一種非線性超諧激振器的設計與實驗分析

摘要針對振動時效常規激振器激振頻率較小，無法實現高剛度構件共振的問題，利用非線性振動系統的超諧振動特性，設計一種由3個線性彈簧和3個非線性彈簧組合的非線性超諧激振器。建立非線性超諧激振器動力學模型，運用多尺度法求解非線性振動幅頻特性方程，分析激振器實現3次超諧波共振的理論可行性;分析激振力幅值、非線性剛度系數和非線性阻尼系數等參數對非線性振動幅頻響應的影響。運用 Adams 對非線性超諧激振器進行動力學仿真，并進行非線性超諧激振器振動實驗，結果表明，在非線性彈簧的調節下，激振器可以實現3次超諧振動，驗證了非線性超諧激振器設計的合理性。

關鍵詞振動時效激振器非線性振動超諧共振

中圖分類號 TH122

AbstractAiming at the problem that the vibration frequency of conventional vibration exciter is small and can not realize the resonance of high stiffness components ， Based on the superharmonic vibration characteristics of nonlinear vibration system ， designed a nonlinear ultraharmonic vibrator exciter composed of 3 linear springs and 3 nonlinear springs. Established the dynamic model of the nonlinear ultraharmonic vibrator exciter ， solved the nonlinear vibration amplitude-frequency characteristic equation by using the multi-scale method ， and analyzed the theoretical feasibility of the vibration exciter to achieve third ultraharmonic resonance. Analyzed effectsof excitation forceamplitude ， nonlinear stiffnesscoefficient and nonlinear damping coefficient on nonlinear vibration amplitude-frequency response. Carried out dynamic simulation of nonlinear ultraharmonic vibrator exciter by using ADAMS ， and carried out the vibration experiment of the nonlinear ultraharmonic vibrator exciter. The results show that under the adjustment of the nonlinear spring ， the exciter can achieve third ultraharmonic resonance ， which verifies the rationality of the design of the nonlinear super-resonant exciter.

Key wordsVibratory stress relief; Vibration exciter;Nonlinear vibration;Ultraharmonic resonance

Corresponding author ： SHANG ChenChen ， E-mail ：1617430482@ qq.com

The Project Supported by Key Research and Development Projects of Anhui Province （ No.201904a05020092）. Manuscript received 20210607， in revised form 20210929.

引言

振動時效技術是消減構件殘余應力的有效手段，具有處理效率高、能耗少且對零件沒有形狀與尺寸限制等優點[1-3]。振動時效常用的激振器激振頻率一般小于200 Hz，主要通過電機改變轉速驅動偏心輪機構，使得工件達到共振[4-5]。對于高剛度構件，其低階固有頻率很高（200 Hz 以上），常規的激振器很難實現此類構件的共振，達不到振動時效降低殘余應力的目的。

超諧共振式振動時效裝置是降低高剛度構件殘余應力的有效方法，國內對此研究較少。相比較工件串聯降頻法、懸臂法等[6]高頻構件振動時效方法，非線性振動系統可對輸入激振頻率進行放大，獲得接近高頻構件固有頻率的激振頻率[7-8]，產生振動時效需要的彈性形變和動應力。

蔡敢為等[9]對非線性超諧式振動時效裝置的機理進行分析，得到裝置數學模型元件參數之間的關系，提出針對高剛度構件非線性超諧振動時效裝置的設計理論。李巖舟[10]將常規激振器作用于錐彈簧組成的非線性振動系統，設計一種針對等溫淬火曲軸的非線性超諧振動時效裝置，此裝置能夠將常規激振器產生的激振頻率放大到原來的2～3倍。李俊明等[11]通過組合線性彈簧設計一種線性彈簧組合振動裝置，該裝置能夠在垂直方向上產生3次超諧振動，可實現高剛度構件的共振。

本文采用結構簡單、能耗較低的電磁激振的方式[12]，利用線性彈簧和非線性彈簧組合成的非線性振動系統，設計一種可實現超諧振動的非線性超諧激振器。在此基礎上建立激振器動力學模型，進行動力學仿真和樣機實驗，驗證非線性超諧激振器的合理性。

1 非線性超諧激振器結構設計與原理

1.1基本結構

非線性超諧激振器主要由底板、彈簧固定套、導向軸、電磁鐵、振動平臺、波紋管外殼、支撐平臺、錐彈簧、彈簧壓板等組成，如圖1所示。

上層三個線性彈簧按圓周均勻分布在支撐板和銜鐵之間，構成線性振動系統;下層三個選用變節距彈簧或錐形彈簧按圓周交錯分布在底板和支撐板之間，構成非線性振動系統。

1.2工作原理

線圈通入交流電，磁鐵產生交變磁場，對銜鐵施加周期變化的電磁力。銜鐵發生激振產生的激振力通過線性彈簧作用于支撐板臺上，支撐平臺再將激振力通過非線性彈簧傳遞于激振器底板上。根據牛頓第三定律，底板會將激振力再次通過非線性彈簧作用于支撐平臺上，支撐平臺再將激振力傳遞給振動臺。一個周期完成后，振動臺不僅受到交變磁場產生的激振力，還會受到經線性彈簧和非線性彈簧反向作用所疊加的力。在非線性彈簧作用下，被激工件產生超諧波共振，實現振動時效的目的。

2 非線性超諧激振器共振方程

2.1非線性超諧激振器振動系統數學模型

根據所設計激振器結構，在不考慮導向軸摩擦力和波紋管外殼阻力的情況下，可得到非線性振動系統的數學模型，如圖2所示。設振動平臺質量為 m 1，支撐平臺與電磁鐵的質量為 m2，線性彈簧彈性系數為 k ，非線性彈簧的彈性系數為 k （x ），令非線性彈簧恢復力fq （x ）= ax + bx3，非線性阻尼系數為 c ，電磁激振器產生的激振力為 Fcos（ωt ）。

分析圖2中非線性振動數學模型，得到振動平臺和支撐平臺受力情況，如圖3所示。

根據牛頓第二定律可得

整理式（1）和式（2）得到系統振動微分方程為

激振器在進行振動時效處理時，振動頻率較高，振幅較小。設 x =x 1 =x2，令 m = m 1 + m2，則式（3）可簡化為

m x + c x.+ ax + bx3 = Fcos （ωt ）（4）

令ω02 =，β0 =，γ0 =，F0 =，則式（4）等價于

x +ω02 x +β0 x3 +γ0 x.= F0 cos （ωt ）（5）

2.2超諧波共振系統方程求解

當外部激勵頻率接近系統固有頻率的1/3時，系統發生3次超諧波共振[13]。設3ω=ω0+εσ，其中，σ為解諧參數，ε為小參數，式（5）可以改寫為

x +ω02 x =-εγ0 x.-εβ0 x3 + F0 cos （ωt ）（6）

采用多尺度法[14]對式（6）進行求解，引入多尺度時間變量 Tn =εn t （ n =0， ，…），僅討論一次近似解時，取 T0=t ， T1=εt ，令3ωT0=ω0 T0+σT1，則方程（6）一次近似解的形式為

x （ t ，ε）=x0（ T0， T1）+εx 1（ T0， T1）+…（7）

代入式（6）得到漸近方程組

D0 x0 +ω02 x0 = F0 cos （ωt ）（8）

D0 x 1 +ω02 x 1 =-2D0 D 1 x0 -γ0 D0 x0 -β0 x03（9）

式（8）解為

x0 =A （ T1） eiω0 T0 +Λ eiωT0 + CC

式中， A （ T1）為復數形式的自由振動振幅，Λ =，代入式（9）得

在超諧波共振情況下，如果

iω0.（2A +γ0A ）+6β0Λ2A +3β0A2 A-+β0Λ3 eiσT1 =0（12）

可消去長期項，設 A =ρ eiθ，ψ=σT1 -θ，代入式（12），分離實、虛部可得

穩態情況下，ρ（.）=ψ.=0，則式（13）可化為

解得非線性超諧激振器穩態時超諧波共振幅頻特性曲線方程為

由式（15）可知，當ω0 =3ω時，即使存在阻尼，也存在滿足方程（15）的非零解，表明非線性超諧激振器存在3次超諧波共振。

2.3非線性超諧波共振幅頻響應分析

根據式（15）非線性超諧激振器超諧波共振幅頻

特性曲線方程，在保證其他變量不變的情況下，分別分析阻尼系數比γ0=（0.02、0.03、0.04、0.05）、非線性剛度系數比β0=（0.1、0.2、0.3、0.4）和外部激振力幅值Λ=（0.5、0.6、0.7、0.8）時系統的幅頻響應，其中ω2 =1，得到非線性超諧激振器超諧波共振幅頻特性曲線，如圖4所示。

由圖4a 可知，隨著阻尼系數的增大，非線性超諧波共振系統超諧波響應明顯減小;由圖4b 可知，隨著非線性剛度系數的增大，系統超諧波響應逐漸增大，共振頻域變寬，幅頻響應曲線逐漸向右彎曲，非線性特性更加明顯;由圖4c 可知，隨著激振力幅值的增大，系統的超諧波響應逐漸增大，共振頻域變寬，非線性特性逐漸明顯。

3 激振器動力學仿真分析

3.1非線性彈簧特性分析

非線性彈簧參數對非線性振動有很大的影響，為保證仿真分析的可靠性，首先對非線性彈簧特性進行分析。本文設計的非線性彈簧具體設計參數如表1所示。

使用 Ansys 對所設計的非線性彈簧進行載荷分析[15-16]。為更好的模擬彈簧的力學特性，采用梁單元 Beam 188對彈簧進行離散，用三維梁接觸單元 Contact176模擬彈簧的自接觸。彈簧底部添加固定約束，上方施加法向載荷，分別對錐彈簧和變節距彈簧施加大小不同的30組壓力進行位移求解。使用 Matlab 對結果進行擬合，3次多項式擬合已經可以達到很好的精度，如圖5所示。

擬合得到的錐彈簧特性曲線 y1 和變節距彈簧特性曲線 y2分別為

3.2超諧振動仿真分析

將簡化后的激振器模型導入 Adams/View ，完成約束和載荷的添加。底座與地面之間添加完全約束，動平臺與支撐平臺之間添加三個線性彈簧，支撐平臺與底座之間添加三個非線性彈簧。為約束支撐平臺和動平臺的運動，在支撐平臺與底座、支撐平臺與振動平臺之間添加移動副。在振動平臺上施加一個關于時間 t 的函數的力來模擬電磁場產生的電磁力。添加完約束和載荷的仿真模型如圖6所示。

基本參數設置：模型質量為 m=4.698 kg ，線性彈簧剛度系數 k0=16.33 N/mm ，阻尼 c=0.4 N .s/mm ，激振力幅值為 F=10 N 。分別設非線性彈簧剛度函數 fα1（x ）=y1 和fα2（x ）=y2，模擬使用不同的彈簧。根據式（5），計算得到振動系統固有頻率為f01 =28.67 Hz ， f02 =23.81 Hz 。依次令外部激勵頻率為f1 =f01/3=9.56 Hz ， f2 =f02/3=7.94 Hz ，得到振動平臺位移的時間歷程如圖7所示，通過 FFT 得到的頻譜如圖8所示。

由圖7和圖8可以看出，在一定參數下，振動平臺出現了較強的3倍于激振頻率的超諧振動。外部激勵的主振動與超諧振動一同形成了穩定的周期振動。結果驗證了理論推導的正確性。

4 超諧激振器實驗分析

為驗證非線性超諧激振器設計的可行性，研制了非線性超諧激振器樣機，并搭建實驗平臺，如圖9所示。實驗平臺由超諧激振器， CT 1002 S 電荷輸出型壓電式加速度傳感器、CT5853電荷放大器、數據采集卡、振幅控制器、數字調頻器和計算機及數據分析軟件組成。

激振器上層采用3個Φ5 mm ×40 mm ×70 mm 規格的線性彈簧，下層分別采用錐彈簧和變節距彈簧，彈簧根據表1參數進行定制。通過調節調頻器進行兩組實驗：

（1）下層彈簧使用錐彈簧，在9.567 Hz 附近調節振動頻率。圖10為振動頻率為9.67 Hz 時采集的振動信號及頻譜圖。

（2）下層彈簧使用變節距彈簧，在7.94 Hz 附近調節振動頻率。圖11為振動頻率為8 Hz 時采集的振動信號及頻譜圖。

由圖10和圖11，可以看出，在給定的激勵頻率下，通過錐彈簧或變節距彈簧的調節，激振器的振動平臺出現了明顯的3倍分頻超諧振動。由于非線性彈簧特性較復雜，振動平臺同時出現了其他倍數的高頻振動，各分頻振動和主振動一同形成了穩定的周期振動。實驗結果驗證了仿真分析的準確性。

5 結論

本文設計的非線性超諧激振器，通過綜合分析可以得到以下結論：

1）建立激振器動力學模型，通過理論分析可知，當外部激勵頻率接近振動系統固有頻率的1/3時，可實現非線性超諧激振器的3次超諧波共振響應。

2）系統的3次超諧波共振響應隨著激振力幅值和非線性剛度系數的增大變得更加顯著，隨著非線性阻尼系數的增大逐漸變小。

3）對激振器進行動力學仿真表明，在一定參數下，振動平臺出現了明顯的3次超諧振動。在仿真分析的基礎上進行實驗分析，得到了激振器的超諧振動特征，驗證了理論分析和仿真分析的正確性以及非線性超諧激振器設計的合理性，為非線性超諧激振器的設計和應用提供基礎。

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