜。根據試驗描述，圖5是滾動軸承 IMS 全壽命試驗數據時間序列300的數據處理結果，此時滾動軸承運行穩定，狀態良好，屬于正常狀態;圖4b 、圖4c 和圖4d 分別是時間序列650、時間序列750和時間序列950數據的處理結果，結合圖3可知分別代表輕微退化狀態、嚴重退化狀態和失效狀態。根據前文對試驗的描述，數據序列編號逐漸增大，可以視為滾動軸承運行時間逐漸增加，滾動軸承狀態從正常逐漸趨于退化直至最后失效。由圖4可知，四組數據對應的單環圖有明顯的區別，離散點的分布變化、平均半徑的移動都能反映出滾動軸承性能運行狀態的改變，具體變化可以根據本文提出的兩個量化指標來分析，如表1所示。

由圖5可知，隨著運行時間的增加，κ MSR 呈現出先穩定，后連續減小的變化趨勢，由表1可知，κ MSR 從序列號300的0.574逐漸減小到序列號950的0.398，序列號950的數據可以視為滾動軸承已經失效。可見，滾動軸承由正常到失效的全壽命歷程中，κ MSR 是一個連續變化的過程。

如圖6所示， nin 呈現的也是一個連續變化的過程，與κ MSR 類似，只是 nin 先穩定，后連續增大，這代表隨著滾動軸承運行時間的增加，突破內圈的離散點的數量在持續增加，這也符合圖4a ～圖4d 所呈現的直觀變化趨勢， nin 的統計結果如表1所示，對應序列號300到序列號950， nin 從127增加到271，其變化連續性可以為滾動軸承運行狀態辨別提供信息。λ max 逐漸減小體現的也是外圍點逐漸向內圈收縮的趨勢。

通過圖5、圖6可觀察到軸承在序列號535（圖5）及序列號528（圖6）后各指標退化曲線有明顯的上升趨勢，故將其定義為早期異常點。曲線的整體變化趨勢與傳統峭度指標（圖7所示）相比，基于單環定理所提出的退化指標呈現良好的單調性。且從圖5、圖6得出軸承1的早期異常發生在序列號與王慶鋒等學者運用不同方法檢測出的軸承早期異常點（序列號533）基本一致[15-16]，相比于峭度指標（序列號649），提高了對軸承早期故障的敏感程度，進一步驗證了本文所提算法對軸承退化歷程的準確表征能力。

4 結論

針對傳統特征提取算法提取出軸承有用信息不充分，導致構造出的指標難以對軸承退化過程有效表征的問題，本文研究了滾動軸承數據特征值的分布規律并提出一種基于隨機矩陣單環理論的滾動軸承性能退化評估方法，將其應用于滾動軸承性能退化評估實例中，得到以下結論：

1）通過矩陣奇異值分解、與 Haar 酉矩陣結合、判決矩陣標準化處理等手段，最終將滾動軸承運行狀態信息以單環曲線的形式呈現，與現有研究結論相結合，發現了隨機矩陣單環定理在滾動軸承數據上的適用性。

2）通過單環理論和單環曲線圖相結合構造出平均譜半徑和突破內圈離散點數量等量化指標，通過對 IMS 全壽命數據典型狀態的運行數據分析，驗證其對軸承性能退化評估中的可行性。

3）基于單環定理提出的兩個指標與傳統指標相比具有較好的單調性，且可清晰準確的刻畫出軸承從早期異常到失效的整個過程，驗證了本文所提出的退化指標對滾動軸承運行狀態表征的有效性。

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